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- 2021-06-24 发布
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高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》
时量:60分钟 满分:80分 班级: 姓名: 计分:
个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’)
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分)
1.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
2.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
3.在三棱柱中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是 ( )
A. B. C. D.
4.设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
5.下左图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A. B. C. D.
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
o6.如上右图,四个正方体图形中,为正方体的两个顶点,分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形的序号是( ).
A.①④ B.②④ C.①③④ D.①③中学高.考.资.源.网
二、解答题:(本大题共5小题,每小题10分,满分50分)
1. 如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。
求证:(1)EF∥平面ABC;(2)平面平面.
2.如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.(1)证明//平面;(2)设,证明平面.
3.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1
(1)证明:AB=AC(2)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小A
C
B
A1
B1
C1
D
E
4.如图,在四棱锥中,底面是矩形,
· 平面,,.以的
· 中点为球心、为直径的球面交于点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值;
(3)求点到平面的距离.
5. 已知:四棱柱的三视图如下
⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积
⑵ 若为上一点,平面,试确定点位置,并证明平面
高三数学章节训练题40《立体几何与空间向量2》答案
一、选择题
1. 【答案】D
【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
2.【解析】选D.
3.【答案】:C
俯视图
正(主)视图
侧(左)视图
2
3
2
2
【解析】取BC的中点E,则面,,因此与平面所成角即为,设,则,,即有.
4.【答案】.C.
【解析】对于A、B、D均可能出现,而对于C是正确的.
5.【答案】B
【解析】:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为
。
6.【答案】D
【解析】:①取前面棱的中点,证AB平行平面MNP即可;③可证AB与MP平行
二、填空题
1(2009江苏卷)
如图,在直三棱柱中,、分别是、的中点,点在上,。
求证:(1)EF∥平面ABC;
(2)平面平面.
2.如图,在五面体中,点是矩形的对角线的交点,面是等边三角形,棱.证明//平面;
(1) 设,证明平面.
证明:(Ⅰ)取CD中点M,连结OM.在矩形ABCD中,,又,则,中学学
连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE, EM平面CDE,∴ FO∥平面CDE
(Ⅱ)证明:连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中,且.
因此平行四边形EFOM为菱形,从而EO⊥FM而FM∩CD=M,
∴CD⊥平面EOM,从而CD⊥EO. 而,所以EO⊥平面CDF. 高
3.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1
(Ⅰ)证明:AB=AC
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法,第一问可取BC中点F,通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线,第二问先作出线面夹角,即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC,从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解。
解法一:(Ⅰ)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。
A
C
B
A1
B1
C1
D
E
连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。
(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..
设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。
由得2AD=,解得AD=。
故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。
连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。
因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,
所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300.
解法二:
(Ⅰ)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,2c),E(,,c).
于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以 AB=AC。
(Ⅱ)设平面BCD的法向量则又=(-1,1, 0),
=(-1,0,c),故
令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).
又平面的法向量=(0,1,0)由二面角为60°知,=60°,
故 °,求得 于是 ,
,°
所以与平面所成的角为30°
4.(2009江西卷文)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.
(1)求证:平面⊥平面;
(2)求直线与平面所成的角;
(3)求点到平面的距离.
解:方法(一):
(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,
所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,
由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,
所以 就是与平面所成的角,
且
所求角为
(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥
平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.
因为在Rt△PAD中,,,所以为中点,,则O点到平面ABM的距离等于。
5. 已知:四棱柱的三视图如下
⑴ 画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的体积
⑵ 若为上一点,平面,试确定点位置,并证明平面
解:⑴
⑵ 作交于,连,则共面
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