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- 2021-06-25 发布
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§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)
1.(2010·湖南改编)下列命题中的假命题是______.
①∃x∈R,lg x=0 ②∃x∈R,tan x=1 ③∀x∈R,x3>0 ④∀x∈R,2x>0
2.(2010·南京模拟)命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是______________.
3.(2011届镇江月考)下列有关命题的说法正确的是________.
①命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:“若x2=1,则x≠1”;
②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件;
③命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”;
④命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题.
4.(2010·常州联考)已知p:|x-a|<4;q:(x-2)·(3-x)>0,若綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围为__________.
5.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是______________.
6.(2010·盐城模拟)若命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是______________.
7.在“綈p”,“p∧q”,“p∨q”形式的命题中“p∨q”为真,“p∧q”为假,“綈p”为真,那么p,q的真假为p______,q______.
8.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>1,若綈q且p为真,则x的取值范围是____________.
9.(2010·扬州模拟)下列结论:
①若命题p:∃x∈R,tan x=1;命题q:∀x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧綈q”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.
其中正确结论的序号为__________.(把你认为正确结论的序号都填上)
二、解答题(本大题共3小题,共46分)
10.(14分)写出由下列各组命题构成的“p或q”,“p且q”,“非p”形式的新命题,并判断其真假.
(1)p:2是4的约数,q:2是6的约数;
(2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分;
(3)p:方程x2+x-1=0的两实根的符号相同,q:方程x2+x-1=0的两实根的绝对值相等.
11.(16分)(2010·常州模拟)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0.命题q:∃x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0.若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
12.(16分)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:只有一个实数x0满足不等式x+2ax0+2a≤0,若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围.
答案
1.③ 2.∃x>0,x2+x≤0 3.④ 4.-1≤a≤6 5.a=1或a≤-2
6.-2≤a≤2 7.假 真 8.(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞) 9.①③
10.解 (1)p或q:2是4的约数或2是6的约数,真命题;
p且q:2是4的约数且2也是6的约数,真命题;
非p:2不是4的约数,假命题.
(2)p或q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题;
p且q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题;
非p:矩形的对角线不相等,假命题.
(3)p或q:方程x2+x-1=0的两个实数根符号相同或绝对值相等,假命题;
p且q:方程x2+x-1=0的两个实数根符号相同且绝对值相等,假命题;
非p:方程x2+x-1=0的两实数根符号不同,真命题.
11.解 ∵∀x∈[1,2],x2-a≥0恒成立,
即a≤x2恒成立,∴a≤1.即p:a≤1,∴綈p:a>1.
又∃x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0.
∴Δ=(a-1)2-4>0,∴a>3或a<-1,即q:a>3或a<-1,∴綈q:-1≤a≤3.
又p或q为真,p且q为假,∴p真q假或p假q真.
当p真q假时,{a|a≤1}∩{a|-1≤a≤3}={a|-1≤a≤1}.
当p假q真时,{a|a>1}∩{a|a<-1或a>3}={a|a>3}.
综上所述,a的取值范围为{a|-1≤a≤1}∪{a|a>3}.
12.解 由2x2+ax-a2=0得(2x-a)(x+a)=0,
∴x=或x=-a,
∴当命题p为真命题时≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足x+2ax0+2a≤0”,
即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,
∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.
∴当命题q为真命题时,a=0或a=2.
∴命题“p或q”为真命题时,|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题,∴a>2或a<-2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<-2}.