高中数学人教a版选修1-1学业分层测评10双曲线的简单几何性质word版含解析 7页

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．双曲线 x2 9 － y2 16 ＝1的渐近线方程是( ) A．4x±3y＝0 B．16x±9y＝0 C．3x±4y＝0 D．9x±16y＝0 【解析】 由题意知，双曲线焦点在 x轴上，且 a＝3，b＝4， ∴渐近线方程为 y＝±4 3 x，即 4x±3y＝0. 【答案】 A 2．中心在原点，实轴在 x轴上，一个焦点在直线 3x－4y＋12＝0 上的等轴双曲线方程是( ) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 【解析】 令 y＝0，得 x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝1 2 c2＝1 2 ×16＝8，故选 A. 【答案】 A 3．设双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则 双曲线的渐近线方程为( ) A．y＝± 2x B．y＝±2x C．y＝± 2 2 x D．y＝±1 2 x 【解析】 由已知，得 b＝1，c＝ 3，a＝ c2－b2＝ 2. 因为双曲线的焦点在 x轴上， 所以渐近线方程为 y＝±b a x＝± 2 2 x. 【答案】 C 4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线 x2 a2 － y2 3 ＝1(a>0)的离心率为 2，则 a＝( ) A．2 B. 6 2 C. 5 2 D．1 【解析】 由题意得 e＝ a2＋3 a ＝2，∴ a2＋3＝2a， ∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1. 【答案】 D 5．与曲线 x2 24 ＋ y2 49 ＝1共焦点，且与曲线 x2 36 － y2 64 ＝1共渐近线的双 曲线的方程为( ) A.y 2 16 － x2 9 ＝1 B.x 2 16 － y2 9 ＝1 C.y 2 9 － x2 16 ＝1 D.x 2 9 － y2 16 ＝1 【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双 曲线方程为 x2 36 － y2 64 ＝λ(λ＜0)，即 y2 －64λ － x2 －36λ ＝1. 由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－ 1 4 . 故所求双曲线的方程为 y2 16 － x2 9 ＝1. 【答案】 A 二、填空题 6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2，焦点到渐近线的距 离为 6，则该双曲线的离心率为________． 【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得 2 6 ＝ a c ，∴ c a ＝3，即 e＝3. 【答案】 3 7．直线 3x－y＋ 3＝0被双曲线 x2－y2＝1截得的弦 AB的长是 ________． 【解析】 联立消去 y，得 x2＋3x＋2＝0，设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则 x1＋x2＝－3，x1x2＝2， ∴|AB|＝ 1＋ 32· －32－4×2＝2. 【答案】 2 8．若直线 x＝2与双曲线 x2－y2 b2 ＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于 点 A，B，且△AOB的面积为 8，则焦距为________. 【导学号：26160051】 【解析】 由双曲线为 x2－y2 b2 ＝1 得渐近线为 y＝±bx，则交点 A(2,2b)，B(2，－2b)． ∵S△AOB＝ 1 2 ×2×4b＝8，∴b＝2. 又 a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5. ∴焦距 2c＝2 5. 【答案】 2 5 三、解答题 9．已知双曲线 C的方程为 y2 a2 － x2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)，离心率 e＝ 5 2 ， 顶点到渐近线的距离为 2 5 5 ，求双曲线 C的方程． 【解】 依题意，双曲线的焦点在 y轴上，顶点坐标为(0，a)， 渐近线方程为 y＝±a b x，即 ax±by＝0， 所以 ab a2＋b2 ＝ ab c ＝ 2 5 5 . 又 e＝c a ＝ 5 2 ， 所以 b＝1，即 c2－a2＝1， 5 2 a 2－a2＝1， 解得 a2＝4，故双曲线方程为 y2 4 －x2＝1. 10．双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为 F1，F2，若双曲 线上存在点 P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围． 【解】 由题意知在双曲线上存在一点 P，使得|PF1|＝2|PF2|， 如图所示． 又∵|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点 P，使得|PF2|＝2a，即 |AF2|≤2a. ∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a. 又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜c a ≤3，即 1＜e≤3. [能力提升] 1．双曲线 x2 4 ＋ y2 k ＝1的离心率 e∈(1,2)，则 k的取值范围是( ) A．(－10,0) B．(－12,0) C．(－3,0) D．(－60，－12) 【解析】 双曲线方程化为 x2 4 － y2 －k ＝1，则 a2＝4，b2＝－k，c2 ＝4－k，e＝c a ＝ 4－k 2 ，又∵e∈(1,2)，∴1< 4－k 2 <2，解得－120，b>0)，由题意 知 c＝3，a2＋b2＝9， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x21 a2 － y21 b2 ＝1， x22 a2 － y22 b2 ＝1， 两式作差得 y1－y2 x1－x2 ＝ b2x1＋x2 a2y1＋y1 ＝ －12b2 －15a2 ＝ 4b2 5a2 ， 又 AB的斜率是 －15－0 －12－3 ＝1， 所以 4b2＝5a2，代入 a2＋b2＝9得 a2＝4，b2＝5， 所以双曲线标准方程是 x2 4 － y2 5 ＝1. 【答案】 B 3．已知双曲线 x2－y2 3 ＝1的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P为双 曲线右支上一点，则PA1→ ·PF2→ 的最小值为________． 【解析】 由题意得 A1(－1,0)，F2(2,0)， 设 P(x，y)(x≥1)， 则PA1→＝(－1－x，－y)， PF2→ ＝(2－x，－y)， ∴PA1→ ·PF2→ ＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2， 由双曲线方程得 y2＝3x2－3， 代入上式得PA1→ ·PF2→ ＝4x2－x－5 ＝4 x－1 8 2－ 81 16 ， 又 x≥1，所以当 x＝1时，PA1→ ·PF2→ 取得最小值，且最小值为－2. 【答案】 －2 4．(2016·荆州高二检测)双曲线 C 的中点在原点，右焦点为 F 2 3 3，0 ，渐近线方程为 y＝± 3x. (1)求双曲线 C的方程； 【导学号：26160052】 (2)设直线 L：y＝kx＋1与双曲线交于 A，B两点，问：当 k为何 值时，以 AB为直径的圆过原点？ 【解】 (1)设双曲线的方程为 x2 a2 － y2 b2 ＝1，由焦点坐标得 c＝2 3 3， 渐近线方程为 y＝±b a x＝± 3x，结合 c2＝a2＋b2得 a2＝1 3 ，b2＝1，所以 双曲线 C的方程为 x2 1 3 －y2＝1，即 3x2－y2＝1. (2)由 y＝kx＋1， 3x2－y2＝1， 得(3－k2)x2－2kx－2＝0， 由Δ>0，且 3－k2≠0，得－ 6