- 407.00 KB
- 2021-06-24 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
[基础题组练]
1.(2020·辽宁大连模拟)已知直线 l 和平面 α,β,且 lα,则“l⊥β”是“α⊥β”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选 A.由面面垂直的判定定理可得,若 lα,l⊥β,则 α⊥β,充分性成立;若 l
α,α⊥β,则 l 与 β 平行或相交或垂直,必要性不成立.所以若 l α,则“l⊥β”是
“α⊥β”的充分不必要条件,故选 A.
2.(2020·河北唐山模拟)如图,在以下四个正方体中,直线 AB 与平面 CDE 垂直的是( )
A.①② B.②④
C.①③ D.②③
解析:选 B.对于①,易证 AB 与 CE 所成角为 45°,则直线 AB 与平面 CDE 不垂直;
对于②,易证 AB⊥CE,AB⊥ED,且 CE∩ED=E,则 AB⊥平面 CDE;对于③,易证 AB
与 CE 所成角为 60°,则直线 AB 与平面 CDE 不垂直;对于④,易证 ED⊥平面 ABC,则
ED⊥AB,同理 EC⊥AB,可得 AB⊥平面 CDE.故选 B.
3.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图,在三棱锥 V-ABC 中,VO⊥平面 ABC,O∈CD,VA=
VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是( )
A.AC=BC
B.AB⊥VC
C.VC⊥VD
D.S△VCD·AB=S△ABC·VO
解析:选 C.因为 VO⊥平面 ABC,AB平面 ABC,所以 VO⊥AB.因为 VA=VB,AD=
BD,所以 VD⊥AB.又因为 VO∩VD=V,所以 AB⊥平面 VCD.又因为 CD平面 VCD,所以
AB⊥CD.又因为 AD=BD,所以 AC=BC,故 A 正确.
又因为 VC平面 VCD,所以 AB⊥VC,故 B 正确;
因为 S△VCD=1
2VO·CD,S△ABC=1
2AB·CD,所以 S△VCD·AB=S△ABC·VO,故 D 正确.由
题中条件无法判断 VC⊥VD.故选 C.
4.如图,在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的
射影 H 必在( )
A.直线 AB 上
B.直线 BC 上
C.直线 AC 上
D.△ABC 内部
解析:选 A.由 AC⊥AB,AC⊥BC1,得 AC⊥平面 ABC1.
因为 AC平面 ABC,
所以平面 ABC1⊥平面 ABC.
所以 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上.
5.如图,在正四面体 PABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论
不成立的是( )
A.BC∥平面 PDF
B.DF⊥平面 PAE
C.平面 PDF⊥平面 PAE
D.平面 PDE⊥平面 ABC
解析:选 D.因为 BC∥DF,DF平面 PDF,
BC ⊆/
平面 PDF,
所以 BC∥平面 PDF,故选项 A 正确;
在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,
且 AE,PE平面 PAE,
所以 BC⊥平面 PAE,
因为 DF∥BC,所以 DF⊥平面 PAE,
又 DF平面 PDF,
从而平面 PDF⊥平面 PAE.
因此选项 B,C 均正确.
6.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面 ABC,PC=
4,M 是边 AB 上的一个动点,则 PM 的最小值为________.
解析:作 CH⊥AB 于 H,连接 PH.因为 PC⊥平面 ABC,所以 PH⊥AB,PH 为 PM 的最
小值,等于 2 7.
答案:2 7
7.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是边 PC
上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确
的条件即可)
解析:
连接 AC,BD,则 AC⊥BD,因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD.又 PA∩AC=A,所
以 BD⊥平面 PAC,所以 BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD.
而 PC平面 PCD,所以平面 MBD⊥平面 PCD.
答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC)
8.如图,PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,
给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中正确结论的序
号是________.
解析:①AE平面 PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥
BC,PB平面 PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF平面 AEF⇒EF⊥PB,故②正确;③若 AF⊥
BC⇒AF⊥平面 PBC,则 AF∥AE 与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.
答案:①②④
9.如图,在多面体 ABCDPE 中,四边形 ABCD 和 CDPE 都是直角梯形,AB∥DC,PE∥
DC,AD⊥DC,PD⊥平面 ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F 是 CE 的中点.
(1)求证:BF∥平面 ADP;
(2)已知 O 是 BD 的中点,求证:BD⊥平面 AOF.
证明:
(1)如图,取 PD 的中点为 G,连接 FG,AG,
因为 F 是 CE 的中点,所以 FG 是梯形 CDPE 的中位线,
因为 CD=3PE,所以 FG=2PE,
FG∥CD,因为 CD∥AB,AB=2PE,
所以 AB∥FG,AB=FG,
即四边形 ABFG 是平行四边形,
所以 BF∥AG,
又 BF ⊆/
平面 ADP,AG平面 ADP,
所以 BF∥平面 ADP.
(2)延长 AO 交 CD 于点 M,连接 BM,FM,
因为 BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O 为 BD 的中点,
所以 ABMD 是正方形,则 BD⊥AM,MD=2PE.
所以 FM∥PD,因为 PD⊥平面 ABCD,
所以 FM⊥平面 ABCD,所以 FM⊥BD,
因为 AM∩FM=M,所以 BD⊥平面 AMF,
所以 BD⊥平面 AOF.
10.(一题多解)如图 1,在等腰梯形 PDCB 中,PB∥DC,PB=3,DC=1,∠DPB=45
°,DA⊥PB 于点 A,将△PAD 沿 AD 折起,构成如图 2 所示的四棱锥 PABCD,点 M 在棱
PB 上,且 PM=1
2MB.
(1)求证:PD∥平面 MAC;
(2)若平面 PAD⊥平面 ABCD,求点 A 到平面 PBC 的距离.
解:(1)证明:在四棱锥 PABCD 中,连接 BD 交 AC 于点 N,连接 MN,
依题意知 AB∥CD,
所以△ABN∽△CDN,
所以BN
ND=BA
CD=2,
因为 PM=1
2MB,
所以BN
ND=BM
MP=2,
所以在△BPD 中,MN∥PD,
又 PD ⊆/
平面 MAC,MN平面 MAC.
所以 PD∥平面 MAC.
(2)法一:因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且两平面相交于 AD,PA⊥AD,PA平面
PAD,
所以 PA⊥平面 ABCD,
所以 VPABC=1
3S△ABC·PA=1
3×(1
2 × 2 × 1)×1=1
3.
因为 AB=2,AC= AD2+CD2= 2,
所以 PB= PA2+AB2= 5,PC= PA2+AC2= 3,BC= AD2+(AB-CD)2= 2,
所以 PB2=PC2+BC2,故∠PCB=90°,
记点 A 到平面 PBC 的距离为 h,
所以 VAPBC=1
3S△PBC·h=1
3×(1
2 × 3 × 2)h
= 6
6 h.
因为 VPABC=VAPBC,
所以1
3= 6
6 h,解得 h= 6
3 .
故点 A 到平面 PBC 的距离为 6
3 .
法二:
因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且两平面相交于 AD,PA⊥AD,PA平面 PAD,
所以 PA⊥平面 ABCD,
因为 BC平面 ABCD,
所以 PA⊥BC,
因为 AB=2,AC= AD2+CD2= 2,
BC= AD2+(AB-CD)2= 2,
所以∠ACB=90°,即 BC⊥AC,
又 PA∩AC=A,PA,AC平面 PAC,
所以 BC⊥平面 PAC,
过点 A 作 AE⊥PC 于点 E,则 BC⊥AE,
因为 PC∩BC=C,PC,BC平面 PBC,
所以 AE⊥平面 PBC,
所以点 A 到平面 PBC 的距离为 AE=PA·AC
PC =1 × 2
3
= 6
3 .
[综合题组练]
1.如图,边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G,已知△A′DE
是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( )
①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上;
②BC∥平面 A′DE;
③三棱锥 A′FED 的体积有最大值.
A.① B.①②
C.①②③ D.②③
解析:选 C.①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC,
所以点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上.
②BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得 BC∥平面 A′DE.
③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′FED 的体积达到最大,故选 C.
2.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F 分
别是 AB,CD 的中点,将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折,给出下列四个结论:
①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面 BDF⊥平面 BCF;④平面 DCF⊥平面 BCF,则上述结论可
能正确的是( )
A.①③ B.②③
C.②④ D.③④
解析:选 B.对于①,因为 BC∥AD,AD 与 DF 相交但不垂直,
所以 BC 与 DF 不垂直,则①不成立;对于②,设点 D 在平面 BCF
上的射影为点 P,当 BP⊥CF 时就有 BD⊥FC,而 AD∶BC∶AB=2∶
3∶4 可使条件满足,所以②正确;对于③,当点 D 在平面 BCF 上
的射影 P 落在 BF 上时,DP平面 BDF,从而平面 BDF⊥平面 BCF,所以③正确;对于
④,因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上,所以④不成立.
3.在矩形 ABCD 中,AB<BC,现将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,
在翻折的过程中,给出下列结论:
①存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直;
②存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直;
③存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直.
其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
解析:①假设 AC 与 BD 垂直,过点 A 作 AE⊥BD 于点 E,连接 CE.则Error!⇒BD⊥平
面 AEC⇒BD⊥CE,而在平面 BCD 中,EC 与 BD 不垂直,故假设不成立,①错.
②假设 AB⊥CD,因为 AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ACD,所以 AB⊥AC,由 AB<BC 可
知,存在这样的等腰直角三角形,使 AB⊥CD,故假设成立,②正确.
③假设 AD⊥BC,
因为 DC⊥BC,所以 BC⊥平面 ADC,
所以 BC⊥AC,即△ABC 为直角三角形,且 AB 为斜边,而 AB<BC,故矛盾,假设不
成立,③错.综上,填②.
答案:②
4.如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱长为 2,AC=BC=1,∠ACB=90
°,D 是 A1B1 的中点,F 是 BB1 上的动点,AB1,DF 交于点 E.要使 AB1⊥平
面 C1DF,则线段 B1F 的长为________.
解析:设 B1F=x,因为 AB1⊥平面 C1DF,DF平面 C1DF,所以 AB1⊥DF.
由已知可以得 A1B1= 2,
设 Rt△AA1B1 斜边 AB1 上的高为 h,则 DE=1
2h,
又 2× 2=h× 22+( 2)2,
所以 h=2 3
3 ,DE= 3
3 .
在 Rt△DB1E 中,B1E= ( 2
2 )2-( 3
3 )2= 6
6 .
由面积相等得 6
6 × x2+( 2
2 )2= 2
2 x,得 x=1
2.即线段 B1F 的长为1
2.
答案:1
2
5.(2020·河南郑州第二次质量预测)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2
的菱形,∠BAD=π
3,△PAD 是等边三角形,F 为 AD 的中点,PD⊥BF.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若 E 在线段 BC 上,且 EC=1
4BC,能否在棱 PC 上找到一点 G,使平面 DEG⊥平面
ABCD?若存在,求出三棱锥 D-CEG 的体积;若不存在,请说明理由.
解:(1)证明:连接 PF,因为△PAD 是等边三角形,F 是 AD 的中点,所以 PF⊥AD.
因为底面 ABCD 是菱形,∠BAD=π
3,所以 BF⊥AD.
又 PF∩BF=F,所以 AD⊥平面 BFP,又 PB平面 BFP,
所以 AD⊥PB.
(2)能在棱 PC 上找到一点 G,使平面 DEG⊥平面 ABCD.
由(1)知 AD⊥BF,因为 PD⊥BF,AD∩PD=D,所以 BF⊥平面 PAD.
又 BF平面 ABCD,所以平面 ABCD⊥平面 PAD,
又平面 ABCD∩平面 PAD=AD,且 PF⊥AD,所以 PF⊥平面 ABCD.
连接 CF 交 DE 于点 H,过 H 作 HG∥PF 交 PC 于点 G,所以 GH⊥平面 ABCD.
又 GH平面 DEG,所以平面 DEG⊥平面 ABCD.
因为 AD∥BC,所以△DFH∽△ECH,所以CH
HF=CE
DF=1
2,
所以CG
GP=CH
HF=1
2,
所以 GH=1
3PF= 3
3 ,
所以 VD-CEG=VG-CDE=1
3S△CDE·GH=1
3×1
2DC·CE·sin π
3·GH= 1
12.
6.如图(1),在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D 为 AC 的中点,AE⊥BD 于点 E(不同于
点 D),延长 AE 交 BC 于点 F,将△ABD 沿 BD 折起,得到三棱锥 A 1BCD,如图(2)所
示.
(1)若 M 是 FC 的中点,求证:直线 DM∥平面 A1EF;
(2)求证:BD⊥A1F;
(3)若平面 A1BD⊥平面 BCD,试判断直线 A1B 与直线 CD 能否垂直?并说明理由.
解:(1)证明:因为 D,M 分别为 AC,FC 的中点,
所以 DM∥EF,
又 EF平面 A1EF,DM ⊆/
平面 A1EF,
所以 DM∥平面 A1EF.
(2)证明:因为 A1E⊥BD,EF⊥BD 且 A1E∩EF=E,
所以 BD⊥平面 A1EF.
又 A1F平面 A1EF,
所以 BD⊥A1F.
(3)直线 A1B 与直线 CD 不能垂直.理由如下:
因为平面 A1BD⊥平面 BCD,平面 A1BD∩平面 BCD=BD,EF⊥BD,EF⊂平面 BCD,
所以 EF⊥平面 A1BD.
因为 A1B平面 A1BD,
所以 A1B⊥EF,
又因为 EF∥DM,所以 A1B⊥DM.
假设 A1B⊥CD,
因为 CD∩DM=D,
所以 A1B⊥平面 BCD,
所以 A1B⊥BD,
这与∠A1BD 为锐角矛盾,
所以直线 A1B 与直线 CD 不能垂直.
相关文档
- 【数学】2018届一轮复习北师大版 2021-06-248页
- 【数学】2019届一轮复习北师大版排2021-06-2412页
- 【数学】2021届一轮复习北师大版(理2021-06-242页
- 【数学】2019届一轮复习北师大版 2021-06-245页
- 【数学】2020届一轮复习北师大版几2021-06-2411页
- 高中数学北师大版新教材必修一课时2021-06-2411页
- 【数学】2019届一轮复习北师大版 2021-06-2410页
- 【数学】2019届一轮复习北师大版统2021-06-246页
- 【数学】2021届一轮复习北师大版(文2021-06-2415页
- 2020-2021学年北师大版数学必修4课2021-06-2410页