高考数学复习练习第3部分专题一第三讲 “2道”拉分题专练卷（一～二） 5页

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2021-06-25 发布

高考数学复习练习第3部分专题一第三讲 “2道”拉分题专练卷（一～二）

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“2 道”拉分题专练卷(一) 1．已知函数 f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)设 a>0，证明：当 0f( 1 a－x )； (3)若函数 y＝f(x)的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x 0，证明： f′(x0)<0. 解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1 x－2ax＋(2－a)＝－ (2x＋1)(ax－1) x . ①若 a≤0，则 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若 a>0，则由 f′(x)＝0 得 x＝1 a，且当 x∈(0，1 a )时，f′(x)>0；当 x>1 a时，f′(x)<0，所以 f(x)在(0，1 a )上单调递增，在( 1 a，＋∞)上单调递减． (2)证明：设函数 g(x)＝f( 1 a＋x )－f( 1 a－x )，则 g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax， g′(x)＝ a 1＋ax＋ a 1－ax－2a＝ 2a3x2 1－a2x2. 当 00，而 g(0)＝0，所以 g(x)>0，故当 0f( 1 a－x ). (3)证明：由(1)可得，当 a≤0 时，函数 y＝f(x)的图像与 x 轴至多有一个交点，故 a>0，从而 f(x)的最大值为 f( 1 a )，且 f( 1 a )>0. 不妨设 A(x1,0)，B(x2,0)，0f(x1)＝0. 从而 x2>2 a－x1，于是 x0＝x1＋x2 2 >1 a. 由(1)知，f′(x0)<0. 2．在平面直角坐标系中，已知焦距为 4 的椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A、B，右焦点为 F，过 F 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于 R、S 两点，若线段 RS 的长为10 3 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 Q(9，m)是直线 x＝9 上的点，直线 QA、QB 与椭圆 C 分别交于点 M、N，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．解：(1)依题意，椭圆过点(2，5 3 )，故Error!解得Error! 所以椭圆 C 的方程为x2 9＋y2 5＝1. (2)由题意知，直线 QA 的方程为 y＝m 12(x＋3)，代入椭圆方程，得(80＋m2)x2＋6m2x＋9m2－720＝0，设 M(x1，y1)，则－3x1＝9m2－720 m2＋80 ⇒x1＝240－3m2 m2＋80 ，所以 y1＝m 12(x1＋3)＝m 12( 240－3m2 m2＋80 ＋3)＝ 40m m2＋80，故点 M 的坐标为( 240－3m2 m2＋80 ， 40m m2＋80). 同理，直线 QB 的方程为 y＝m 6(x－3)，代入椭圆方程，得(20＋m2)x2－6m2x＋9m2－180＝ 0，设 N(x2，y2)，则 3x2＝9m2－180 m2＋20 ⇒x2＝3m2－60 m2＋20 ，所以 y2＝m 6(x2－3)＝m 6( 3m2－60 m2＋20 －3)＝－ 20m m2＋20，故点 N 的坐标为( 3m2－60 m2＋20 ，－ 20m m2＋20). ①若240－3m2 m2＋80 ＝3m2－60 m2＋20 ⇒m2＝40，直线 MN 的方程为 x＝1，与 x 轴交于点(1,0)； ②若 m2≠40，直线 MN 的方程为 y＋ 20m m2＋20＝ 10m 40－m2(x－3m2－60 m2＋20 )，令 y＝0，解得 x＝1. 综上所述，直线 MN 必过 x 轴上的定点(1,0)． “2 道”拉分题专练卷(二) 1．(2013·温州八校联考)已知函数 f(x)＝ex＋2x2－3x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(x))处的切线方程； (2)当 x≥1 2时，若关于 x 的不等式 f(x)≥5 2x2＋(a－3)x＋1 恒成立，试求实数 a 的取值范围．解：(1)f′(x)＝ex＋4x－3，则 f′(1)＝e＋1，又 f(1)＝e－1，∴曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－e＋1＝(e＋1)(x－1)，即(e ＋1)x－y－2＝0. (2)由 f(x)≥5 2x2＋(a－3)x＋1，得 ex＋2x2－3x≥5 2x2＋(a－3)x＋1，即 ax≤ex－1 2x2－1. ∵x≥1 2，∴a≤ ex－1 2x2－1 x 令 g(x)＝ ex－1 2x2＋1 x . 则 g′(x)＝ ex(x－1)－1 2x2＋1 x2 . 令 φ(x)＝ex(x－1)－1 2x2＋1，则 φ′(x)＝x(ex－1)． ∵x≥1 2，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在[ 1 2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x)≥φ( 1 2 )＝7 8－1 2 e>0，因此 g′(x)>0，故 g(x)在[ 1 2，＋∞)上单调递增，则 g(x)≥g( 1 2 )＝ e－1 8－1 1 2 ＝2 e－9 4. ∴a 的取值范围是(－∞，2 e－9 4]. 2．经过点 F(0,1)且与直线 y＝－1 相切的动圆的圆心轨迹为 M.点 A、D 在轨迹 M 上，且关于 y 轴对称，过线段 AD(两端点除外)上的任意一点作直线 l，使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行，设直线 l 与轨迹 M 交于点 B、C. (1)求轨迹 M 的方程； (2)证明：∠BAD＝∠CAD； (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于 2 2 |AD|，且△ABC 的面积为 20，求直线 BC 的方程．解：(1)法一：设动圆圆心为(x，y)，依题意得， x2＋(y－1)2＝|y＋1|. 整理，得 x2＝4y.所以轨迹 M 的方程为 x2＝4y. 法二：设动圆圆心为 P，依题意得点 P 到定点 F(0,1)的距离和点 P 到定直线 y＝－1 的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点 P 的轨迹是抛物线．且其中定点 F(0,1)为焦点，定直线 y＝－1 为准线．所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x2＝4y. (2)证明：由(1)得 x2＝4y，即 y＝1 4x2，则 y′＝1 2x. 设点 D(x0，1 4x20 )，由导数的几何意义知，直线 l 的斜率为 kBC＝1 2x0. 由题意知点 A(－x0，1 4x20 )，设点 C(x1，1 4x21 )，B(x2，1 4x22 )，则 kBC＝ 1 4x21－1 4x22 x1－x2 ＝x1＋x2 4 ＝1 2x0，即 x1＋x2＝2x0. 因为 kAC＝ 1 4x21－1 4x20 x1＋x0 ＝x1－x0 4 ，kAB＝ 1 4x22－1 4x20 x2＋x0 ＝x2－x0 4 ，所以 kAC＋kAB＝x1－x0 4 ＋x2－x0 4 ＝ (x1＋x2)－2x0 4 ＝0，即 kAC＝－kAB. 所以∠BAD＝∠CAD. (3)法一：由点 D 到 AB 的距离等于 2 2 |AD|，可知∠BAD＝45°. 不妨设点 C 在 AD 上方，即 x2

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