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- 2021-06-30 发布
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第52讲 空间角及其计算
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,BC1与平面BDD1B1所成的角为(A)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
取B1D1的中点E,连接C1E,BE,
因为C1E⊥平面BDD1B1,所以∠C1BE即为所求角θ.
因为sin θ==,所以θ=30°,选A.
2.正四棱锥的侧棱长为2,侧棱与底面所成的角为60°,则该棱锥的体积为(B)
A.3 B.6
C.9 D.18
棱锥的底面对角线长为2×2cos 60°=2,高为2sin 60°=3,设底面边长为a,则a=2,所以a=,
所以底面面积为a2=6,
所以其体积V=×6×3=6,所以选B.
3.已知二面角αlβ的大小为60°,m,n为异面直线,且m⊥α,n⊥β,则m,n所成的角为(B)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
4.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′、B′,若AB=12,则A′B′=(B)
A. 4 B.6
C.8 D.9
连接AB′,设AB=a,可得AB与平面α所成的角为∠BAB′=,在Rt△BAB′中,有AB′=a.
同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′=,
所以A′A=a.
因此在Rt△AA′B′中,A′B′==a,
因为AB=12,所以A′B′=6,故选B.
5.长为2a的线段AB在平面α内的射影线段A1B1的长为a,则直线AB与平面α所成的角的大小为 60° .
设直线AB与平面α所成的角为θ,则cos θ==,则θ=60°.
6.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于 .
如图,O为底面正△ABC的中心,则OP⊥平面ABC,∠PCO即为所求角,
设AB=1,
则PC=2,OC=,
所以cos ∠PCO==.
7.(2017·天津卷)如图,在四棱锥PABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
(2)求证:PD⊥平面PBC;
(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
(1)如图,由已知AD∥BC,故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.
因为AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,
所以AD⊥PD.
在Rt△PDA中,由已知,得AP==,
故cos∠DAP==.
所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.
(2)证明:由(1)知AD⊥PD.又因为BC∥AD,所以PD⊥BC.
又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC.
(3)过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.
因为PD⊥平面PBC,所以PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.
由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1.
由已知,得CF=BC-BF=2.
又AD⊥DC,所以BC⊥DC.
在Rt△DCF中,可得DF==2,
在Rt△DPF中,可得sin∠DFP==.
所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
8.(2014·新课程卷Ⅱ)直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为(C)
A. B.
C. D.
取BC的中点D,连接MN,ND,AD,
由于MN綊B1C1綊BD,因此ND綊BM,
则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角.
设BC=2,则BM=ND=,AN=,AD=,
因此,cos∠AND==.
9.已知正四面体ABCD的棱长为a.
(1)AC与平面 BCD所成角的余弦值为 ;
(2)二面角ABDC的平面角的余弦值为 .
设A在底面BCD上的射影为O,连接OA,连接OC并延长与BD相交于E,连接AE.
(1)因为AO⊥平面BCD,所以∠ACO就是AC与平面BCD所成的角.
因为△BCD是正三角形,
所以O是△BCD的中心.
在Rt△AOC中,OC=×a=a,
所以cos∠ACO==.
所以AC与平面BCD所成角的余弦值为.
(2)因为四面体ABCD为正四面体,
所以△BCD和△ABD都为正三角形,
所以OE⊥BD且AE⊥BD,
所以∠AEO为二面角ABDC的平面角,
所以OE=×a=,AE=a,
所以cos∠AEO==.
所以二面角ABDC的平面角的余弦值为.
10.如图,已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,且PC=a,E为PA的中点.
(1)求证:平面BED⊥平面ABCD;
(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值;
(3)求二面角DPAB的平面角的余弦值.
(1)证明:设AC交BD于O,连接OE,因为O是AC的中点,E是PA的中点,
所以OE∥PC,又PC⊥平面ABCD,
所以OE⊥平面ABCD,
因为OE⊂平面BED,所以平面BED⊥平面ABCD.
(2)连接OP,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC,
又PC⊥平面ABCD,所以BD⊥PC,
PC∩AC=C,所以BD⊥平面PAC,
所以OP是BP在平面PAC上的射影,
所以∠BPO即为所求角.
在Rt△BPO中,OB=a,PB=a,
所以sin∠BPO==.
所以PB与平面PAC所成角的正弦值为.
(3)过D作DF⊥PA于F,连接BF,由(2)知BD⊥PA,
DF∩BD=D,所以PA⊥平面BFD,BF⊂平面BFD,
所以PA⊥BF,
所以∠DFB即是所求二面角的平面角.
在△DFB中,可考虑用余弦定理求∠DFB.
因为PD=PA=a,
取AD的中点G,连接PG,则PG⊥AD,
PG==a,
由等面积法知AD×PG=PA×DF,
得DF==a,
BF=DF=a,BD=a,
所以cos∠DFB==-.
所以二面角DPAB的平面角的余弦值为-.
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