【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第八章　第5讲　平行、垂直的综合问题作业 7页

第5讲　平行、垂直的综合问题 ‎[基础题组练]‎ ‎1．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是(　　)‎ A．平面ABD⊥平面ABC　 B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：选D.因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，‎ 所以BD⊥CD.‎ 又平面ABD⊥平面BCD，‎ 且平面ABD∩平面BCD＝BD，‎ 故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.‎ 又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB⊥平面ADC.‎ 又AB平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 ．‎ 解析：如图，过点P分别作PE⊥BC交BC于点E，作PF⊥AC交AC于点F.由题意知PE＝PF＝.过P作PH⊥平面ABC于点H，连接HE，HF，HC，易知HE＝HF，则点H在∠ACB的平分线上，又∠ACB＝90°，故△CEH为等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝，则CE＝1，故CH＝，在Rt△PCH中，可得PH＝，即点P到平面ABC的距离为.‎ 答案： ‎3．(2020·陕西西安模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6，E是棱PC上的一点．‎ ‎(1)证明：BC⊥平面PBD；‎ ‎(2)若PA∥平面BDE，求的值．‎ 解：(1)证明：由已知条件可知AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.‎ 因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.‎ 又PD∩BD＝D，所以AD⊥平面PBD.‎ 因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD，‎ 所以BC⊥平面PBD.‎ ‎(2)如图，连接AC交BD于点F，连接EF，‎ 则EF是平面PAC与平面BDE的交线．‎ 因为PA∥平面BDE，所以PA∥EF.‎ 因为F是AC的中点，所以E是PC的中点，‎ 所以＝.‎ ‎4．(2020·内蒙古呼和浩特第一次质量普查)如图，平面四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，沿BD折起，使AC＝2.‎ ‎(1)证明：△ACD为直角三角形；‎ ‎(2)设B在平面ACD内的射影为P，求四面体PBCD的体积．‎ 解：(1)证明：在Rt△ABD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2，‎ 所以AD＝＝＝2，‎ 因为AC＝2，CD＝2，所以AC2＋CD2＝AD2，‎ 所以AC⊥CD，‎ 所以△ACD是直角三角形．‎ ‎(2)由(1)知CD⊥AC，易知CD⊥BC，‎ 因为AC∩BC＝C，所以CD⊥平面ABC，又CD平面ACD，‎ 所以平面ABC⊥平面ACD，其交线为AC，‎ 故过B点作AC的垂线，垂足为P，点P即为B在平面ACD内的射影，‎ 易知P为AC的中点，‎ 所以四面体PBCD的体积VPBCD＝××2×2×1＝.‎ ‎5.(2020·宿州市质量检测)如图，四棱锥EABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD为矩形，AD＝6，AB＝5，BE＝3，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.‎ ‎(1)求证：AE⊥BE；‎ ‎(2)设M在线段DE上，且满足EM＝2MD，试在线段AB上确定一点N，使得MN∥平面BCE，并求MN的长．‎ 解：(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，‎ 所以BC⊥AB.‎ 因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，且BC平面ABCD，‎ 所以BC⊥平面ABE.‎ 又AE平面ABE，‎ 所以BC⊥AE.‎ 因为BF⊥平面ACE，AE平面ACE，‎ 所以BF⊥AE.‎ 又因为BC∩BF＝B，BC平面BCE，BF平面BCE，‎ 所以AE⊥平面BCE，‎ 因为BE平面BCE，‎ 所以AE⊥BE.‎ ‎(2)如图，在△ADE中过M点作MG∥AD交AE于G点，在△ABE中过G点作GN∥BE交AB于N点，连接MN，‎ 因为NG∥BE，NG平面BCE，BE平面BCE，‎ 所以NG∥平面BCE.‎ 同理可证，GM∥平面BCE.‎ 因为MG∩GN＝G，‎ 所以平面MGN∥平面BCE，‎ 又因为MN平面MGN，‎ 所以MN∥平面BCE，‎ 因为M点为线段DE上靠近D点的一个三等分点，‎ 所以N点为线段AB上靠近A点的一个三等分点，‎ AD＝6，AB＝5，BE＝3，‎ 所以MG＝AD＝4，NG＝BE＝1，‎ 所以MN＝＝＝.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·吉林长春质量监测(二))四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD＝2AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝，M为PC中点．‎ ‎(1)求证：平面PBC⊥平面BMD；‎ ‎(2)求点B到平面PCD的距离．‎ 解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，BD＝，cos∠BDC＝cos∠DBA＝，‎ 在△BCD中，由余弦定理得BC＝，‎ 由勾股定理得PD＝2，PB＝，‎ 所以△PCD，△PCB是等腰三角形，‎ 所以PC⊥MD，PC⊥MB，‎ 因为MD∩MB＝M，‎ 所以PC⊥平面MDB，‎ 因为PC平面PBC，‎ 所以平面PBC⊥平面BDM.‎ ‎(2)取PD的中点N，连接AN，MN，‎ 所以ANMB为平行四边形，‎ 所以BM∥AN，BM＝AN＝1，‎ 因为PA＝AD，所以AN⊥PD，‎ 又易知CD⊥平面PAD，AN平面PAD，‎ 所以CD⊥AN，所以AN⊥平面PCD，‎ 所以BM⊥平面PCD，‎ 所以B到平面PCD的距离为1.‎ ‎2．(2020·郑州市第二次质量预测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.‎ ‎(1)求证：AD⊥PB；‎ ‎(2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥DCEG的体积；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)证明：连接PF，因为△PAD是等边三角形，‎ 所以PF⊥AD.‎ 因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以BF⊥AD.‎ 又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，‎ 又PB平面BFP，所以AD⊥PB.‎ ‎(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.‎ 由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D，‎ 所以BF⊥平面PAD.‎ 又BF平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，‎ 又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，‎ 所以PF⊥平面ABCD.‎ 连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于点G，‎ 所以GH⊥平面ABCD.‎ 又GH平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.‎ 因为AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，‎ 所以＝＝，所以＝＝，‎ 所以GH＝PF＝，‎ 所以VDCEG＝VGCDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin ·GH＝.‎ ‎3．如图(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于点E(不同于点D)，延长AE交BC于点F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1BCD，如图(2)所示．‎ ‎(1)若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；‎ ‎(2)求证：BD⊥A1F；‎ ‎(3)若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．‎ 解：(1)证明：因为D，M分别为AC，FC的中点，所以DM∥EF，又EF平面A1EF，DM平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.‎ ‎(2)证明：因为A1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，‎ 所以BD⊥平面A1EF.‎ 又A1F平面A1EF，所以BD⊥A1F.‎ ‎(3)直线A1B与直线CD不能垂直．‎ 理由如下：‎ 因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF平面BCD，所以EF⊥平面A1BD.‎ 因为A1B平面A1BD，所以A1B⊥EF，‎ 又因为EF∥DM，所以A1B⊥DM.‎ 假设A1B⊥CD，‎ 因为CD∩DM＝D，所以A1B⊥平面BCD，‎ 所以A1B⊥BD，‎ 这与∠A1BD为锐角矛盾，所以直线A1B与直线CD不能垂直．‎