高考数学复习练习试题3_3导数的综合应用 3页

‎§3.3　导数的综合应用 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)‎ ‎1．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为________．‎ ‎2．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的______________条件．‎ ‎3．若函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极值，则实数a的取值范围是______________．‎ ‎4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为__________．‎ ‎5．(2010·扬州联考)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是____________．‎ ‎6．(2011届盐城月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是__________．‎ ‎7．设m∈R，若函数y＝ex＋2mx (x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是____________．‎ ‎8．(2010·盐城一模)设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．‎ ‎9．(2010·徐州模拟)直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．‎ 二、解答题(本大题共3小题，共46分)‎ ‎10．(14分)(2010·北京市东城区联考)设函数f(x)＝ax3－3x2 (a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点．‎ ‎(1)求实数a的值，并求函数的单调区间；‎ ‎(2)求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．‎ ‎11.(16分)已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2 (x∈R)有极大值32.‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间．‎ ‎12．(16分)已知x＝1是函数f(x)＝mx3－3(m＋1)x2＋nx＋1的一个极值点，其中m、n∈R，‎ m<0.‎ ‎(1)求m与n的关系表达式；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间；‎ ‎(3)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．‎ 答案 ‎1．32 2．充要 3．(－∞，－3)∪(6，＋∞) 4．(2，＋∞)‎ ‎5. 6．a<－3或a>6 7．m<－ 8.. 9．(－2,2)‎ ‎10．解　(1)f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(2)＝即6(2a－2)＝0，‎ 因此a＝1.‎ 经验证，当a＝1时，x＝2是函数y＝f(x)的极值点．‎ 所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．‎ 所以y＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；‎ 单调减区间是(0,2)．‎ ‎(2)g(x)＝ex(x3－3x2)，‎ g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex，‎ 因为ex>0，‎ 所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)，(，＋∞)；‎ 单调减区间是(－∞，－)，(0，)．‎ ‎11．解　(1)∵f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，‎ ‎∴f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．‎ 令f′(x)＝0，得x＝或x＝2.‎ ‎∵f(x)＝ax(x－2)2 (x∈R)有极大值32，‎ ‎∴当x＝时，f(x)取得极大值32，‎ 即a2＝32，∴a＝27.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝27x(x－2)2，‎ ‎∴f′(x)＝27(3x－2)(x－2)．‎ 令f′(x)>0，则x>2或x<；‎ 令f′(x)<0，则1＋，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表：‎ x ‎(－∞，‎ ‎1＋)‎ ‎1＋ ‎(1＋，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由上表知，当m<0时，f(x)在，(1，＋∞)上单调递减，在上单调递增．‎ ‎(3)由已知，得f′(x)>3m，即mx2－2(m＋1)x＋2>0.‎ ‎∵m<0，∴x2－(m＋1)x＋<0，‎ 即x2－2x＋<0，x∈[－1,1]．①‎ 设g(x)＝x2－2x＋，其函数图象开口向上．‎ 由题意①式恒成立．‎ ‎∴⇒ ‎⇒⇒m>－.‎ 又m<0，∴－