高中数学第7章（第4课时）直线的方程2 7页

课 题： 7.2直线的方程（二）‎ 教学目的：‎ ‎1.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程 ‎ ‎2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力 ‎3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神 教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导 教学难点：直线方程的两点式、截距式的推导及运用. ‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：‎ 本小节所介绍的直线方程的几种形式中，两点式、截距式给出了根据常见的条件求直线方程的方法和途径，直线方程的截距式、两点式都是由点斜式导出.讲解直线方程的两点式、截距式，着重于两点式的推导、应用以及斜率不存在的或为零时对两点式方程的讨论及变形 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎ 1. 直线的点斜式方程--已知直线经过点，且斜率为，直线的方程：为直线方程的点斜式.‎ 直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为.‎ ‎2．直线的斜截式方程－已知直线经过点P（0,b），并且它的斜率为k，直线的方程：为斜截式.‎ ‎⑴斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.‎ ‎⑵斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.‎ ‎⑶斜截式中，，的几何意义 应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：‎ ‎⑴A（2,1），B(6,-3)；⑵A(0,5) B(5,0)；⑶A(-4,-5) B(0,0).‎ 设计意图：本环节从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两已知点的直线的方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要性，同时也“悟”也两点式的推导方法，以此导入新课，目的在于学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础 二、讲解新课：‎ ‎3. 直线方程的两点式 已知直线上两点，B（ ，求直线方程.‎ 首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：‎ 由可以导出，这两者表示了直线的范围是不同的.后者表示范围缩小了.但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式 所以，当，时，经过　B（的直线的两点式方程可以写成：‎ 探究1：哪些直线不能用两点式表示？‎ 答：倾斜角是或的直线不能用两点式公式表示 探究2：若要包含倾斜角为或的直线，应把两点式变成什么形式？‎ 答：应变为的形式 探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？‎ 答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等 ‎4．直线方程的截距式 定义：直线与轴交于一点（,0）定义为直线在轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,）定义为直线在轴上的截距.‎ 在例1（4）中，得到过A(,0) B(0, )　（,均不为0）的直线方程为，将其变形为： ‎ 以上直线方程是由直线在轴和轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与轴和轴的交点的坐标 探究4：,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？‎ 答：不是，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.‎ 探究5：有没有截距式不能表示的直线？‎ 答：有，当截距为零时.故使用截距式表示直线时，应注意单独考虑这几种情形，分类讨论，防止遗漏 三、讲解范例：‎ 例1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化为斜截式方程.‎ ‎（1）A（2,1），B（0，－3）；（2）A（－4，－5），B（0,0）‎ ‎（3）A（0,5），B(5,0)；(4) A(,0) B(0, )（,均不为0）‎ 设计意图：为更好地揭示直线方程两点式公式的内涵，加深学生对公式的理解，本环节通过创设不同角度的四个问题，供学生思考、分析，让学生体会数学的“对称美”，同时又培养了学生严密的逻辑思维能力，渗透了分类讨论的数学思想。另外，通过学生完成练习，既巩固了两点式的应用，又产自然地引导出下一环节讲解的截距式 例2 说出下列直线的方程，并画出图形.‎ ‎⑴倾斜角为，在轴上的截距为0；‎ ‎⑵在轴上的截距为－5，在轴上的截距为6；‎ ‎⑶在轴上截距是－3，与轴平行；‎ ‎⑷在轴上的截距是4，与轴平行.‎ 设计意图：在讲完两点式后，紧接着讲解截距式，有利于比较两种形式的方程，从而有助于学生理解两者之间的内在的联系和区别，在具体应用截距式时能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识的结构 四、课堂练习：‎ ‎（1）过点P(2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.‎ 解：设直线的方程为： ‎ 令＝0解得；令＝0，解得 ‎∴A（，0），B（0，），‎ ‎∴＝‎ 当且仅当即时，取到最小值.‎ 又根据题意，∴‎ 所以直线的方程为：‎ 评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除＝1的情形 ‎（2）一直线被两直线：，：截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.‎ 解：设所求直线与，的交点分别是A、B，设A(），则B点坐标为() ‎ 因为A、B分别在，上，所以 ‎ ‎①＋②得：，即点A在直线上，又直线过原点，所以直线的方程为.‎ ‎（3）直线在轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则( )‎ A. A＝，B＝1 B.A＝－，B＝－1‎ C.A＝，B＝－1 D.A＝－，B＝1‎ 解：将直线方程化成斜截式.‎ 因为＝－1，B＝－1，故否定A、D.‎ 又直线的倾斜角＝，‎ ‎∴直线的倾斜角为2＝，‎ ‎∴斜率－＝-， ‎ ‎∴A＝－，B＝－1，故选B ‎（4）若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件( )‎ A.A、B、C同号 B.AC＜0，BC＜0 C.C＝0，AB＜0 D.A＝0，BC＜0‎ 解法一：原方程可化为（B≠0）‎ ‎∵直线通过第二、三、四象限，‎ ‎∴其斜率小于0，轴上的截距小于0，即－＜0，且－＜0‎ ‎∴＞0，且＞0‎ 即A、B同号，B、C同号.∴A、B、C同号，故选A ‎ 解法二：(用排除法)‎ 若C＝0，AB＜0，则原方程化为＝－.‎ 由AB＜0，可知－＞0.‎ ‎∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.‎ 若A＝0，BC＜0，则原方程化为.由BC＜0，得－＞0.‎ ‎∴此时直线与轴平行，位于轴上方，经过一、二象限.故排除D.‎ 若AC＜0，BC＜0，知A、C异号，B、C异号 ‎∴A、B同号，即AB＞0.‎ ‎∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选A ‎（5）直线（＝0）的图象是( ) ‎ 解法一：由已知，直线的斜率为，在轴上的截距为 又因为＝0.‎ ‎∴与互为相反数，即直线的斜率及其在轴上的截距互为相反数 图A中，＞0，＞0;图B中，＜0，＜0;图C中，＞0，＝0‎ 故排除A、B、C.选D. ‎ 解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率≠0，于是令＝0，解得.又因为＝0，∴，∴‎ ‎∴直线在轴上的截距为1，由此可排除A、B、C，故选D ‎ 五、小结 ：通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围、示意图等方面对所学的直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较：‎ 直线名称 已知条件 直线方程 使用范围 示意图 点斜式 斜截式 两点式 ‎（‎ 截距式 设计意图：为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用它们，本环节主要采用比较法的形式小结 六、课后作业：‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎