2019年高考数学总复习检测第32讲　平面向量的数量积 3页

第32讲　平面向量的数量积 ‎1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(C)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ ‎ 由已知8a－b＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，‎ 所以(8a－b)·c＝6×3＋3x＝30，所以x＝4.‎ ‎2．(2016·新课标卷Ⅲ)已知向量＝(，)，＝(，)，则∠ABC＝(A)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．120°‎ ‎ 因为＝(，)，＝(，)，‎ 所以||＝1，||＝1，‎ ·＝×＋×＝，‎ 所以cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.‎ 因为0°≤〈，〉≤180°，‎ 所以∠ABC＝〈，〉＝30°.‎ ‎3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝(B)‎ A. B. C．3 D．7‎ ‎ |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2‎ ‎＝|a|2＋2|a||b|cos 60°＋|b|2‎ ‎＝4＋2×2×1×＋1＝7，‎ 故|a＋b|＝.‎ ‎4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为(B)‎ A．－6 B．6‎ C．3 D．－3‎ ‎ 因为2a＋3b与ka－4b垂直，‎ 所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＋(3k－8)a·b ‎＝2k－12＝0，‎ 解得k＝6.‎ ‎5．(2017·新课标卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝　2　.‎ ‎ 因为a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，‎ 所以a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2.‎ ‎6．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为　　.‎ ‎ 由题意，知||＝3，||＝2，‎ ·＝3×2×cos 60°＝3，‎ ＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋，‎ 所以·＝(＋)·(λ－)‎ ‎＝·－2＋2‎ ‎＝×3－×32＋×22‎ ‎＝λ－5＝－4，‎ 解得λ＝.‎ ‎7．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝.‎ ‎(1)求a与b的夹角；‎ ‎(2)求a－b与a＋b的夹角的余弦值．‎ ‎ (1)因为(a－b)·(a＋b)＝，‎ 所以|a|2－|b|2＝，‎ 又因为|a|＝1，所以|b|＝＝.‎ 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，‎ 所以θ＝45°.‎ ‎(2)因为(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝，‎ 所以|a－b|＝.‎ ‎(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝，‎ 所以|a＋b|＝.‎ 设a＋b与a－b的夹角为α，‎ 则cos α＝＝＝.‎ ‎8．(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的(A)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ (方法一)由题意知|m|≠0，|n|≠0.‎ 设m与n的夹角为θ.‎ 若存在负数λ，使得m＝λn，‎ 则m与n反向共线，θ＝180°，‎ 所以m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|＜0.‎ 当90°＜θ＜180°时，m·n＜0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．‎ ‎(方法二)因为m＝λn，所以m·n＝λn·n＝λ|n|2.‎ 所以当λ＜0，n≠0时，m·n＜0.‎ 反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉＜0⇔cos〈m，n〉＜0⇔〈m，n〉∈(，π]，当〈m，n〉∈(，π)时，m，n不共线．‎ 故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分而不必要条件．‎ ‎9．(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是　4　，最大值是　2　.‎ ‎ 设a，b的夹角为θ.‎ 因为|a|＝1，|b|＝2，‎ 所以|a＋b|＋|a－b|＝＋ ‎＝＋.‎ 令y＝＋，‎ 则y2＝10＋2.‎ 因为θ∈[0，π]，所以cos2θ∈[0,1]，所以y2∈[16,20]，‎ 所以y∈[4,2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,2]．‎ ‎10．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎ (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，‎ 故cos x≠0.‎ 于是tan x＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos(x＋)．‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈[，]，‎ 从而－1≤cos(x＋)≤.‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.‎