高科数学专题复习课件：第九章 9_8曲线与方程 77页

§9.8 　 曲线与方程 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的实数解建立如下的对应关系： 知识梳理 那么，这个方程 叫做 ， 这条 曲线叫做 . 曲线的方程 方程的曲线 这个 方程 的解 曲线上的点 2. 求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x , y 所求方程 1. “ 曲线 C 是方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的曲线 ” 是 “ 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x ， y ) ＝ 0 的解 ” 的充分不必要条件 . 2. 曲线的交点与方程组的关系： (1) 两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2) 方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) f ( x 0 ， y 0 ) ＝ 0 是点 P ( x 0 ， y 0 ) 在曲线 f ( x ， y ) ＝ 0 上的充要条件 .( 　　 ) (2) 方程 x 2 ＋ xy ＝ x 的曲线是一个点和一条直线 .( 　　 ) (3) 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x 2 ＝ y 2 .( 　　 ) (4) 方程 y ＝ 与 x ＝ y 2 表示同一曲线 .( 　　 ) (5) y ＝ kx 与 x ＝ y 表示同一直线 .( 　　 ) × × × √ × 思考辨析 考点自测 1.( 教材改编 ) 已知点 F ( ， 0) ，直线 l ： ， 点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M ，则点 M 的轨迹 是 　 答案 解析 A. 双曲线 B . 椭圆 C. 圆 D . 抛物线 由已知 | MF | ＝ | MB | ，根据抛物线的定义知， 点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线 . 几何画板展示 A. 两条直线 B . 两条射线 C. 两条线段 D . 一条直线和一条射线 解析 即 2 x ＋ 3 y － 1 ＝ 0( x ≥ 3) 或 x ＝ 4 ， 故原方程表示的曲线是 一条 射线和一条直线 . 答案 3.(2016· 南昌模拟 ) 已知 A ( － 2,0) ， B (1,0) 两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足 ∠ APO ＝ ∠ BPO ，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是 A .( x ＋ 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( y ≠ 0) B.( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1( y ≠ 0) C.( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( y ≠ 0) D.( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1( y ≠ 0) 答案 解析 由角的平分线性质定理得 | PA | ＝ 2| PB | ， 整理得 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( y ≠ 0) ，故选 C. 几何画板展示 4. 过 椭圆 ( a > b >0) 上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N ，则线段 MN 中点的轨迹方程是 ________________. 答案 解析 设 MN 的中点为 P ( x ， y ) ， 几何画板展示 5.(2016· 唐山模拟 ) 设集合 A ＝ {( x ， y )|( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ } ， B ＝ {( x ， y )|( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ } ， C ＝ {( x ， y )|2| x － 3| ＋ | y － 4| ＝ λ }. 若 ( A ∪ B ) ∩ C ≠ ∅ ，则实数 λ 的取值范围是 ________. 解析 答案 几何画板展示 由题意可知，集合 A 表示 圆 上 的点的集合 ， 集合 B 表示 圆 上 的点的集合 ， 集合 C 表示曲线 2| x － 3| ＋ | y － 4 | ＝ λ 上的点的集合 ， 这 三个集合所表示的曲线的中心都在 (3,4) 处 ， 集合 A 、 B 表示圆，集合 C 则表示菱形 ， 可以 将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示， 题型分类　深度剖析 题型一　 定义法求轨迹方程 例 1 　 如图，动圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＝ t 2 ， 1< t <3 ，与椭圆 C 2 ： ＋ y 2 ＝ 1 相交于 A ， B ， C ， D 四点 . 点 A 1 ， A 2 分别为 C 2 的左，右顶点 . 求直线 AA 1 与直线 A 2 B 交点 M 的轨迹方程 . 解答 几何画板展示 由椭圆 C 2 ：＋ y 2 ＝ 1 ，知 A 1 ( － 3,0) ， A 2 (3,0). 设点 A 的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ；由曲线的对称性， 得 B ( x 0 ，－ y 0 ) ， 设点 M 的坐标为 ( x ， y ) ， 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 已知两个定圆 O 1 和 O 2 ，它们的半径分别是 1 和 2 ，且 | O 1 O 2 | ＝ 4. 动圆 M 与圆 O 1 内切，又与圆 O 2 外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 . 解答 几何画板展示 如图所示， 以 O 1 O 2 的中点 O 为原点 ， O 1 O 2 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 . 由 | O 1 O 2 | ＝ 4 ，得 O 1 ( － 2,0) ， O 2 (2,0). 设动圆 M 的半径为 r ， 则 由动圆 M 与圆 O 1 内切，有 | MO 1 | ＝ r － 1 ； 由动圆 M 与圆 O 2 外切，有 | MO 2 | ＝ r ＋ 2. ∴ | MO 2 | － | MO 1 | ＝ 3<4 ＝ | O 1 O 2 |. ∴ 点 M 的轨迹是以 O 1、 O 2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支 . 题型二　 直接法求轨迹方程 解答 (1) 求椭圆 C 的标准方程； 因此 a ＝ 3 ， b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 4 ， (2) 若动点 P ( x 0 ， y 0 ) 为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 . 解答 几何画板展示 若两切线的斜率均存在，设过点 P ( x 0 ， y 0 ) 的切线方程是 y ＝ k ( x － x 0 ) ＋ y 0 ， Δ ＝ [ 18 k ( y 0 － kx 0 )] 2 － 36(9 k 2 ＋ 4)[( y 0 － kx 0 ) 2 － 4] ＝ 0 ， 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， 若两切线中有一条斜率不存在， 因此，动点 P ( x 0 ， y 0 ) 的轨迹方程是 x 2 ＋ y 2 ＝ 13. 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性 . 通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P ( a ， b ) 为动点， F 1 ， F 2 分别为 椭圆 ( a > b >0 ) 的左，右焦点 . 已知 △ F 1 PF 2 为等腰三角形 . 解答 (1) 求椭圆的离心率 e ； 设 F 1 ( － c, 0) ， F 2 ( c, 0)( c >0). 由题意，可得 | PF 2 | ＝ | F 1 F 2 | ，即 (2) 设直线 PF 2 与椭圆相交于 A ， B 两点， M 是直线 PF 2 上的点， 满足 ＝－ 2 ，求点 M 的轨迹方程 . 解答 几何画板展示 由 (1) 知 a ＝ 2 c ， b ＝ c ，可得椭圆方程为 3 x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 12 c 2 ，直线 PF 2 的方程为 y ＝ ( x － c ). 消去 y 并整理，得 5 x 2 － 8 cx ＝ 0. 解得 x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ c ， 设点 M 的坐标为 ( x ， y ) ， 题型三　 相关点法求轨迹 方程 例 3 　 (2016· 大连模拟 ) 如图所示，抛物线 C 1 ： x 2 ＝ 4 y ， C 2 ： x 2 ＝－ 2 py ( p >0). 点 M ( x 0 ， y 0 ) 在抛物线 C 2 上，过 M 作 C 1 的切线，切点为 A ， B ( M 为原点 O 时， A ， B 重合于 O ). 当 x 0 ＝ 1 － 时 ，切线 MA 的斜率为 － . 解答 (1) 求 p 的值； 因为抛物线 C 1 ： x 2 ＝ 4 y 上任意一点 ( x ， y ) 的切线斜率为 y ′ ＝ ， 且切线 MA 的斜率为 － ， 由 ①② 得 p ＝ 2. (2) 当 M 在 C 2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程 ( A ， B 重合于 O 时，中点为 O ). 解答 几何画板展示 由 N 为线段 AB 的中点，知 所以切线 MA ， MB 的方程分别为 当 x 1 ＝ x 2 时， A ， B 重合于原点 O ， AB 的中点 N 为点 O ，坐标满足 x 2 ＝ y . 因此 AB 的中点 N 的轨迹方程 是 x 2 ＝ y . “ 相关点法 ” 的基本步骤 (1) 设点：设被动点坐标为 ( x ， y ) ，主动点坐标为 ( x 1 ， y 1 ) ； (2) 求关系式：求出两个动点坐标之间的 关系式 (3) 代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 设直线 x － y ＝ 4 a 与抛物线 y 2 ＝ 4 ax 交于两点 A ， B ( a 为定值 ) ， C 为抛物线上任意一点，求 △ ABC 的重心的轨迹方程 . 解答 几何画板展示 设 △ ABC 的重心为 G ( x ， y ) ， 点 C 的坐标为 ( x 0 ， y 0 ) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 消去 y 并整理得 x 2 － 12 ax ＋ 16 a 2 ＝ 0. ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 12 a ， y 1 ＋ y 2 ＝ ( x 1 － 4 a ) ＋ ( x 2 － 4 a ) ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) － 8 a ＝ 4 a . ∵ G ( x ， y ) 为 △ ABC 的重心， 又点 C ( x 0 ， y 0 ) 在抛物线上， (3 y － 4 a ) 2 ＝ 4 a (3 x － 12 a ) ， ∴ 将点 C 的坐标代入抛物线的方程得 ∴△ ABC 的重心的轨迹方程为 典例 　 (12 分 ) 已知抛物线 y 2 ＝ 2 px 经过点 M (2 ，－ 2 ) ， 椭圆 ＝ 1 的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率 为 . 分类 讨论思想在曲线方程中的应用 思想与方法系列 22 (1) 求抛物线与椭圆的方程； (2) 若 P 为椭圆上一个动点， Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点 ， ＝ λ ( λ ≠ 0) ，试求 Q 的轨迹 . 思想方法指 导 规范解答 (1) 由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据 x 2 ， y 2 的系数与 0 的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论 . (2) 等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程 . (3) 区分求轨迹方程与求轨迹问题 . 返回 解 　 (1) 因为抛物线 y 2 ＝ 2 px 经过点 M (2 ，－ 2 ) ， 所以 ( － 2 ) 2 ＝ 4 p ，解得 p ＝ 2. 所以抛物线的方程为 y 2 ＝ 4 x ， 其焦点为 F (1,0) ，即椭圆的右焦点为 F (1,0) ，得 c ＝ 1. 又椭圆的 离 t 心率为 ， 所以 a ＝ 2 ， 可得 b 2 ＝ 4 － 1 ＝ 3 ，故椭圆的方程为 (2) 设 Q ( x ， y ) ，其中 x ∈ [ － 2,2 ] ， 设 P ( x ， y 0 ) ，因为 P 为椭圆上一点， 此轨迹是两条平行于 x 轴的线段； [ 8 分 ] 此轨迹表示实轴在 y 轴上的双曲线满足 x ∈ [ － 2,2 ] 的部分 ； [ 10 分 ] 此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x ∈ [ － 2,2 ] 的部分 . [ 12 分 ] 返回 课时作业 1.( 2017· 宜春质检 ) 设定点 M 1 (0 ，－ 3) ， M 2 (0,3) ，动点 P 满足条件 | PM 1 | ＋ | PM 2 | ＝ a ＋ ( 其中 a 是正常数 ) ，则点 P 的轨迹 是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A. 椭圆 B . 线段 C. 椭圆或线段 D . 不存在 当 | PM 1 | ＋ | PM 2 | ＝ 6 时，点 P 的轨迹是线段 M 1 M 2 ； 故选 C. 1 √ 2. 若曲线 C 上存在点 M ，使 M 到平面内两点 A ( － 5,0) ， B (5 ， 0) 距离之差的绝对值为 8 ，则称曲线 C 为 “ 好曲线 ” . 以下曲线不是 “ 好曲线 ” 的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 A. x ＋ y ＝ 5 B. x 2 ＋ y 2 ＝ 9 C. D. x 2 ＝ 16 y √ ∵ M 到平面内两点 A ( － 5,0) ， B (5,0) 距离之差的绝对值为 8 ， ∴ M 的轨迹是以 A ( － 5,0) ， B (5,0) 为焦点的双曲线， 方程为 . A 项，直线 x ＋ y ＝ 5 过点 (5,0) ，故直线与 M 的轨迹有交点，满足题意； B 项， x 2 ＋ y 2 ＝ 9 的圆心为 (0,0) ，半径为 3 ，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意； C 项， 的右顶点为 (5,0) ，故椭圆 与 M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，方程 代入 ， 可得 y － ＝ 1 ，即 y 2 － 9 y ＋ 9 ＝ 0 ， ∴ Δ >0 ，满足题意 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016· 银川模拟 ) 已知点 P 是直线 2 x － y ＋ 3 ＝ 0 上的一个动点，定点 M ( － 1,2) ， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 | PM | ＝ | MQ | ，则 Q 点的轨迹方程 是 A.2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 B.2 x － y － 5 ＝ 0 C.2 x － y － 1 ＝ 0 D.2 x － y ＋ 5 ＝ 0 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由题意知， M 为 PQ 中点， 设 Q ( x ， y ) ，则 P 为 ( － 2 － x, 4 － y ) ， 代入 2 x － y ＋ 3 ＝ 0 ，得 2 x － y ＋ 5 ＝ 0. 1 4.(2016· 太原模拟 ) 已知圆锥曲线 mx 2 ＋ 4 y 2 ＝ 4 m 的离心率 e 为方程 2 x 2 － 5 x ＋ 2 ＝ 0 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数 为 A.4 B.3 C.2 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ e 是方程 2 x 2 － 5 x ＋ 2 ＝ 0 的根， 当它表示焦点在 x 轴 上的双曲线 时， 当它表示焦点在 x 轴上的椭圆时， 当它表示焦点在 y 轴上 的椭圆 时 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ 满足条件的圆锥曲线有 3 个 . 5. 已知点 A (1,0) ，直线 l ： y ＝ 2 x － 4 ，点 R 是直线 l 上的一点， 若 ， 则点 P 的轨迹方程 为 A. y ＝－ 2 x B. y ＝ 2 x C. y ＝ 2 x － 8 D. y ＝ 2 x ＋ 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 P ( x ， y ) ， R ( x 1 ， y 1 ) ，由 知，点 A 是线段 RP 的中点， ∵ 点 R ( x 1 ， y 1 ) 在直线 y ＝ 2 x － 4 上， ∴ y 1 ＝ 2 x 1 － 4 ， ∴ － y ＝ 2(2 － x ) － 4 ，即 y ＝ 2 x . 6. 平面直角坐标系中，已知两点 A (3,1) ， B ( － 1,3) ，若点 C 满足 ＝ λ 1 ＋ λ 2 ( O 为原点 ) ，其中 λ 1 ， λ 2 ∈ R ，且 λ 1 ＋ λ 2 ＝ 1 ，则点 C 的轨迹 是 A. 直线 B . 椭圆 C . 圆 D . 双曲线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设 C ( x ， y ) ， 则 ＝ ( x ， y ) ， ＝ (3,1) ， ＝ ( － 1,3) ， 又 λ 1 ＋ λ 2 ＝ 1 ， ∴ x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 ，表示一条直线 . 7. 曲线 C 是平面内与两个定点 F 1 ( － 1,0) 和 F 2 (1,0 ) 的距离的积等于常数 a 2 ( a >1) 的点的轨迹 . 给出下列三个结论： ① 曲线 C 过坐标原点； ② 曲线 C 关于坐标原点对称； ③ 若点 P 在曲线 C 上，则 △ F 1 PF 2 的面积不 大于 a 2 . 其中，所有正确结论的序号是 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为原点 O 到两个定点 F 1 ( － 1,0) ， F 2 (1,0) 的距离的积是 1 ，且 a >1 ，所以曲线 C 不过原点，即 ① 错误 ； 因为 F 1 ( － 1,0) ， F 2 (1,0) 关于原点对称，所以 | PF 1 || PF 2 | ＝ a 2 对应的轨迹关于原点对称，即 ② 正确； 8.(2017· 西安 月考 ) 已知 △ ABC 的顶点 A ， B 坐标分别为 ( － 4,0) ， (4,0) ， C 为动点，且满足 sin B ＋ sin A ＝ sin C ，则 C 点的轨迹方程为 ________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 则 | AC | ＋ | BC | ＝ 10>8 ＝ | AB | ， ∴ 满足椭圆定义 . 则 a ′ ＝ 5 ， c ′ ＝ 4 ， b ′ ＝ 3 ，则轨迹方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 Q ( x ， y ) ， 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 已知圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 ，若抛物线过点 A ( － 1,0) ， B (1 ， 0) 且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是 ________________. 设抛物线的焦点为 F ，过 A ， B ， O 作准线的垂线 AA 1 ， BB 1 ， OO 1 ， 则 | AA 1 | ＋ | BB 1 | ＝ 2| OO 1 | ＝ 4 ， 由抛物线定义得 | AA 1 | ＋ | BB 1 | ＝ | FA | ＋ | FB | ， ∴ | FA | ＋ | FB | ＝ 4>2 ＝ | AB | ，故 F 点的轨迹是以 A ， B 为焦点， 长轴长为 4 的椭圆 ( 去掉长轴两端点 ). 答案 解析 1 2 11. 已知实数 m >1 ，定点 A ( － m, 0) ， B ( m, 0) ， S 为一动点，点 S 与 A ， B 两点连线斜率之积为 － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 ( 1) 求动点 S 的轨迹 C 的方程，并指出它是哪一种曲线； ∵ m >1 ， ∴ 轨迹 C 是中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆 ( 除去 x 轴上的两顶点 ) ，其中长轴长为 2 m ，短轴长为 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (2) 若 m ＝ ， 问 t 取何值时，直线 l ： 2 x － y ＋ t ＝ 0( t >0) 与曲线 C 有且只有一个交点？ 消去 y ，得 9 x 2 ＋ 8 tx ＋ 2 t 2 － 2 ＝ 0. 令 Δ ＝ 64 t 2 － 36 × 2( t 2 － 1) ＝ 0 ，得 t ＝ ±3. ∵ t >0 ， ∴ t ＝ 3. 此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 求椭圆 E 的方程； 解答 解得 a 2 ＝ 2 b 2 ，故椭圆 E 的方程可设 为 则椭圆 E 的左焦点坐标为 ( － b, 0) ， 过左焦点且倾斜角为 45° 的直线方程为 l ′ ： y ＝ x ＋ b . 设直线 l ′ 与椭圆 E 的交点为 A ， B ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得 b ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，过点 M (1 ， 0) 作 l 的垂线 ， 垂足 为 Q ，求点 Q 的轨迹方程 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 ① 当切线 l 的斜率存在且不为 0 时， 设 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ，联立直线 l 和椭圆 E 的方程， 得 (2 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 4 kmx ＋ 2 m 2 － 2 ＝ 0. 因为直线 l 和椭圆 E 有且只有一个交点， 所以 Δ ＝ 16 k 2 m 2 － 4(2 k 2 ＋ 1)(2 m 2 － 2) ＝ 0. 化简并整理，得 m 2 ＝ 2 k 2 ＋ 1. 因为直线 MQ 与 l 垂直， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 把 m 2 ＝ 2 k 2 ＋ 1 代入上式得 x 2 ＋ y 2 ＝ 2 . (*) ② 当切线 l 的斜率为 0 时， 此时 Q (1,1) 或 Q (1 ，－ 1) ，符合 (*) 式 . ③ 当切线 l 的斜率不存在时，此时 Q ( ， 0) 或 Q ( － ， 0) 符合 (*) 式 . 综上所述，点 Q 的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13.(2016· 河北衡水中学三调 ) 如图，已知圆 E ： ( x ＋ ) 2 ＋ y 2 ＝ 16 ，点 F ( ， 0) ， P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于点 Q . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 (1) 求动点 Q 的轨迹 Γ 的方程； 连接 QF ，根据题意， | QP | ＝ | QF | ， 则 | QE | ＋ | QF | ＝ | QE | ＋ | QP | ＝ 4>| EF | ＝ 2 ， 故动点 Q 的轨迹 Γ 是以 E ， F 为焦点， 长轴长为 4 的椭圆 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 设直线 l 与 (1) 中轨迹 Γ 相交于 A ， B 两点，直线 OA ， l ， OB 的斜率分别为 k 1 ， k ， k 2 ( 其中 k >0) ， △ OAB 的面积为 S ，以 OA ， OB 为直径的圆的面积分别为 S 1 ， S 2 ，若 k 1 ， k ， k 2 恰好构成等比数列， 求 的 取值范围 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ m ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4 m 2 － 4 ＝ 0 ， Δ ＝ 16(1 ＋ 4 k 2 － m 2 )>0 ， ∵ k 1 ， k ， k 2 构成等比数列， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 整理得 km ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ m 2 ＝ 0 ， 此时 Δ ＝ 16(2 － m 2 )>0 ， 又由 A ， O ， B 三点不共线得 m ≠ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13