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  • 2021-06-24 发布

高中数学第8章圆锥曲线方程(第15课时)抛物线的简单几何性质(1)

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课 题:8.6抛物线的简单几何性质(一)‎ 教学目的:‎ ‎1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;‎ ‎2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;‎ ‎3.在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化 ‎ 教学重点:抛物线的几何性质及其运用 教学难点:抛物线几何性质的运用 ‎ 授课类型:新授课 ‎ 课时安排:1课时 ‎ 教 具:多媒体、实物投影仪 ‎ 内容分析:   “抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节,它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到,也是大纲规定的必须掌握的内容,还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题,本节一如前面各节一样起着相当重要的作用 研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样,按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究,完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程,求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,一次项的变量如果为(或),则轴(或轴)是抛物线的对称轴,一次项的符号决定开口方向,由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数 ‎ 本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题;第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3‎ 教学过程:‎ 一、复习引入: ‎ ‎1.抛物线定义:‎ 平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线 ‎ ‎2.抛物线的标准方程: ‎ 图形 方程 焦点 准线 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的,即 ‎ 不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为、左端为;图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为,左端为 (2)开口方向在X轴(或Y轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴(或Y轴)负向时,焦点在X轴(或Y轴)负半轴时,方程右端取负号 ‎ 二、讲解新课:‎ 抛物线的几何性质 ‎1.范围 因为p>0,由方程可知,这条抛物线上的点M的坐标(x,y)满足不等式x≥0,所以这条抛物线在y轴的右侧;当x的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.‎ ‎2.对称性 以-y代y,方程不变,所以这条抛物线关于x轴对称,我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.‎ ‎3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 中,当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点.‎ ‎4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e表示.由抛物线的定义可知,e=1.‎ 对于其它几种形式的方程,列表如下:‎ 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率 轴 轴 轴 轴 注意强调的几何意义:是焦点到准线的距离 抛物线不是双曲线的一支,抛物线不存在渐近线 通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异,当抛物线上的点趋向于无穷远时,抛物线在这一点的切线斜率接近于对称 轴所在直线的斜率,也就是说接近于和对称轴所在直线平行,而双曲线上的点趋向于无穷远时,它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 ‎ 附:抛物线不存在渐近线的证明.(反证法)‎ 假设抛物线y2=2px存在渐近线y=mx+n,A(x,y)为抛物线上一点,‎ A0(x,y1)为渐近线上与A横坐标相同的点如图,‎ 则有和y1=mx+n.‎ ‎∴ ‎ 当m≠0时,若x→+∞,则 当m=0时,,当x→+∞,则 这与y=mx+n是抛物线y2=2px的渐近线矛盾,所以抛物线不存在渐近线 三、讲解范例:‎ 例1 已知抛物线关于x轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标准方程,并用描点法画出图形.‎ 分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数p.‎ 解:由题意,可设抛物线方程为,因为它过点,‎ 所以 ,即 ‎ 因此,所求的抛物线方程为.‎ 将已知方程变形为,根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标,得 x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ y ‎0‎ ‎2‎ ‎2.8‎ ‎3.5‎ ‎4‎ ‎…‎ 描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分 点评:‎ 在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛物线没有渐近线.‎ 例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径60cm,灯深为40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置.‎ 分析:这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出p值.‎ 解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口直径.‎ 设抛物线的标准方程是 (p>0).‎ 由已知条件可得点A的坐标是(40,30),代入方程,得,‎ 即 ‎ 所求的抛物线标准方程为.‎ 例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A、B两点,‎ 求证:以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切.‎ 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷.‎ 证明:如图.设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线引垂线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,则 ‎|AF|=|AD|,|BF|=|BC|‎ ‎∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|‎ 所以EH是以AB为直径的圆E的半径,且EH⊥l,因而圆E和准线相切.‎ 四、课堂练习:‎ ‎1.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,如果,那么=( B )‎ ‎(A)10 (B)8 (C)6 (D)4‎ ‎2.已知为抛物线上一动点,为抛物线的焦点,定点,则的最小值为( B )‎ ‎(A)3 (B)4 (C)5 (D)6‎ ‎3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点,若线段 ‎、的长分别是、,则=( C )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.过抛物线焦点的直线它交于、两点,则弦的中点的轨迹方程是 ______ (答案: ) ‎ ‎5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动,求中点到轴距离的最小值,并求出此时中点的坐标 ‎(答案: , M到轴距离的最小值为)‎ 五、小结 :抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等 ‎ 六、课后作业:‎ ‎1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图.‎ ‎(1)顶点在原点,对称轴是x轴,顶点到焦点的距离等于8.‎ ‎(2)顶点在原点,焦点在y轴上,且过P(4,2)点.‎ ‎(3)顶点在原点,焦点在y轴上,其上点P(m,-3)到焦点距离为5.‎ ‎2.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准线上的射影是A2,B2,则∠A2FB2等于       ‎ ‎3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,求抛物线方程.‎ ‎4.以椭圆的右焦点,F为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆在准线所得的弦长.‎ ‎5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶4米时,水面宽40米,当水面下降1米时,水面宽是多少米?‎ 习题答案:‎ ‎1.(1)y2=±32x (2)x2=8y (3)x2=-8y ‎ ‎2.90°‎ ‎3.x2=±16 y ‎ ‎4.‎ ‎5.米 七、板书设计(略)‎ 八、课后记: ‎