高科数学专题复习课件：第十章 10_2排列与组合 62页

§ 10.2 　 排列与组合 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 排列与组合的概念 知识梳理 名称 定义 排列 从 n 个不同元素中 取出 ( m ≤ n ) 个元素 按 照 排 成一列 组合 合成一组 一定的顺序 2. 排列数与组合数 (1) 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素 的 _________ 的 个数叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， 用 表示 . (2) 组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个 元素的 ______ _ _ 的 个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数， 用 表示 . 所有 不同 排列 组合 所有不同 3. 排列数、组合数的公式及性质 公式 性质 ( 1)0 ！ ＝ ； ＝ _____ n ( n － 1)( n － 2) … ( n － m ＋ 1) 1 n ！ 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 .( 　　 ) (2) 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 .( 　　 ) (3) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 .( 　　 ) (4)( n ＋ 1) ！－ n ！＝ n · n ！ .( 　　 ) ( 5) ( 　　 ) ( 6) ( 　　 ) 思考辨析 × × √ √ √ √ 考点自测 1.(2016· 四川 ) 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的 个数 A.24 B.48 C.60 D.72 答案 解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是 1,3,5 ； 分为 两步：先从 1,3,5 三个数中选一个作为个位数 有 种 情况 ， 再 将剩下的 4 个数字排列 得到 种 情况 ， 则 满足条件的五位数 有 ＝ 72( 个 ) . 故选 D . 2.6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数 为 A.144 B.120 C.72 D.24 答案 解析 “ 插空法 ” ，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座 ， 因此 任何两人不相邻的坐法种数 为 ＝ 4 × 3 × 2 ＝ 24. 3.( 教材改编 ) 用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数 为 A.8 B.24 C.48 D.120 答案 解析 末位数字排法 有 种， 其他 位置排法 有 种 ， 共有 ＝ 48( 种 ). 4. 某高三毕业班有 40 人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了 ________ 条毕业留言 .( 用数字作答 ) 答案 解析 1560 依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全班共写 了 ＝ 40 × 39 ＝ 1 560( 条 ) 留言 . 5. 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案有 _____ 种 . 解析 答案 14 题型分类　深度剖析 题型一　排列问题 例 1 　 (1)3 名男生， 4 名女生，选其中 5 人排成一排，则有 ________ 种不同的排法 . (2 ) 六 个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ________ 种 . 2520 当最左端排甲时，不同的排法 共有 种 ；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法 共有 种 . 故不同的排法 共有 ＝ 120 ＋ 96 ＝ 216( 种 ). 216 答案 解析 答案 解析 引申探究 1. 本例 (1) 中若将条件 “ 选其中 5 人排成一排 ” 改为 “ 排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排， 共有 ＝ 5 040( 种 ) 排法 . 解答 2. 本例 (1) 中若将条件 “ 选其中 5 人排成一排 ” 改为 “ 全体站成一排，男、女各站在一起 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解答 相邻问题 ( 捆绑法 ) ：男生必须站在一起，是男生的全排列， 有 种 排法；女生必须站在一起，是女生的全排列， 有 种 排法 ； 全体 男生、女生各视为一个元素， 有 种 排法 . 根据 分步乘法计数原理， 共有 ＝ 288( 种 ) 排法 . 3. 本例 (1) 中若将条件 “ 选其中 5 人排成一排 ” 改为 “ 全体站成一排，男生不能站在一起 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法 ？ 解答 不相邻问题 ( 插空法 ) ：先安排女生 共有 种 排法 ， 男生 在 4 个女生隔成的 5 个空中安排 共有 种 排法 ， 故共有 ＝ 1 440( 种 ) 排法 . 4. 本例 (1) 中若将条件 “ 选其中 5 人排成一排 ” 改为 “ 全体站成一排，甲不站排头也不站排尾 ” ，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解答 先 安排甲，从除去排头和排尾的 5 个位置中安排甲， 有 ＝ 5( 种 ) 排法；再安排其他人， 有 ＝ 720( 种 ) 排法 . 所以共有 ＝ 3 600( 种 ) 排法 . 排列应用问题的分类与解法 (1) 对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法 . (2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 由 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成的无重复数字的自然数 . 求： (1) 有多少个含 2,3 ，但它们不相邻的五位数？ 解答 (2) 有多少个含数字 1,2,3 ，且必须按由大到小顺序排列的六位数？ 解答 题型二　 组合问题 例 2 　 (1) 若从 1,2,3 ， … ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数 是 A.60 B.63 C.65 D.66 解析 答案 因为 1,2,3 ， … ， 9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数 ， 要 使和为偶数，则 4 个数全为奇数或全为偶数或 2 个奇数和 2 个偶数，故 有 ＝ 66( 种 ) 不同的取法 . (2) 要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动， A ， B ， C 三人必须入选，则有 ________ 种不同选法 . 答案 解析 36 只需从 A ， B ， C 之外的 9 人中选择 2 人，即 有 ＝ 36( 种 ) 不同的选法 . 引申探究 1. 本例 (2) 中若将条件 “ A ， B ， C 三人必须入选 ” 改为 “ A ， B ， C 三人都不能入选 ” ，其他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解答 由 A ， B ， C 三人都不能入选只需从余下 9 人中选择 5 人 ， 即有 ＝ 126( 种 ) 不同的选法 . 2. 本例 (2) 中若将条件 “ A ， B ， C 三人必须入选 ” 改为 “ A ， B ， C 三人只有一人入选 ” ，其他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解答 3. 本例 (2) 中若将条件 “ A ， B ， C 三人必须入选 ” 改为 “ A ， B ， C 三人至少一人入选 ” ，其他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解答 组合问题常有以下两类题型变化 (1) “ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型： “ 含 ” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “ 不含 ” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 . (2) “ 至少 ” 或 “ 至多 ” 含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视 “ 至少 ” 与 “ 至多 ” 这两个关键词的含义，谨防重复与漏解 . 用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货 . 现从 35 种商品中选取 3 种 . (1) 其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ 解 答 ∴ 某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 . (2) 其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ 从 34 种可选商品中，选取 3 种 ， ∴ 某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种 . 解 答 (3) 恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解答 从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件 有 ＝ 2 100( 种 ). ∴ 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 . (4) 至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解答 (5) 至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 解答 题型三　 排列与组合问题的综合应用 命题点 1 　相邻 问题 例 3 　 (2017· 济南 调研 ) 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数 为 A.3 × 3! B.3 × (3 ！ ) 3 C .(3 ！ ) 4 D.9 ! 答案 解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这 3 家，所以有 (3 ！ ) 4 种坐法 . 命题 点 2 　相间问题 例 4 　 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ________. 答案 解析 120 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空 . 安排 小品节目和相声节目的顺序有三种： “ 小品 1 ，小品 2 ，相声 ” ， “ 小品 1 ，相声，小品 2 ” 和 “ 相声，小品 1 ，小品 2 ”. 对于 第一种情况，形式为 “□ 小品 1 歌舞 1 小品 2 □ 相声 □” ， 有 ＝ 36( 种 ) 安排方法 ； 同理 ，第三种情况也有 36 种安排方法 ， 对于 第二种情况，三个节目形成 4 个空，其形式为 “□ 小品 1 □ 相声 □ 小品 2 □” ， 有 ＝ 48( 种 ) 安排方法 . 由 分类加法计数原理知共有 36 ＋ 36 ＋ 48 ＝ 120( 种 ) 安排方法 . 命题 点 3 　特殊元素 ( 位置 ) 问题 例 5 　 (2016· 郑州检测 ) 从 1,2,3,4,5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有 2 和 3 时， 2 需排在 3 的前面 ( 不一定相邻 ) ，这样的三位数有 ______ 个 . 答案 解析 51 由分类加法计数原理，知这样的三位数共有 51 个 . 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1) 相邻问题捆绑法 . 在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们 “ 内部 ” 的排列 . (2) 相间问题插空法 . 先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用 . (3) 特殊元素 ( 位置 ) 优先安排法 . 优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置 . (4) 多元问题分类法 . 将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1)(2016· 山西四校联考三 ) 有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数 为 答案 解析 A.150 B.180 C.200 D.280 分两类：一类， 3 个班分派的毕业生人数分别为 2,2,1 ， 则有 ＝ 90( 种 ) 分派方法 ； 另 一类， 3 个班分派的毕业生人数分别为 1,1,3 ， 则有 ＝ 60( 种 ) 分派方法 ， 所以 不同分派方法种数为 90 ＋ 60 ＝ 150 ，故选 A. (2) 将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大 3 所大学，若每所大学至少保送 1 人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案 共有 A.150 种 B.114 种 C.100 种 D.72 种 答案 解析 先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有 2,2,1 或者 3,1,1 ，所以 共有 ＝ 25( 种 ) 分组方法 . 因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有 4 种方法，所以不同的保送方案共有 25 × 4 ＝ 100( 种 ). 典例 　 有 20 个零件，其中 16 个一等品， 4 个二等品，若从 20 个零件中任意取 3 个，那么至少有 1 个一等品的不同取法有 ________ 种 . 排列 、组合问题 现场纠错系列 14 错解展示 现场纠错 纠错心得 (1) 解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件 . (2) 解题时要细心、周全，做到不重不漏 . 解析 　 先从一等品中取 1 个， 有 种 取法；再从余下的 19 个零件中任取 2 个，有 C 种不同取法， 共有 ＝ 2 736( 种 ) 不同取法 . 答案　 2736 返回 解析 　 方法一 　将 “ 至少有 1 个是一等品的不同取法 ” 分三类 ： “ 恰有 1 个一等品 ” ， “ 恰有 2 个一等品 ” ， “ 恰有 3 个一等品 ” ， 由 分类加法计数原理，知有 CC ＋ CC ＋ C ＝ 1 136( 种 ). 方法二 　考虑其对立事件 “ 3 个都是二等品 ” ，用间接法： C － C ＝ 1 136( 种 ). 答案　 1136 返回 课时作业 1. 两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这 6 人的入园顺序排法种数 为 A.48 B.36 C.24 D.12 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2016· 黄山月考 ) 某小区有排成一排的 7 个车位，现有 3 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数 为 A.16 B.18 C.24 D.32 √ 答案 解析 将四个车位捆绑在一起，看成一个元素 ， 先 排 3 辆不同型号的车，在三个车位上任意排列， 有 ＝ 6( 种 ) 排法，再将捆绑在一起的四个车位插入 4 个空档中，有 4 种方法 ， 故 共有 4 × 6 ＝ 24( 种 ) 方法 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法 共有 A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种 √ 答案 解析 程序 A 有 ＝ 2( 种 ) 结果，将程序 B 和 C 看作一个元素与除 A 外的 3 个元素排列 有 ＝ 48( 种 ) ， 由分步乘法计数原理，知实验编排共有 2 × 48 ＝ 96( 种 ) 方法 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 将 A ， B ， C ， D ， E 排成一列，要求 A ， B ， C 在排列中顺序为 “ A ， B ， C ” 或 “ C ， B ， A ” ( 可以不相邻 ) ，这样的排列数 有 A.12 种 B.20 种 C.40 种 D.60 种 √ 答案 解析 由于要求 A ， B ， C 的次序一定 ( 按 A ， B ， C 或 C ， B ， A ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.( 2016· 长沙模拟 ) 某校高二年级共有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数 为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(2017· 汉中质检 ) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60° 的 共有 A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 √ 答案 解析 正方体中共有 12 条面对角线，任取两条作为一对 共有 ＝ 66( 对 ) ， 12 条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成 60° 角 . 相对 两面上的 4 条对角线组成 的 ＝ 6( 对 ) 组合中 ， 平行 有 2 对，垂直有 4 对 ， 所以 所有的平行和垂直共有 3 ＝ 18( 对 ). 所以 成 60° 角的 有 ＝ 66 － 18 ＝ 48( 对 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(2016· 北京西城区期末 ) 现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多 2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 ______ 种 .( 用数字作答 ) 答案 解析 54 第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外 3 人分成两组，再分配到 3 个小组中， 有 ＝ 18( 种 ) ； 第二 类，先把另外的 3 人分配到 3 个小组，再把甲、乙分配到其中 2 个小组， 有 ＝ 36( 种 ). 根据 分类加法计数原理可得，共有 36 ＋ 18 ＝ 54( 种 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(2017· 福州质检 ) 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖 . 将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 _____ 种 .( 用数字作答 ) 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有 ______ 种 . 答案 解析 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 若把英语单词 “ good ” 的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有 ______ 种 . 答案 解析 11 把 g 、 o 、 o 、 d 4 个字母排一列，可分两步进行 ， 第一 步：排 g 和 d ， 共有 种 排法 ； 第二 步：排两个 o. 共一种排法 ， 所以 总的排法种数 为 ＝ 12. 其中正确的有一种 ， 所以 错误的 共有 － 1 ＝ 12 － 1 ＝ 11( 种 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 将 A ， B ， C ， D ， E ， F 六个字母排成一排，且 A ， B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 ________ 种 .( 用数字作答 ) 480 答案 解析 若 C 排在第 4,5,6 位时，其排法数与排在第 3,2,1 位相同，故共有 2 × (120 ＋ 72 ＋ 48) ＝ 480( 种 ) 排法 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 12.(2017· 青岛月考 )2016 年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从 “ 0000 ” 到 “ 9999 ” 共 10 000 个号码中选择 . 公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字 “ 6 ” 或恰带有两个数字 “ 8 ” 的一律作为 “ 金猴卡 ” ，享受一定优惠政策 . 如后四位数为 “ 2663 ” ， “ 8685 ” 为 “ 金猴卡 ” ，求这组号码中 “ 金猴卡 ” 的张数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 但这两种情况都包含了后四位数是由 2 个 6 和 2 个 8 组成的这种情况， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 有 9 名学生，其中 2 名会下象棋但不会下围棋， 3 名会下围棋但不会下象棋， 4 名既会下围棋又会下象棋 . 现在要从这 9 名学生中选出 2 名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？ 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设 2 名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A, 3 名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合 B, 4 名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合 C ，则选派 2 名参赛同学的方法可以分为以下 4 类： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由分类加法计数原理，知不同的选派方法共有 6 ＋ 12 ＋ 8 ＋ 12 ＝ 38( 种 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *14.(2017· 洛阳预测 ) 设三位数 n ＝ ， 若以 a ， b ， c 为三条边的长可以构成一个等腰 ( 含等边 ) 三角形，则这样的三位数 n 有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 a ， b ， c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0 ， 即 a ， b ， c ∈ {1,2,3 ， … ， 9 }. ① 若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为 n 1 ， 由于 三位数中三个数字都相同，所以 n 1 ＝ ＝ 9 ； ② 若构成等腰 ( 非等边 ) 三角形，设这样的三位数的个数为 n 2 ， 由于 三位数中只有 2 个不同数字 ， 设 为 a ， b ，注意到三角形腰与底可以互换 ， 所以 可取的数组 ( a ， b ) 共有 2 组， 但 当大数为底时，设 a > b ，必须满足 b < a <2 b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此时 ，不能构成三角形的数字是 a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 b 4,3,2,1 4,3,2,1 3,2,1 3,2,1 1,2 1,2 1 1   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14