高科数学专题复习课件：第四章 4_3三角函数的图象与性质 61页

§4.3 　 三角函数的图象与性质 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 正弦函数 y ＝ sin x ， x ∈ [ 0,2π ] 的图象中，五个关键点是： (0,0) ， ( ， 1) ， (π ， 0) ， ， (2π ， 0). 余弦函数 y ＝ cos x ， x ∈ [ 0,2π ] 的图象中，五个关键点是： (0,1) ， ( ， 0) ， ， ( ， 0) ， (2π ， 1). 1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 知识梳理 (π ，－ 1) 2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y ＝ sin x y ＝ cos x y ＝ tan x 图象 定义域 ____ ____ _______________________ 值域 R R { x | x ∈ R 且 x ≠ ＋ k π ， k ∈ Z } [ － 1,1] [ － 1,1] R 单调性 在 ______________ _________ 上 递增； 在 ______________ _________ 上 递减 在 ______________ ______ 上 递增； 在 ______________ ______ 上 递减 在 ____________ ___________ 上 递增 最值 当 _______________ 时 ， y max ＝ 1 ； 当 _______________ 时 ， y min ＝－ 1 当 x ＝ 时 ， y max ＝ 1 ； 当 x ＝ ___________ 时 ， y min ＝－ 1   2 k π]( k ∈ Z ) 2 k π]( k ∈ Z ) [ － π ＋ 2 k π ， 2 k π] ( k ∈ Z ) [2 k π ， π ＋ 2 k π] ( k ∈ Z ) ＋ k π ) ( k ∈ Z ) 2 k π( k ∈ Z ) π ＋ 2 k π( k ∈ Z ) 奇偶性 对称中心 _____________ _______________ _______________ 对称轴方程 ________________ _____________   周期 奇函数 偶函数 奇函数 ( k π ， 0)( k ∈ Z ) x ＝ k π( k ∈ Z ) 2π 2π π 1. 对称与周期 (1) 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离 是 个 周期 . (2) 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 . 2. 奇偶性 若 f ( x ) ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A ， ω ≠ 0) ，则 (1) f ( x ) 为偶函数的充要条件是 φ ＝ ＋ k π( k ∈ Z ) ； (2) f ( x ) 为奇函数的充要条件是 φ ＝ k π( k ∈ Z ). 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) y ＝ sin x 在第一、第四象限是增函数 .( 　　 ) (2) 常数函数 f ( x ) ＝ a 是周期函数，它没有最小正周期 .( 　　 ) (3) 正切函数 y ＝ tan x 在定义域内是增函数 .( 　　 ) (4) 已知 y ＝ k sin x ＋ 1 ， x ∈ R ，则 y 的最大值为 k ＋ 1.( 　　 ) (5) y ＝ sin | x | 是偶函数 .( 　　 ) (6) 若 sin x > ， 则 x > .( 　　 ) 思考辨析 × √ × × √ × 1. 函数 f ( x ) ＝ cos(2 x － ) 的最小正周期是 A. B.π C.2π D.4π 考点自测 答案 解析 答案 解析 3. 函数 y ＝ tan 2 x 的定义域是 答案 解析 4.(2016· 开封模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 4sin ( － 2 x ) ， x ∈ [ － π ， 0 ] ，则 f ( x ) 的单调递减区间是 答案 解析 答案 解析 2 或－ 2 题型分类　深度剖析 题型一　三角函数的定义域和值域 例 1 　 (1) 函数 f ( x ) ＝－ 2tan(2 x ＋ ) 的定义域是 _________________. 答案 解析 答案 解析 思维 升华 (1) 三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 ( 组 ) ，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 . (2) 三角函数值域的不同求法 ① 利用 sin x 和 cos x 的值域直接求； ② 把所给的三角函数式变换成 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的形式求值域； ③ 通过换元，转换成二次函数求值域 . 跟踪训练 1 　 (1) 函数 y ＝ lg(sin x ) ＋ 的 定义域 为 ________________________ . 答案 解析 答案 解析 题型二　三角函数的单调性 答案 解析 故选 B. 答案 解析 引申 探究 答案 解析 函数 y ＝ cos x 的单调递增区间为 [ － π ＋ 2 k π ， 2 k π ] ， k ∈ Z ， 思维 升华 (1) 已知三角函数解析式求单调区间： ① 求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律 “ 同增异减 ” ； ② 求形如 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 或 y ＝ A cos( ωx ＋ φ )( 其中 ω ＞ 0) 的单调区间时，要视 “ ωx ＋ φ ” 为一个整体，通过解不等式求解 . 但如果 ω ＜ 0 ，那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数，防止把单调性弄错 . (2) 已知三角函数的单调区间求参数 . 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解 . 答案 解析 答案 解析 ∵ f ( x ) ＝ sin ωx ( ω ＞ 0) 过原点， A. ①②③ B. ①③④ C . ②④ D. ①③ 题型三　三角函数的周期性、对称性 命题点 1 　周期性 答案 解析 ① y ＝ cos|2 x | ＝ cos 2 x ，最小正周期为 π ； ② 由图象知 y ＝ |cos x | 的最小正周期为 π ； (2) 若函数 f ( x ) ＝ 2tan( kx ＋ ) 的最小正周期 T 满足 1< T <2 ，则自然数 k 的值为 ________. 答案 解析 2 或 3 又 k ∈ Z ， ∴ k ＝ 2 或 3. A. 是奇函数且图象关于 点 ( ， 0) 对称 B. 是偶函数且图象关于点 (π ， 0) 对称 C. 是奇函数且图象关于直线 x ＝ 对称 D. 是偶函数且图象关于直线 x ＝ π 对称 命题点 2 　对称性 答案 解析 命题点 3 　对称性的应用 答案 解析 A.1 B.2 C.4 D.8 答案 解析 ∴ ω ＝ 6 k ＋ 2( k ∈ Z ) ， 又 ω ∈ N * ， ∴ ω min ＝ 2. 思维 升华 (1) 对于函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x ＝ x 0 或点 ( x 0 ,0) 是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f ( x 0 ) 的值进行判断 . (2) 求三角函数周期的方法： ① 利用周期函数的定义 . ② 利用公式： y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 和 y ＝ A cos( ωx ＋ φ ) 的最小正周期 为 ， y ＝ tan( ωx ＋ φ ) 的最小正周期 为 . 跟踪训练 3 　 (1)(2016· 朝阳模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ， 若对任意的实数 x ，总有 f ( x 1 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x 2 ) ，则 | x 1 － x 2 | 的最小值是 A.2 B.4 C.π D.2π 答案 解析 由题意可得 | x 1 － x 2 | 的最小值为半个周期， (2) 如果函数 y ＝ 3cos(2 x ＋ φ ) 的图象关于点 ( ， 0) 中心对称，那么 | φ | 的最小值为 答案 解析 三角函数的 性质 高频小考点 5 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分 . 考点分析 典例 　 (1)(2015· 课标全国 Ⅰ ) 函数 f ( x ) ＝ cos( ωx ＋ φ ) 的部分图象如图所示，则 f ( x ) 的单调递减区间为 答案 解析 A. － 1 B.3 C . － 1 或 3 D . － 3 答案 解析 又函数 f ( x ) 在对称轴处取得最值， 故 ±2 ＋ b ＝ 1 ， ∴ b ＝－ 1 或 b ＝ 3. 答案 解析 课时作业 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∵ T ＝ π ， ∴ ω ＝ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 若函数 f ( x ) ＝－ cos 2 x ，则 f ( x ) 的一个递增区间为 √ 答案 解析 由 f ( x ) ＝－ cos 2 x 知递增区间为 [ k π ， k π ＋ ] ， k ∈ Z ，故只有 B 项满足 . 3. 关于函数 y ＝ tan(2 x － ) ，下列说法正确的是 答案 解析 A. 是 奇函数 B . 在区间 (0 ， ) 上单调递减 C .( ， 0) 为其图象的一个 对称中心 D . 最小正周期为 π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2016· 潍坊模拟 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2sin( ωx － ) ＋ 1( x ∈ R ) 的图象的一条对称轴为 x ＝ π ，其中 ω 为常数，且 ω ∈ (1,2) ，则函数 f ( x ) 的最小正周期为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知函数 f ( x ) ＝－ 2sin(2 x ＋ φ )(| φ |<π) ，若 f ( ) ＝－ 2 ，则 f ( x ) 的一个单调递减区间是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 所以 ω ＝ 2 ，此时 f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 函数 y ＝ cos 2 x ＋ sin x (| x | ≤ ) 的最小值为 ________. 答案 解析 9. 函数 y ＝ cos ( － 2 x ) 的单调减区间为 ____________________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知函数 f ( x ) ＝ sin( ωx ＋ φ )(0< φ < ) 的最小正周期为 π. (1) 求当 f ( x ) 为偶函数时 φ 的值； ∴ ω ＝ 2 ， ∴ f ( x ) ＝ sin(2 x ＋ φ ). 当 f ( x ) 为偶函数时， f ( － x ) ＝ f ( x ) ， ∴ sin(2 x ＋ φ ) ＝ sin( － 2 x ＋ φ ) ， 将上式展开整理得 sin 2 x cos φ ＝ 0 ， 由已知上式对 ∀ x ∈ R 都成立， 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求 f ( x ) 的最小正周期； 解 答 所以 f ( x ) 的最小正周期为 2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 求常数 a ， b 的值； ∴ f ( x ) ∈ [ b, 3 a ＋ b ] ，又 ∵ － 5 ≤ f ( x ) ≤ 1 ， ∴ b ＝－ 5,3 a ＋ b ＝ 1 ，因此 a ＝ 2 ， b ＝－ 5. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 又由 lg g ( x )>0 ，得 g ( x )>1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13