高科数学专题复习课件：第二章 2_9函数模型及其应用 62页

§2.9 　 函数模型及其应用 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 几类函数模型 知识梳理 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f ( x ) ＝ ax ＋ b ( a 、 b 为常数， a ≠ 0) 反比例函数模型 f ( x ) ＝ ＋ b ( k ， b 为常数且 k ≠ 0) 二次函数模型 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a ≠ 0) 指数函数模型 f ( x ) ＝ ba x ＋ c ( a ， b ， c 为常数， b ≠ 0 ， a >0 且 a ≠ 1) 对数函数模型 f ( x ) ＝ b log a x ＋ c ( a ， b ， c 为常数， b ≠ 0 ， a >0 且 a ≠ 1) 幂函数模型 f ( x ) ＝ ax n ＋ b ( a ， b 为常数， a ≠ 0) 2. 三种函数模型的性质 函数 性质 y ＝ a x ( a >1) y ＝ log a x ( a >1) y ＝ x n ( n >0) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上的增减性 单调 _____ 单调 _____ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为 与 平行 随 x 的增大逐渐表现为 与 平行 随 n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个 x 0 ，当 x > x 0 时，有 log a x < x n < a x 递增 递增 y 轴 x 轴 1. 解函数应用题的步骤 知识 拓展 2. “ 对勾 ” 函数 形如 f ( x ) ＝ x ＋ ( a >0) 的函数模型称为 “ 对勾 ” 函数模型： 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25% 出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利 .( 　　 ) (2) 幂函数增长比直线增长更快 .( 　　 ) (3) 不存在 x 0 ， 使 ( 　　 ) (4) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上，随着 x 的增大， y ＝ a x ( a >1) 的增长速度会超过并远远大于 y ＝ x a ( a >0) 的增长速度 .( 　　 ) (5) “ 指数爆炸 ” 是指数型函数 y ＝ a · b x ＋ c ( a ≠ 0 ， b >0 ， b ≠ 1) 增长速度越来越快的形象比喻 .( 　　 ) 思考辨析 √ × × √ × 1.( 教材改编 ) 已知某种动物繁殖量 y ( 只 ) 与时间 x ( 年 ) 的关系为 y ＝ a log 3 ( x ＋ 1) ，设这种动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 A.100 只 B.200 只 C.300 只 D.400 只 考点自测 答案 解析 由题意知 100 ＝ a log 3 (2 ＋ 1) ， ∴ a ＝ 100. ∴ y ＝ 100log 3 ( x ＋ 1) ， 当 x ＝ 8 时， y ＝ 100log 3 9 ＝ 200. 2. 若一根蜡烛长 20 cm ，点燃后每小时燃烧 5 cm ，则燃烧剩下的高度 h (cm) 与燃烧时间 t (h) 的函数关系用图象表示为 答案 解析 根据题意得解析式为 h ＝ 20 － 5 t (0 ≤ t ≤ 4) ，其图象为 B. 3. 某市生产总值连续两年持续增加 . 第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率 为 答案 解析 设年平均增长率为 x ，则 (1 ＋ x ) 2 ＝ (1 ＋ p )(1 ＋ q ) ， 4. 用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度 为 A.3 B.4 C.6 D.12 答案 解析 设隔墙的长度为 x (0< x <6) ，矩形面积为 y ， ∴ 当 x ＝ 3 时， y 最大 . 5. 某工厂生产某种产品固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增加 10 万元 . 又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K ( Q ) ＝ 40 Q － Q 2 ，则总利润 L ( Q ) 的最大值是 ________ 万元 . 答案 解析 2 500 当 Q ＝ 300 时， L ( Q ) 的最大值为 2 500 万元 . 题型分类　深度剖析 题型一　用函数图象刻画变化过程 例 1 　 (1) 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A. 因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D. 后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B. 故选 C. 答案 解析 (2)(2016· 日照模拟 ) 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案 . 据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q 0 ，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率 ( 单位时间的运输量 ) 逐步提高的是 答案 解析 由运输效率 ( 单位时间的运输量 ) 逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B. 思维 升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象 . (2) 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 . 跟踪训练 1 　设甲、乙两地的距离为 a ( a >0) ，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为 答案 解析 y 为 “ 小王从出发到返回原地所经过的路程 ” 而不是位移，应随时间增大而增大，故排除 A ， C ； 又因为小王在乙地休息 10 分钟，故排除 B ，故选 D. 题型二　已知函数模型的实际问题 例 2 　 (1) 某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量 (kg) 与其运费 ( 元 ) 由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为 _____ kg. 答案 解析 19 由图象可求得一次函数的解析式为 y ＝ 30 x － 570 ， 令 30 x － 570 ＝ 0 ，解得 x ＝ 19. (2) 一个容器装有细沙 a cm 3 ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出， t min 后剩余的细沙量为 y ＝ a e － bt (cm 3 ) ，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 _____min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一 . 答案 解析 16 容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 则 t ＝ 24 ，所以再经过 16 min. 思维 升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 . (2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 . (3) 利用该模型求解实际问题 . 跟踪训练 2 　 (2015· 四川 ) 某食品的保鲜时间 y ( 单位：小时 ) 与储藏温度 x ( 单位： ℃ ) 满足函数关系 y ＝ e kx ＋ b (e ＝ 2.718 … 为自然对数的底数， k ， b 为常数 ). 若该食品在 0 ℃ 的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃ 的保鲜时间是 ________ 小时 . 答案 解析 24 题型三　构造函数模型的实际问题 命题点 1 　构造二次函数模型 例 3 　 将出货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定 为 A.85 元 B.90 元 C.95 元 D.100 元 答案 解析 设每个售价定为 x 元 ， 则 利润 y ＝ ( x － 80)· [ 400 － ( x － 90)·20 ] ＝－ 20 [ ( x － 95) 2 － 225 ]. ∴ 当 x ＝ 95 时， y 最大 . 命题点 2 　构造指数函数、对数函数模型 例 4 　 光线通过一块玻璃，强度要损失 10%. 设光线原来的强度为 k ，通过 x 块这样的玻璃以后强度为 y . (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 解答 光线通过 1 块玻璃后，强度 y ＝ (1 － 10%) k ＝ 0.9 k ； 光线通过 2 块玻璃后，强度 y ＝ (1 － 10%)·0.9 k ＝ 0.9 2 k ； 光线通过 3 块玻璃后，强度 y ＝ (1 － 10%)·0.9 2 k ＝ 0.9 3 k ； …… 光线通过 x 块玻璃后，强度 y ＝ 0.9 x k . 故 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ 0.9 x k ( x ∈ N * ). (2) 至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来 的 以下 ？ ( 参考数据： lg 2 ≈ 0.301 0 ， lg 3 ≈ 0.477 1) 解答 且 x ∈ N * ，所以 x min ＝ 14. 故至少通过 14 块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来 的 以下 . 命题点 3 　构造分段函数模型 例 5 　 ( 2017· 武汉 调研 ) 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 . 在一般情况下，大桥上的车流速度 v ( 单位：千米 / 小时 ) 是车流密度 x ( 单位：辆 / 千米 ) 的函数 . 当桥上的车流密度达到 200 辆 / 千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0 千米 / 小时；当车流密度不超过 20 辆 / 千米时，车流速度为 60 千米 / 小时，研究表明：当 20 ≤ x ≤ 200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 . (1) 当 0 ≤ x ≤ 200 时，求函数 v ( x ) 的表达式； 解答 由题意可知当 0 ≤ x ≤ 20 时， v ( x ) ＝ 60 ； 当 20 ≤ x ≤ 200 时，设 v ( x ) ＝ ax ＋ b ， 显然 v ( x ) ＝ ax ＋ b 在 [20,200] 上是减函数， 故函数 v ( x ) 的表达式为 (2) 当车流密度 x 为多大时，车流量 ( 单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 / 小时 ) f ( x ) ＝ x · v ( x ) 可以达到最大，并求出最大值 .( 精确到 1 辆 / 小时 ) 解 答 依题意并由 (1) 可得 当 0 ≤ x ≤ 20 时， f ( x ) 为增函数 ，故当 x ＝ 20 时，其最大值为 60 × 20 ＝ 1 200 ； 当且仅当 x ＝ 200 － x ，即 x ＝ 100 时，等号成立， 即当车流密度为 100 辆 / 千米时，车流量可以达到最大，最大值约 3 333 辆 / 小时 . 思维 升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 . 跟踪训练 3 　 (1) 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25% 的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/ mL ，那么，此人至少经过 _____ 小时才能开车 .( 精确到 1 小时 ) 答案 解析 5 设经过 x 小时才能开车 . 由题意得 0.3(1 － 25%) x ≤ 0.09 ， ∴ 0.75 x ≤ 0.3 ， x ≥ log 0.75 0.3 ≈ 4.19. ∴ x 最小为 5. (2) 大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为 20 000 元，每天需要房租、水电等费用 100 元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益 R 与门面经营天数 x 的关系 是 R ( x ) ＝ 则 总利润最大时，该门面经营的天数 是 ________. 答案 解析 300 由题意，总利润 所以当 x ＝ 300 时， y max ＝ 25 000 ， 当 x >400 时， y ＝ 60 000 － 100 x <20 000 ， 综上 ， 门面经营的天数 为 300 时，总利润最大为 25 000 元 . 典例 　 (12 分 ) 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元，每生产 1 万部还需另投入 16 万美元 . 设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 R ( x ) 万美元，且 R ( x ) ＝ ( 1) 写出年利润 W ( 万美元 ) 关于年产量 x ( 万部 ) 的函数解析式； (2) 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润 . 函数应用问题 答题 模板 系列 2 思维点拨 规范解答 答题模板 根据题意，要利用分段函数求最大利润 . 列出解析式后，比较二次函数和 “ 对勾 ” 函数的最值的结论 . 返回 解　 (1) 当 0< x ≤ 40 时， W ＝ xR ( x ) － (16 x ＋ 40 ) ＝－ 6 x 2 ＋ 384 x － 40 ， [2 分 ] (2) ① 当 0< x ≤ 40 时， W ＝－ 6( x － 32) 2 ＋ 6 104 ， 所以 W max ＝ W (32) ＝ 6 104 ； [ 6 分 ] 即 x ＝ 50 ∈ (40 ，＋ ∞ ) 时，取等号， 所以 W 取最大值为 5 760 . [ 10 分 ] 综合 ①② 知， 当 x ＝ 32 时， W 取得最大值 6 104 万美元 . [ 12 分 ] 返回 解函数应用题的 一般 步骤： 第一步： ( 审题 ) 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步： ( 建模 ) 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的 数 学 模型； 第三步： ( 解模 ) 求解数学模型，得到数学结论； 第四步： ( 还原 ) 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步： ( 反思 ) 对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学 结果 对 实际问题的合理性 . 返回 课时作业 1. 在某个物理实验中， 测得 变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： 答案 解析 x 0.50 0.99 2.01 3.98 y － 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x ， y 最适合的拟合函数是 A. y ＝ 2 x B. y ＝ x 2 － 1 C. y ＝ 2 x － 2 D. y ＝ log 2 x √ 根据 x ＝ 0.50 ， y ＝－ 0.99 ，代入计算，可以排除 A ； 根据 x ＝ 2.01 ， y ＝ 0.98 ，代入计算，可以排除 B 、 C ； 将各数据代入函数 y ＝ log 2 x ，可知满足题意 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 某工厂 6 年来生产某种产品的情况是：前 3 年年产量的增长速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t ( 年 ) 的函数关系图象正确的是 答案 解析 √ 前 3 年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有 A ， C 图象符合要求，而后 3 年年产量保持不变，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售 ( 即优惠 10%) ，仍可获利 10%( 相对进货价 ) ，则该家具的进货价是 A.118 元 B.105 元 C.106 元 D.108 元 √ 答案 解析 设进货价为 a 元，由题意知 132 × (1 － 10%) － a ＝ 10%· a ， 解得 a ＝ 108. 4. 某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m 3 的，按每立方米 m 元收费；用水超过 10 m 3 的，超过部分加倍收费 . 某职工某月缴水费 16 m 元，则该职工这个月实际用水为 A.13 m 3 B.14 m 3 C.18 m 3 D.26 m 3 √ 答案 解析 设该职工用水 x m 3 时，缴纳的水费为 y 元， 则 10 m ＋ ( x － 10)·2 m ＝ 16 m ， 解得 x ＝ 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2016· 北京朝阳区统一考试 ) 设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元 ( t 为正常数 ). 公司决定从原有员工中分流 x (0< x <100 ， x ∈ N * ) 人去进行新开发的产品 B 的生产 . 分流后，继续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了 1.2 x %. 若要保证产品 A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是 A.15 B.16 C.17 D.18 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意，分流前每年创造的产值为 100 t ( 万元 ) ，分流 x 人后，每年创造的产值为 (100 － x )(1 ＋ 1.2 x %) t ， 因为 x ∈ N * ，所以 x 的最大值为 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(2016· 武汉检测 ) 某汽车销售公司在 A ， B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润 ( 单位：万元 ) 为 y 1 ＝ 4.1 x － 0.1 x 2 ，在 B 地的销售利润 ( 单位：万元 ) 为 y 2 ＝ 2 x ，其中 x 为销售量 ( 单位：辆 ) ，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润 是 A.10.5 万元 B.11 万 元 C.43 万元 D.43.025 万元 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆 ， 则 在 B 地销售该品牌的汽车 (16 － x ) 辆， 所以可得利润 y ＝ 4.1 x － 0.1 x 2 ＋ 2(16 － x ) ＝－ 0.1 x 2 ＋ 2.1 x ＋ 32 因为 x ∈ [0,16] 且 x ∈ N ，所以当 x ＝ 10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元 . 7. 西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销 . 在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与广告费 x 万元 之间 的 函数解析式为 L ＝ ( x >0). 则当年广告费投入 ________ 万元时 ， 该 公司的年利润最大 . 答案 解析 4 故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 y ＝ e kt ( 其中 k 为常数， t 表示时间，单位：小时， y 表示病毒个数 ) ，则 k ＝ ________ ，经过 5 小时， 1 个病毒能繁殖为 ________ 个 . 答案 解析 2ln 2 1 024 当 t ＝ 0.5 时， y ＝ 2 ， ∴ k ＝ 2ln 2 ， ∴ y ＝ e 2 t ln 2 ， 当 t ＝ 5 时， y ＝ e 10ln 2 ＝ 2 10 ＝ 1 024. 9.(2016· 宝鸡模拟 ) 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园 ( 阴影部分 ) ，则其边长 x 为 ________m. 答案 解析 20 设内接矩形另一边长为 y ， 所以面积 S ＝ x (40 － x ) ＝－ x 2 ＋ 40 x ＝－ ( x － 20) 2 ＋ 400(0< x <40) ， 当 x ＝ 20 时， S max ＝ 400. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10. 商家通常依据 “ 乐观系数准则 ” 确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价 a ，最高销售限价 b ( b > a ) 以及实数 x (0< x <1) 确定实际销售价格 c ＝ a ＋ x ( b － a ). 这里， x 被称为乐观系数 . 经验表明，最佳乐观系数 x 恰好使得 ( c － a ) 是 ( b － c ) 和 ( b － a ) 的等比中项 . 据此可得，最佳乐观 系 数 x 的值等于 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ b － c ＝ ( b － a ) － ( c － a ) ， ∴ ( c － a ) 2 ＝ ( b － a ) 2 － ( b － a )( c － a ) ， 两边同除以 ( b － a ) 2 ，得 x 2 ＋ x － 1 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v ( 单位： m/s) 与其耗氧量 Q 之间的关系为 v ＝ a ＋ ( 其中 a 、 b 是实数 ). 据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s. (1) 求出 a 、 b 的值； 解答 由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s ， 此时 耗氧量为 30 个单位， 当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 答 所以要使飞行速度不低于 2 m/s ，则有 v ≥ 2 ， 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ， 则其耗氧量至少要 270 个单位 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 经市场调查，某种商品在过去 50 天的销售量和价格均为销售时间 t ( 天 ) 的函数，且销售量近似地满足 f ( t ) ＝－ 2 t ＋ 200 (1 ≤ t ≤ 50 ， t ∈ N ). 前 30 天价格为 g ( t ) ＝ ＋ 30 (1 ≤ t ≤ 30 ， t ∈ N ) ，后 20 天价格为 g ( t ) ＝ 45 (31 ≤ t ≤ 50 ， t ∈ N ). (1) 写出该种商品的日销售额 S 与时间 t 的函数关系； 解 答 依 题意得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求日销售额 S 的最大值 . 解答 ① 当 1 ≤ t ≤ 30 ， t ∈ N 时， S ＝－ ( t － 20) 2 ＋ 6 400 ， ∴ 当 t ＝ 20 时， S 取得最大值为 6 400. ② 当 31 ≤ t ≤ 50 ， t ∈ N 时， S ＝－ 90 t ＋ 9 000 为递减函数， ∴ 当 t ＝ 31 时， S 取得最大值为 6 210. 综合知，当 t ＝ 20 时，日销售额 S 有最大值 6 400. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 写出 2016 年第 x 个月的旅游人数 f ( x )( 单位：人 ) 与 x 的函数关系式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 x ＝ 1 时， f (1) ＝ p (1) ＝ 37 ， 当 2 ≤ x ≤ 12 ，且 x ∈ N * 时， f ( x ) ＝ p ( x ) － p ( x － 1) 验证 x ＝ 1 也满足此式， 所以 f ( x ) ＝－ 3 x 2 ＋ 40 x ( x ∈ N * ，且 1 ≤ x ≤ 12). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 试问 2016 年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？ 解答 第 x 个月旅游消费总额为 ① 当 1 ≤ x ≤ 6 ，且 x ∈ N * 时， g ′ ( x ) ＝ 18 x 2 － 370 x ＋ 1 400 ，令 g ′ ( x ) ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当 1 ≤ x <5 时， g ′ ( x )>0 ， 当 5< x ≤ 6 时， g ′ ( x )<0 ， ∴ 当 x ＝ 5 时， g ( x ) max ＝ g (5) ＝ 3 125( 万元 ). ② 当 7 ≤ x ≤ 12 ，且 x ∈ N * 时， g ( x ) ＝－ 480 x ＋ 6 400 是减函数， ∴ 当 x ＝ 7 时， g ( x ) max ＝ g (7) ＝ 3 040( 万元 ). 综上， 2016 年 5 月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额 为 3 125 万元 .