高科数学专题复习课件：第四章 4_5 第1课时简单的三角恒等变换 49页

§4.5 　 简单的三角恒等变换 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 cos( α － β ) ＝ cos α cos β ＋ sin α sin β ， (C ( α － β ) ) cos( α ＋ β ) ＝ ， (C ( α ＋ β ) ) sin( α － β ) ＝ ， (S ( α － β ) ) sin( α ＋ β ) ＝ ， (S ( α ＋ β ) ) 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 知识梳理 cos α cos β － sin α sin β sin α cos β － cos α sin β sin α cos β ＋ cos α sin β sin 2 α ＝ ； cos 2 α ＝ ＝ ＝ ； 2. 二倍角公式 tan 2 α ＝ . 2sin α cos α cos 2 α － sin 2 α 2cos 2 α － 1 1 － 2sin 2 α 知识 拓展 2. 升幂公式： 1 ＋ cos 2 α ＝ 2cos 2 α ， 1 － cos 2 α ＝ 2sin 2 α . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 存在实数 α ， β ，使等式 sin( α ＋ β ) ＝ sin α ＋ sin β 成立 .( 　　 ) (2) 在锐角 △ ABC 中， sin A sin B 和 cos A cos B 大小不确定 .( 　　 ) (3) 若 α ＋ β ＝ 45° ，则 tan α ＋ tan β ＝ 1 － tan α tan β .( 　　 ) (4) 对任意角 α 都有 1 ＋ sin α ＝ (sin ＋ cos ) 2 .( 　　 ) (5) y ＝ 3sin x ＋ 4cos x 的最大值是 7.( 　　 ) (6) 在非直角三角形中， tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝ tan A tan B tan C .( 　　 ) 思考辨析 √ × √ √ × √ 1.( 教材改编 )sin 18°cos 27° ＋ cos 18°sin 27° 的值 是 考点自测 答案 解析 sin 18°cos 27° ＋ cos 18°sin 27° ＝ sin(18° ＋ 27 °) ＝ sin 45° ＝ . 答案 解析 答案 解析 答案 解析 ∴ tan 20° ＋ tan 40° ＝ tan 60°(1 － tan 20°tan 40°) ∵ 2cos 2 x ＋ sin 2 x ＝ cos 2 x ＋ 1 ＋ sin 2 x 5.(2016· 浙江 ) 已知 2cos 2 x ＋ sin 2 x ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ b ( A ＞ 0) ，则 A ＝ ， b ＝ . 答案 解析 1 题型分类　深度剖析 第 1 课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 题型一　和差公式的直接应用 答案 解析 (2) 在 △ ABC 中，若 tan A tan B ＝ tan A ＋ tan B ＋ 1 ，则 cos C 的值为 答案 解析 由 tan A tan B ＝ tan A ＋ tan B ＋ 1 ， 思维 升华 (1) 使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征 . (2) 使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值 . 跟踪训练 1 　 (1)(2016· 全国丙卷 ) 若 tan α ＝ ， 则 cos 2 α ＋ 2sin 2 α 等于 答案 解析 答案 解析 题型二　和差公式的综合应用 命题点 1 　角的变换 答案 解析 又 α ， β 均为锐角，所以 0< α < α ＋ β <π ， cos α >cos( α ＋ β ). 于是 cos β ＝ cos [ ( α ＋ β ) － α ] ＝ cos( α ＋ β )cos α ＋ sin( α ＋ β )sin α 答案 解析 命题点 2 　三角函数式的变形 解答 解答 引申探究 解答 思维 升华 (1) 解决三角函数的求值问题的关键是把 “ 所求角 ” 用 “ 已知角 ” 表示 . ① 当 “ 已知角 ” 有两个时， “ 所求角 ” 一般表示为两个 “ 已知角 ” 的和或差的形式； ② 当 “ 已知角 ” 有一个时，此时应着眼于 “ 所求角 ” 与 “ 已知角 ” 的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “ 所求角 ” 变成 “ 已知角 ”. 答案 解析 答案 解析 A.cos 2 α B.sin 2 α C.cos 2 α D. － cos 2 α 答案 解析 1 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 解析 利用 联系的观点进行角的变换 思想与方法系列 8 思想方法指 导 (2) 课时作业 1.(2015· 课标全国 Ⅰ )sin 20°cos 10° － cos 160°sin 10° 等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 sin 20°cos 10° － cos 160°sin 10° ＝ sin 20°cos 10° ＋ cos 20°sin 10° ＝ sin(20° ＋ 10°) ＝ sin 30° ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 答案 解析 ∵ sin 2 θ － 2cos 2 θ ＝ sin 2 θ － cos 2 θ － 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 依题意可将已知条件变形为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 又 sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ， ∴ 5sin 2 α ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求 cos α 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 解答 cos β ＝ cos [ α － ( α － β ) ] ＝ cos α cos( α － β ) ＋ sin α sin( α － β ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求 sin 2 α 的值； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13