高科数学专题复习课件：第十三章 13_5复数 68页

§13.5 　 复数 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 复数的有关概念 知识梳理 (1) 定义：形如 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的数叫做复数，其中 a 叫做复数 z 的 ， b 叫做复数 z 的 .( i 为虚数单位 ) (2) 分类：   满足条件 ( a ， b 为实数 ) 复数的分类 a ＋ b i 为实数 ⇔ _________ a ＋ b i 为虚数 ⇔_________ a ＋ b i 为纯虚数 ⇔ _ __ ____________ 实部 虚部 b ＝ 0 b ≠ 0 a ＝ 0 且 b ≠ 0 (3) 复数相等： a ＋ b i ＝ c ＋ d i ⇔ ( a ， b ， c ， d ∈ R ). (4) 共轭复数： a ＋ b i 与 c ＋ d i 共轭 ⇔ ( a ， b ， c ， d ∈ R ). (5) 模： 向量 的 模叫做复数 z ＝ a ＋ b i 的模，记 作 或 ， 即 | z | ＝ | a ＋ b i| ＝ ( a ， b ∈ R ). a ＝ c 且 b ＝ d a ＝ c ， b ＝－ d | a ＋ b i| | z | 2. 复数的几何意义 复数 z ＝ a ＋ b i 与复平面内的 点 及 平面 向量 ＝ ( a ， b )( a ， b ∈ R ) 是一一对应关系 . Z ( a ， b ) 3. 复数的运算 (1) 运算法则：设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i ， a ， b ， c ， d ∈ R ( a ± c )+ ( b ± d) i ( ac - bd )+ ( bc + ad) i (2) 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 . 如图给出的平行四边形 OZ 1 ZZ 2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义， 即 . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 方程 x 2 ＋ x ＋ 1 ＝ 0 没有解 .( 　　 ) (2) 复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 中，虚部为 b i.( 　　 ) (3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小 .( 　　 ) (4) 原点是实轴与虚轴的交点 .( 　　 ) (5) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 .( 　　 ) 思考辨析 × × × √ √ 考点自测 1.(2016· 全国乙卷 ) 设 (1 ＋ 2i)( a ＋ i) 的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于 A. － 3 B . － 2 C.2 D.3 答案 解析 ∵ (1 ＋ 2i)( a ＋ i) ＝ a － 2 ＋ (2 a ＋ 1)i ， ∴ a － 2 ＝ 2 a ＋ 1 ，解得 a ＝－ 3 ，故选 A. 2.(2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知复数 z 满足 ( z － 1)i ＝ 1 ＋ i ，则 z 等于 A. － 2 － i B . － 2 ＋ i C.2 － i D.2 ＋ i 答案 解析 由 ( z － 1)i ＝ 1 ＋ i ，两边同乘以－ i ， 则有 z － 1 ＝ 1 － i ，所以 z ＝ 2 － i. 3.(2016· 黄山一模 ) 设 i 是虚数单位，若 z ＝ cos θ ＋ isin θ ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则 θ 位于 A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 ∵ z ＝ cos θ ＋ isin θ 对应的点的坐标为 (cos θ ， sin θ ) ，且点 (cos θ ， sin θ ) 位于第二象限， 答案 解析 答案 解析 4.( 教材改编 ) 在复平面内， 向量 对应 的复数是 2 ＋ i ， 向量 对应 的复数是－ 1 － 3i ，则 向量 对应 的复数 是 A.1 － 2i B . － 1 ＋ 2i C.3 ＋ 4i D . － 3 － 4i 5.i 2 011 ＋ i 2 012 ＋ i 2 013 ＋ i 2 014 ＋ i 2 015 ＋ i 2 016 ＋ i 2 017 ＝ ________. 答案 解析 1 原式＝ i 3 ＋ i 4 ＋ i 1 ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ i 4 ＋ i ＝ 1. 题型分类　深度剖析 题型一　复数的概念 例 1 　 (1)(2015· 福建 ) 若 (1 ＋ i) ＋ (2 － 3i) ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ， i 是虚数单位 ) ，则 a ， b 的值分别 等于 A.3 ，－ 2 B.3,2 C.3 ，－ 3 D . － 1,4 ∵ (1 ＋ i) ＋ (2 － 3i) ＝ 3 － 2i ＝ a ＋ b i ， 答案 解析 ∴ a ＝ 3 ， b ＝－ 2 ，故选 A. (2) 若 z 1 ＝ ( m 2 ＋ m ＋ 1) ＋ ( m 2 ＋ m － 4)i( m ∈ R ) ， z 2 ＝ 3 － 2i ，则 “ m ＝ 1 ” 是 “ z 1 ＝ z 2 ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充要条件 D . 既不充分又不必要条件 所以 “ m ＝ 1 ” 是 “ z 1 ＝ z 2 ” 的充分不必要条件 . 答案 解析 (3)(2016· 天津 )i 是虚数单位，复数 z 满足 (1 ＋ i) z ＝ 2 ，则 z 的实部为 _____. 1 答案 解析 引申探究 1. 将本例 (1) 中方程左边改为 (1 ＋ i)(2 － 3i) ，求 a ， b 的值 . 解答 (1 ＋ i)(2 － 3i) ＝ 2 ＋ 3 － i ＝ 5 － i ＝ a ＋ b i ， 所以 a ＝ 5 ， b ＝－ 1. 2. 将本例 (3) 中的条件 “ (1 ＋ i) z ＝ 2 ” 改为 “ (1 ＋ i) 3 z ＝ 2 ” ，求 z 的实部 . 解答 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1) 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程 ( 不等式 ) 组即可 . (2) 解题时一定要先看复数是否为 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的形式，以确定实部和虚部 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1) 已知 a ∈ R ，复数 z 1 ＝ 2 ＋ a i ， z 2 ＝ 1 － 2i ， 若 为 纯虚数，则 复数 的 虚部为 答案 解析 (2) 已知复数 z 满足 z 2 ＝－ 4 ，若 z 的虚部大于 0 ，则 z ＝ ________. 答案 解析 2i 设 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ， b >0) ， 则 z 2 ＝ a 2 － b 2 ＋ 2 ab i ＝－ 4 ， 因此 a ＝ 0 ，－ b 2 ＝－ 4 ， b ＝ ±2 ， 又 b >0 ， ∴ b ＝ 2 ， ∴ z ＝ 2i. 题型二　复数的运算 命题点 1 　复数的乘法运算 例 2 　 (1)(2016· 四川 ) 设 i 为虚数单位，则复数 (1 ＋ i) 2 等于 A.0 B.2 C.2i D.2 ＋ 2i 答案 解析 (1 ＋ i) 2 ＝ 1 2 ＋ i 2 ＋ 2i ＝ 1 － 1 ＋ 2i ＝ 2i. (2)(2016· 全国乙卷 ) 设 (1 ＋ i) x ＝ 1 ＋ y i ，其中 x ， y 是实数，则 | x ＋ y i| 等于 答案 解析 (3)(2015· 课标全国 Ⅱ ) 若 a 为实数，且 (2 ＋ a i)( a － 2i) ＝－ 4i ，则 a 等于 A . － 1 B.0 C.1 D.2 答案 解析 因为 a 为实数，且 (2 ＋ a i)( a － 2i) ＝ 4 a ＋ ( a 2 － 4)i ＝－ 4i ， 得 4 a ＝ 0 且 a 2 － 4 ＝－ 4 ，解得 a ＝ 0 ，故选 B. 命题点 2 　复数的除法运算 例 3 　 (1)(2016· 全国丙卷 ) 若 z ＝ 1 ＋ 2i ， 则 等于 A.1 B . － 1 C.i D . － i 答案 解析 (2)(2016· 北京 ) 复数 等于 A.i B.1 ＋ i C . － i D.1 － i 答案 解析 － 1 ＋ i 答案 解析 命题点 3 　复数的综合运算 例 4 　 (1)(2016· 山东 ) 若复数 z 满足 2 z ＋ ＝ 3 － 2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 A.1 ＋ 2i B.1 － 2i C. － 1 ＋ 2i D . － 1 － 2i 答案 解析 答案 解析 (3) 若复数 z 满足 (3 － 4i) z ＝ |4 ＋ 3i| ，则 z 的虚部 为 设 z ＝ a ＋ b i ， 故 (3 － 4i)( a ＋ b i) ＝ 3 a ＋ 3 b i － 4 a i ＋ 4 b ＝ |4 ＋ 3i| ， 答案 解析 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1) 复数的乘法 . 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 . (2) 复数的除法 . 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式 . (3) 复数的运算与复数概念的综合题 . 先利用复数的运算法则化简，一般化为 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的形式，再结合相关定义解答 . 思维 升华 (4) 复数的运算与复数几何意义的综合题 . 先利用复数的运算法则化简，一般化为 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的形式，再结合复数的几何意义解答 . (5) 复数的综合运算 . 分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的 . 跟踪训练 2 　 (1)(2015· 山东 ) 若复数 z 满足 ＝ i ，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 A.1 － i B.1 ＋ i C . － 1 － i D . － 1 ＋ i 答案 解析 i 答案 解析 答案 解析 题型三　复数的几何意义 例 5 　 (1) △ ABC 的三个顶点对应的复数分别为 z 1 ， z 2 ， z 3 ，若复数 z 满足 | z － z 1 | ＝ | z － z 2 | ＝ | z － z 3 | ，则 z 对应的点为 △ ABC 的 A. 内心 B. 垂心 C . 重心 D . 外心 答案 解析 由几何意义知，复数 z 对应的点到 △ ABC 三个顶点距离都相等 ， z 对应的点是 △ ABC 的外心 . ( 2) 如图所示，平行四边形 OABC ，顶点 O ， A ， C 分别表示 0 ， 3 ＋ 2i ，－ 2 ＋ 4i ，试求： 解答 ( 3 ＋ 2i) － ( － 2 ＋ 4i) ＝ 5 － 2i. 解答 即 B 点对应的复数为 1 ＋ 6i. 解答 ③ B 点对应的复数 . 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 已知 z 是复数， z ＋ 2i ， 均 为实数 (i 为虚数单位 ) ，且复数 ( z ＋ a i) 2 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围 . 解答 设 z ＝ x ＋ y i( x ， y ∈ R ) ， ∴ z ＋ 2i ＝ x ＋ ( y ＋ 2)i ，由题意得 y ＝－ 2. 由题意得 x ＝ 4. ∴ z ＝ 4 － 2i. ∵ ( z ＋ a i) 2 ＝ (12 ＋ 4 a － a 2 ) ＋ 8( a － 2)i ， 解得 2< a <6 ， ∴ 实数 a 的取值范围是 (2,6). 典例 　 (12 分 ) 已知 x ， y 为共轭复数，且 ( x ＋ y ) 2 － 3 xy i ＝ 4 － 6i ，求 x ， y . 解决 复数问题的实数化思想 思想与方法系列 27 规范解答 (1) 复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法 . (2) 本题求解的关键是先把 x 、 y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法 . (3) 本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解 . 思想方法指 导 设 x ＝ a ＋ b i ( a ， b ∈ R ) ， 则 y ＝ a － b i ， x ＋ y ＝ 2 a ， xy ＝ a 2 ＋ b 2 ， [ 3 分 ] 代入原式，得 (2 a ) 2 － 3( a 2 ＋ b 2 )i ＝ 4 － 6i ， [ 5 分 ] 返回 课时作业 1.(2016· 佛山二检 ) 已知 a >0 ， b >0 ，且 (1 ＋ a i)( b ＋ i) ＝ 5i(i 是虚数单位 ) ，则 a ＋ b 等于 答案 解析 √ 由题意得 (1 ＋ a i)( b ＋ i) ＝ ( b － a ) ＋ (1 ＋ ab )i ＝ 5i ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(2017· 天津质检 ) 已知 i 为虚数单位， a ∈ R ，如果复数 2i － 是 实数，则 a 的值为 答案 解析 A. － 4 B.2 C. － 2 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 A. E B. F C. G D. H 由题图知复数 z ＝ 3 ＋ i ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数单位 ) ，则 z 等于 √ A.1 ＋ i B . － 1 － I C . － 1 ＋ i D.1 － i 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ 2 z ＝－ 2i ＋ 2 ， ∴ z ＝ 1 － i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(2016· 新乡、许昌、平顶山调研 ) 复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 ＝ m ＋ (4 － m 2 )i ， z 2 ＝ 2cos θ ＋ ( λ ＋ 3sin θ )i( m ， λ ， θ ∈ R ) ，并且 z 1 ＝ z 2 ，则 λ 的取值范围是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 已知 0< a <2 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1 ，则 | z | 的取值范围是 答案 解析 由于复数 z 的实部为 a ，虚部为 1 ，且 0< a <2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A. 在圆外 B . 在圆 上 C . 在圆内 D . 不能确定 √ ∴ 点 ( a ， b ) 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 2 外 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 复数 (3 ＋ i) m － (2 ＋ i) 对应的点在第三象限内，则实数 m 的取值范围是 ________. z ＝ (3 m － 2) ＋ ( m － 1)i ，其对应点 (3 m － 2 ， m － 1) 在第三象限内， 故 3 m － 2<0 且 m － 1<0 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 已知集合 M ＝ {1 ， m, 3 ＋ ( m 2 － 5 m － 6)i} ， N ＝ { － 1,3} ，若 M ∩ N ＝ {3} ，则实数 m 的值为 ________. 答案 解析 3 或 6 ∵ M ∩ N ＝ {3} ， ∴ 3 ∈ M 且－ 1 ∉ M ， ∴ m ≠ － 1,3 ＋ ( m 2 － 5 m － 6)i ＝ 3 或 m ＝ 3 ， ∴ m 2 － 5 m － 6 ＝ 0 且 m ≠ － 1 或 m ＝ 3 ， 解得 m ＝ 6 或 m ＝ 3 ，经检验符合题意 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 － 2 3 由根与系数的关系知 ， ∴ b ＝－ 2 ， c ＝ 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 12. 给出下列命题： ① 若 z ∈ C ，则 z 2 ≥ 0 ； ② 若 a ， b ∈ R ，且 a > b ，则 a ＋ i> b ＋ i ； ③ 若 a ∈ R ，则 ( a ＋ 1)i 是纯虚数； ④ 若 z ＝－ i ，则 z 3 ＋ 1 在复平面内对应的点位于第一象限 . 其中正确的命题是 ________.( 填上所有正确命题的序号 ) 答案 解析 ④ 由复数的概念及性质知， ① 错误； ② 错误 ； 若 a ＝－ 1 ，则 ( a ＋ 1)i ＝ 0 ， ③ 错误 ； z 3 ＋ 1 ＝ ( － i) 3 ＋ 1 ＝ i ＋ 1 ， ④ 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 ∵ 1 ＋ z 2 是实数， ∴ a 2 ＋ 2 a － 15 ＝ 0 ，解得 a ＝－ 5 或 a ＝ 3. 又 ( a ＋ 5)( a － 1) ≠ 0 ， ∴ a ≠ － 5 且 a ≠ 1 ，故 a ＝ 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又 ∵ b ≠ 0 ， ∴ a 2 ＋ b 2 ＝ 5 . ① 又 z ＋ 3 ＝ ( a ＋ 3) ＋ b i 的实部与虚部互为相反数， 这样的虚数存在， z ＝－ 1 － 2i 或 z ＝－ 2 － i. 设 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R 且 b ≠ 0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故存在虚数 z ， z ＝－ 1 － 2i 或 z ＝－ 2 － i. ∴ a ＋ 3 ＋ b ＝ 0 . ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15