高中数学第6章（第7课时）不等式的证明（2） 4页

课 题：不等式的证明（2）‎ 教学目的：‎ ‎1掌握综合法证明不等式；‎ ‎2熟练掌握已学的重要不等式；‎ ‎3增强学生的逻辑推理能力 教学重点：综合法 教学难点：不等式性质的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎ 1．重要不等式：‎ 如果 ‎2．定理：如果a,b是正数，那么 ‎3公式的等价变形：ab≤，ab≤（）2‎ ‎4． ≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；‎ ‎5．定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）‎ ‎6．推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）‎ ‎7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 二、讲解新课：‎ ‎1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 ‎2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：‎ ‎ 3．综合法的思维特点是：‎ 由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 三、讲解范例：‎ 例1 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：‎ 证明：∵≥2bc,a＞0,‎ ‎∴≥2abc ①‎ 同理 ≥2abc ②‎ ‎≥2abc ③‎ 因为a，b，c不全相等，所以≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ‎∴‎ 例2 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，‎ 求证：‎ 证明：左－右=2（ab+bc－ac）‎ ‎∵a，b，c成等比数列，∴‎ 又∵a，b，c都是正数，所以≤‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点 四、课堂练习：‎ ‎1． 设a, b, c Î R，‎ ‎1°求证：‎ ‎2°求证：‎ ‎3°若a + b = 1, 求证：‎ 证：1°∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎2°同理：， ‎ 三式相加：‎ ‎3°由幂平均不等式：‎ ‎∴‎ ‎2．a , b, cÎR, 求证：1° ‎ ‎2° ‎ ‎3° ‎ 证：1°法一：, , 两式相乘即得 法二：左边 ‎ ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9‎ ‎2°∵‎ 两式相乘即得 ‎3°由上题：‎ ‎∴ 即 ‎ 五、小结 ：通过本节学习，要求熟练掌握并应用已学的重要不等式及不等式性质推出所证不等式成立，进而掌握综合法证明不等式 六、课后作业：‎  七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎