2019年高考数学总复习检测第56讲　圆的方程 3页

第56讲　圆的方程 ‎1．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程是(A)‎ A．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5‎ C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5‎ ‎ 线段AB的垂直平分线为y＝－3，‎ 由解得 所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝5.‎ ‎2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(A)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ ‎ 设圆上任一点为A(x1，y1)，则x＋y＝4，PA连线中点的坐标为(x，y)，‎ 则即 代入x＋y＝4，得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.‎ ‎3．圆(x－1)2＋y2＝2关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程是(C)‎ A．(x＋1)2＋(y－2)2＝ B．(x－1)2＋(y＋2)2＝ C．(x＋1)2＋(y－2)2＝2 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝2‎ ‎ 圆心(1,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点是(－1,2)，‎ 所以圆的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝2.‎ ‎4．(2017·湖南长沙二模)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(A)‎ A．1＋ B．2‎ C．1＋ D．2＋2 ‎ 将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1.‎ 则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，‎ 故圆上的点到直线x－y＝2的最大值为d＋1＝＋1.‎ ‎5．(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　(－2，－4)　，半径是　5　.‎ ‎ 由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，‎ 解得a＝2或－1.‎ 当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得(x＋)2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；‎ 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.‎ ‎6．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆： x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为　3＋2　.‎ ‎ 由条件知直线过圆心(2,1)，‎ 所以2a＋2b－2＝0，即a＋b＝1.‎ 所以＋＝(＋)·(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.‎ 当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时，等号成立．‎ 所以＋的最小值为3＋2.‎ ‎7．(2016·广东佛山六校联考)圆C过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，求圆C的方程．‎ ‎ 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.‎ 则k,2为x2＋Dx＋F＝0的两根，‎ 所以k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，‎ 又圆C过R(0,1)，故1＋E＋F＝0，所以E＝－2k－1.‎ 故所求圆方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，‎ 圆心坐标为(，)．‎ 因为圆C在P处的切线斜率为1，‎ 所以kCP＝－1＝，所以k＝－3.‎ 所以D＝1，E＝5，F＝－6.‎ 所以圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.‎ ‎8．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分成两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(A)‎ A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0‎ C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0‎ ‎ 当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合题意．‎ 因为圆心O与P的连线的斜率为1，‎ 所以过点P垂直于OP的直线方程为x＋y－2＝0.‎ ‎9．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为　(x＋1)2＋(y－)2＝1　.‎ ‎　　 由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.‎ 由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，‎ 可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.‎ 又因为∠FAC＝120°，‎ 所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，‎ 所以点C的纵坐标为.‎ 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.‎ ‎10．已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．‎ ‎(1)求的最大值和最小值；‎ ‎(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值．‎ ‎ (1)圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0整理得(x－3)2＋(y－3)2＝4.‎ 所以圆心C(3,3)，半径r＝2.‎ 设k＝，即kx－y＝0(x≠0)，‎ 则圆心到直线的距离d≤r，即≤2，‎ 整理得5k2－18k＋5≤0，解得≤k≤.‎ 故的最大值为，最小值为.‎ ‎(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，表示点P(x，y)到点A(－1,0)的距离的平方加上2，‎ 连接AC，交圆C于点B，延长AC，交圆C于D，则圆C上的点到A的距离中，AB最短，为|AC|－r＝－2＝3；‎ AD最长，为|AC|＋r＝7，‎ 故x2＋y2＋2x＋3的最大值为72＋2＝51，最小值为32＋2＝11.‎