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  • 2021-06-24 发布

2020学年高一数学上学期期末质量监测试题(含解析)(新版)新人教版

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‎2019学年度第一学期期末质量监测试卷 高一数学 一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,选A.‎ ‎2. ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,选A.‎ ‎3. 甲、乙两人在一次赛跑中,路程与时间的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )‎ A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点 ‎【答案】D ‎【解析】由路程和时间的函数图像可以得到甲和乙同时出发,甲的速度大于乙的速度,甲先于乙到达.选D.‎ ‎4. 若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,故选D.‎ - 8 -‎ ‎5. 若幂函数的图象经过点,则的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设,则,故,,从而,故选C.‎ ‎6. 函数的零点个数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,令,故,符合;当时,令,故,符合,所以的零点有2个,选B.‎ ‎7. 在下列给出的函数中,以为周期且在区间内是减函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎8. 设,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,故,又,故,而,故,故的大小关系为,选C.‎ 点睛:注意利用函数的单调性来比较大小.‎ ‎9. 在中,为边上一点,且,若,则( )‎ A. , B. , C. , D. ,‎ ‎【答案】D - 8 -‎ ‎【解析】由题设有,整理有,从而有,故,选D.‎ 点睛:在向量的线性运算中,注意利用加减法把未知的向量向已知的向量转化.‎ ‎10. 把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),然后向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度,得到的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到的图像对应的解析式为,然后向左平移个单位长度后得到的图像对应的解析式为,再向下平移个单位长度后,得到的图像对应的解析式,其最小正周期为,故排除C、 D,又该函数的图像过,故选A.‎ 点睛:一般地,图像变换有周期变换和平移变换,要注意如下事实:‎ ‎(1)把函数图像上点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍(),那么所得图像对应的解析式为;‎ ‎(2)把函数的图像向左平移个单位长度,则所得图像对应的解析式为.‎ 二、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎11. 如图,若集合,,则图中阴影部分表示的集合为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】图像阴影部分对应的集合为, ,故,故填 - 8 -‎ ‎.‎ ‎12. 已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则的值为__________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】因为为奇函数,故,故填.‎ ‎13. 设向量,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎............‎ ‎14. 设、、为的三个内角,则下列关系式中恒成立的是__________(填写序号).‎ ‎①;②;③‎ ‎【答案】②、③‎ ‎【解析】因为是的内角,故,,从而,,,故选②、③.‎ 点睛:三角形中各角的三角函数关系,应注意利用 这个结论.‎ ‎15. 如图所示,矩形的三个顶点,,分别在函数,,的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标,若点的纵坐标为,则点的坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为的纵坐标为,所以令,解得的横坐标为,故.令,解得,故,令,故,所以,填.‎ 点睛:由于是矩形且它的边平行于坐标轴,所以,因已知,故可求,也就求得了,最后求出即得的坐标.‎ - 8 -‎ 三、解答题 (本大题共5小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎16. 已知,且为第二象限角.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)因为为第二象限角且正弦已知,故可以利用平方关系计算其余弦,再利用二倍角公式计算.(2)由(1)可以得到,故利用两角和的正切可得.‎ 解析:(1)因为,且为第二象限角,所以,故.‎ ‎(2)由(1)知,故.‎ ‎17. 设,为两个不共线的向量,若,.‎ ‎(1)若与共线,求实数的值;‎ ‎(2)若,为互相垂直的单位向量,且,求实数的值.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)因为与共线,故存在实数,使得,再利用平面向量基本定理可以求出.(2)因为,故,再利用化简前者,可以得到,从而得到.‎ 解析:(1)设为两个不共线的向量,若,,由与共线可知,存在实数,使得,即,故.‎ ‎(2)由得,即,又,故化简得,则.(或由为互相垂直的单位向量,则可设.由可得,即,故)‎ - 8 -‎ 点睛:在向量数量积的计算中,注意合理利用向量垂直简化运算.‎ ‎18. 已知函数,其中.‎ ‎(1)求的定义域;‎ ‎(2)当时,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用对数的真数为正数求出函数的定义域为.(2)在定义域上把化为,利用二次函数求出,从而求出函数的最小值为.‎ 解析:(1)欲使函数有意义,则有,解得,则函数的定义域为.‎ ‎(2)因为,所以,配方得到.因为,故,所以(当时取等号),即的最小值为.‎ 点睛:求与对数有关的函数的定义域,应该考虑不变形时自变量满足的条件.‎ ‎19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中小时以内(含小时)每张球台元,超过小时的部分每张球台每小时元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动,活动时间不少于小时,也不超过小时,设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元,在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元.‎ ‎(1)试分别写出与的解析式;‎ ‎(2)选择哪家比较合算?请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(),(2)见解析 ‎【解析】试题分析:(1)由题设,,,后者是分段函数.(2)令,解得,则时,分别有,从而可以确定哪家比较合算.‎ 解析:(1)由题设有, .‎ ‎(2)令时,解得;令,解得,所以:‎ 当时, ,选甲家比较合算;‎ - 8 -‎ 当时,,两家一样合算;‎ 当时,,选乙家比较合算.‎ ‎20. 阅读与探究 人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学4(必修)》在第一章的小结中写到:‎ 将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法,而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆,建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系,从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此,正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质(主要是对称性)之间存在着非常紧密的联系.例如,和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性;单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的;圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此,三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.‎ ‎ ‎ 依据上述材料,利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.‎ 比如:由图1.2-7可知,角的终边落在四个象限时均存在正切线;角的终边落在轴上时,其正切线缩为一个点,值为;角的终边落在轴上时,其正切线不存在;所以正切函数的定义域是.‎ ‎(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性;‎ - 8 -‎ ‎(2)根据阅读材料中途1.2-7,若角为锐角,求证:.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】试题分析:(1)在单位圆中画出角的正切线,观察随增大正切线的值得变化情况,再观察时,正切线的值随增大时的变化情况,发现正切函数在区间上单调递增.(2)当是锐角时,有,由此得到.‎ 解析:(1)当时, 增大时正切线的值越来越大;当时,正切线与区间上的情况完全一样;随着角的终边不停旋转,正切线不停重复出现,故可得出正切函数在区间上单调递增;由题意知正切函数的定义域关于原点对称,在坐标系中画出角 和,它们的终边关于轴对称,在单位圆中作出它们的正切线,可以发现它们的正切线长度相等,方向相反,即,得出正切函数为奇函数.‎ ‎(2)如图,当为锐角时,在单位圆中作出它的正弦线,正切线,又因为,所以,又 ,而,故即.‎ 点睛:三角函数线是研究三角函数性质(如定义域、值域、周期性、奇偶性等)的重要工具,它体现了数形结合的数学思想,是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 8 -‎