2018年甘肃省张掖市高考一模数学理 16页

2018 年甘肃省张掖市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x|4＜x＜8}，N={x|x2-6x＜0}，则 M∩N=( ) A.{x|0＜x＜4} B.{x|6＜x＜8} C.{x|4＜x＜6} D.{x|4＜x＜8} 解析：分别求出集合 M，N，由此能法出 M∩N. ∵集合 M={x|4＜x＜8}， N={x|x2-6x＜0}={x|0＜x＜6}， ∴M∩N={x|4＜x＜6}. 答案：C 2.若(2-i)2=a+bi3(a，b∈R)，则 a+b=( ) A.7 B.-7 C.1 D.-1 解析：自己由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可. ∵(2-i)2=3-4i=a+bi3=a-bi， ∴a=3，b=4. ∴a+b=7. 答案：A 3.如表是我国某城市在 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表. 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是( ) A.最低温与最高温为正相关 B.每月最高温与最低温的平均值在前 8 个月逐月增加 C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在 1 月 D.1 月至 4 月的月温差(最高温减最低温)相对于 7 月至 10 月，波动性更大 解析：根据题意，依次分析选项： 对于 A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为 正相关，则 A 正确； 对于 B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：-3.5，3，5，4.5，12，20.5， 23，26.5，28，15.5，在前 8 个月不是逐月增加，则 B 错误； 对于 C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最 大值出现在 1 月，C 正确； 对于 D，有 C 的结论，分析可得 1 月至 4 月的月温差相对于 7 月至 10 月，波动性更大，D 正确. 答案：B 4.已知 tan( 2  -θ )=4cos(2π -θ )，|θ |＜ 2  ，则 tan2θ =( ) A. 15 7  B. 15 7 C. 15 8  D. 15 8 解析：由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求 sinθ ，进而可求 cosθ ，tan θ ，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解. ∵tan( -θ )=4cos(2π -θ )， ∴ cos 4 cos sin     ， 又∵|θ |＜ ，cosθ ≠0， ∴sinθ = 1 4 ， 2 15cos 1 sin 4    ， sin 15tan cos 15   ， ∴ 22 1522 tan 1515tan 2 1 tan 7151 15            . 答案：B 5.已知双曲线 22 2 1 12 5 1 xy mm   的实轴长为 8，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A. 5 3  B. 3 5  C. 3 4  D. 4 3  解析：求出双曲线的实轴长，得到 m，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的斜率即 可. 双曲线 22 2 1 12 5 1 xy mm   的实轴长为 8， 可得：m2+12=16，解得 m=2，m=-2(舍去). 所以，双曲线的渐近线方程为： 0 43 xy. 则该双曲线的渐近线的斜率： 3 4  . 答案：C 6.如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值，并输出相应的 n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 模拟程序的运行，可得： a=2，s=0，n=1， s=2，a= 1 3 ， 满足条件 s＜3，执行循环体，n=2， 1 3 2 7 3 s    ，a= 3 4 ， 满足条件 s＜3，执行循环体，n=3， 73 34 7 12 s ，a= 4 7 ， 此时，不满足条件 s＜3，退出循环，输出 n 的值为 3. 答案：B 7.若实数 x，y 满足约束条件 2 2 0 2 6 0 03 xy xy y          ，则 z=4x-y 的最大值为( ) A.3 B.-1 C.-4 D.12 解析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x-y 表示直线在 y 轴上的 截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可. 实数 x，y 满足约束条件 2 2 0 2 6 0 03 xy xy y          表示的平面区域如图所示： 当直线 z=4x-y 过点 A 时，目标函数取得最大值， 由 0 2 6 0 y xy      解得 3 0 x y    ，即 A(3，0)， 在 y 轴上截距最小，此时 z 取得最大值：zmax=4×3-0=12. 答案：D 8.设 A，B 是椭圆 C： 22 1 12 2 xy的两个焦点，点 P 是椭圆 C 与圆 M：x2+y2=10 的一个交点， 则||PA|-|PB||=( ) A.2 2 B.4 3 C.4 D.6 解析：求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件列出方程，转化求出||PA|-|PB||即可. A，B 是椭圆 C： 的两个焦点，可知：A( 10 ，0)、B( 10 ，0)， 圆 M：x2+y2=10 恰好经过 AB 两点，点 P 是椭圆 C 与圆 M：x2+y2=10 的一个交点， 可得 PA⊥PB， 所以  22 2 43 2 40 PA PB PA PB c         ， 可得：2|PA||PB|=8，||PA|-|PB||2=32， ||PA|-|PB||=4 2 . 答案：C 9.设 w＞0，函数 y=2cos(wx+ 7  )-1 的图象向右平移 4 3  个单位后与原图象重合，则 w 的最 小值是( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 4 3 D. 3 4 解析：根据三角函数的图象重合，得到平移长度和周期关系，进行求解即可. ∵函数 y=2cos(wx+ )-1 的图象向右平移 个单位后与原图象重合， ∴ 42 3    ，则ω = . 答案：A 10.f(x)=   2 8 sin 2 xx xx   的部分图象大致是( ) A. B. C. D. 解析：通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的 图象即可. ∵f(-x)=-f(x)∴函数 f(x)为奇函数，排除 A， ∵x∈(0，1)时，x＞sinx，x2+x-2＜0，故 f(x)＜0，故排除 B； 当 x→+∞时，f(x)→0，故排除 C； 故结果应该选 D. 答案：D 11.如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外 接球的表面积为( ) A.52π B.45π C.41π D.34π 解析：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面 ABCD 是矩形，其中 AB=4，AD=6，侧面 PBC⊥底面垂 ABCD. 设 AC∩BD=O，则 OA=OB=OC=OD= 13 ，OP 2223 13   ， ∴O 该多面体外接球的球心，半径 R= ，∴该多面体外接球的表面积为 S=4π R2=52π . 答案：A 12.已知函数 f(x)=e4x-1，g(x)= 1 2 +ln(2x)，若 f(m)=g(n)成立，则 n-m 的最小值为( ) A.1 ln 2 4  B.1 2 ln 2 3  C. 2 ln 2 1 3  D.1 ln 2 4  解析：根据 f(m)=g(n)=t 得到 m，n 的关系，利用消元法转化为关于 t 的函数，构造函数， 求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论. 不妨设 f(m)=g(n)=t， ∴e4m-1= 1 2 +ln(2n)=t(t＞0)， ∴4m-1=lnt，即 m= 1 4 (1+lnt)，n= 1 21 2 t e  ， 故 n-m=   1 211 24 1 ln t e t    (t＞0)， 令 h(t)= (t＞0)， ∴h′(t)= 1 211 24 t e t   ，易知 h′(t)在(0，+∞)上是增函数，且 h′( )=0， 当 t＞ 时，h′(t)＞0， 当 0＜t＜ 时，h′(t)＜0， 即当 t= 时，h(t)取得极小值同时也是最小值， 此时 1 ln 21l1 1 1 1 2 2 4 2 n 4 h              ，即 n-m 的最小值为1 ln 2 4  . 答案：D 二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.已知向量 a r =(6，-2)，b r =(1，m)，且 ab rr ，则 2ab rr . 解析：∵ =(6，-2)， =(1，m)，且 ， ∴ 6 2 0a b m   rr g ， 解得 m=3， ∴ 2ab rr =(6，-2)-2(1，3)=(4，8)， ∴ 222 4 8 4 5ab    rr . 答案： 45 14.若(1-3x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则 3 2 a a  . 解析：若(1-3x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6， 则(1-3x)6 的通项公式为  163 rr rT C x ，r=0，1，2，…，6， 可得 2 269 135aC， 3 3627 540aC    ， 可得 3 2 4a a  . 答案：-4 15.如图，E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 C1D1 上的一点，且 BD1∥平面 B1CE，则异面直线 BD1 与 CE 所成成角的余弦值为 . 解析：连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 OE， ∵E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 C1D1 上的一点， ∴BCC1B1 是正方形，∴O 是 BC1 中点， ∵BD1∥平面 B1CE，∴BD1∥OE， ∴E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 C1D1 的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2， 则 B(2，2，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，E(0，1，2)， 1BD uuur =(-2，-2，2)，CE uur =(0，-1，2)， 设异面直线 BD1 与 CE 所成成角为θ ， 1 1 6 15cos 512 5 BD C E BD C E      g g . ∴异面直线 BD1 与 CE 所成成角的余弦值为 15 5 . 答案： 15 5 16.在△ABC 中，AC=3，CB=4，边 AB 的中点为 D，则 sin sin AC D D C B    . 解析：直接利用三角形的面积相等转化出结论. △ABC 中，AC=3，CB=4，边 AB 的中点为 D， 则：S△ACD=S△BCD， 所以： sin sin11 22 AC DC ACD BC CD DCB  g g g g ， 整理得： sin 4 sin 3 ACD BC DCB AC    . 答案： 4 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.第 17~21 题为必考题，每小题 12 分，共 60 分；第 22、23 题为选考题，有 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn=2an-2，{bn}为等差数列，b3=a2，b2+b6=10. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式. 解析：(1)在等比数列{an}的递推公式 Sn=2an-2 中，令 n=1 可得 S1=2a1-2=a1，解可得 a1=2， 当 n≥2 时，由 an=Sn-Sn-1 分析可得 an=2an-1，解可得等比数列{an}的公比，由等比数列的通 项公式可得数列{an}的通项公式，对于{bn}，求出 b3、b4 的值，计算其公差，由等差数列的 通项公式可得数列{bn}的通项公式. 答案：(1)根据题意，等比数列{an}中 Sn=2an-2， 当 n=1 时，有 S1=2a1-2=a1，解可得 a1=2， 当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=(2an-2)-(2an-1-2)，变形可得 an=2an-1， 则等比数列{an}的 a1=2，公比 q=2， 则数列{an}的通项公式 an=2×2n-1=2n， 对于{bn}，b3=a2=4，b2+b6=2b4=10，即 b4=5， 则其公差 d=b4-b3=1， 则其通项公式 bn=b3+(n-3)×d=n+1. (2)求数列{an(2bn-3)}的前 n 项和 Tn. 解析：(2)由(1)的结论可得 an(2bn-3)=(2n-1)·2n，由错位相减法计算可得答案. 答案：(2)由(1)的结论：an=2n，bn=n+1， an(2bn-3)=(2n-1)·2n， 则有 Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，① 则有 2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，② ①-②可得：-Tn=2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1， 变形可得：Tn=(2n-3)·2n+1+6. 18.“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募 捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与者投币 20 元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回)，若有一个红球，奖金 10 元，两个红球奖金 20 元，三个全为红球奖金 100 元. (1)求献爱心参与者中奖的概率. 解析：(1)设“献爱心参与者中奖”为事件 A，利用互斥事件概率能求出献爱心参与者中奖 的概率. 答案：(1)设“献爱心参与者中奖”为事件 A， 则献爱心参与者中奖的概率   1 2 2 1 3 3 7 3 7 3 3 10 85 17 120 24 C C C C CPA C    . (2)若该次募捐有 900 位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望. 解析：(2)设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为 X，则 X=20，10，0，-80，由此 能求出 X 的分布列和学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望. 答案：(2)设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为 X，则 X=20，10，0，-80， 则   3 7 3 10 720 24 CPX C    ，   12 37 3 10 2110 40 CCPX C    ，   21 37 3 10 70 40 CCPX C    ，   3 3 3 10 180 120 CPX C     ， ∴X 的分布列为： 若只有一个参与者募捐， 学校所得善款的数学期望为   7 21 7 1 12520 10 0 80 24 40 40 120 12 EX         (元)， 所以，此次募捐所得善款的数学期望为125 12 ×900=9375(元)， 答：此次募捐所得善款的数学期望是 9375 元. 19.如图，四边形 ABCD 是矩形，AB=3 3 ，BC=3， 2ED EC uuur uuur ，PE⊥平面 ABCD，PE= 6 . (1)证明：平面 PAC⊥平面 PBE. 解析：(1)连接 BE 交 AC 于 F，证明△ABC∽△BCE，推出∠BEC=∠ACB，证明 AC⊥BE，AC⊥PE， 即可证明 AC⊥平面 PBE，进一步得到平面 PAC⊥平面 PBE. 答案：(1)证明：连接 BE 交 AC 于 F， ∵四边形 ABCD 是矩形，AB= 3 ，BC=1， ， ∴CE= ，则 CE BC BC AB  ， ∵∠ABC=∠BCD= 2  ， ∴△ABC∽△BCE，则∠BEC=∠ACB， ∵∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE= ， ∴AC⊥BE， ∵PE⊥平面 ABCD，∴AC⊥PE， ∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面 PBE， ∵AC  平面 PAC， ∴平面 PAC⊥平面 PBE. (2)求二面角 A-PB-C 的余弦值. 解析：(2)取 PB 中点 G，连接 FG，AG，CG，证明 CG⊥PB，然后证明 PB⊥平面 ACG，推出 AG ⊥PB，说明∠AGC 是二面角 A-PB-C 的平面角，然后通过求解三角形得 tan∠AGC，利用同角 三角函数基本关系式得二面角 A-PB-C 的余弦值. 答案：(2)取 PB 中点 G，连接 FG，AG，CG， ∵PE⊥平面 ABCD，∴PE⊥DC， ∵PE= 6 ，∴PC=3=BC，得 CG⊥PB， ∵CG∩AC=C，∴PB⊥平面 ACG，则 AG⊥PB， ∴∠AGC 是二面角 A-PB-C 的平面角， ∵AB∥CD，AB=CD，DE=2EC， ∴ 1 3 CE EF CF AB FB FA ， ∵CE= 3 ，AC=6，∴CF= 3 2 ，AF= 9 2 ， ∵BC⊥CD，BC⊥PE，∴BC⊥平面 PCD， ∴BC⊥PC， ∴PB=3 2 ，则 CG= 32 2 ， ∵FG⊥AC，∴FG=FC= 3 2 ， 在 Rt△AFG 和 Rt△CFG 中，求得 tan∠AGF=3，tan∠CGF=1， ∴   tan tantan tan 2 1 tan tan AGF CGFAGC AGF CGF AGF CGF             g ， ∴ 2 15cos 1 tan 5 AGC AGC       . ∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 5 5  . 20.设直线 l 的方程为 x=m(y+2)+5，该直线交抛物线 C：y2=4x 于 P，Q 两个不同的点. (1)若点 A(5，-2)为线段 PQ 的中点，求直线 l 的方程. 解析：(1)联立方程组   2 25 4 x my m yx       ，消去 x 得 y2-4my-4(2m+5)=0，设 P(x1，y1)，Q(x2， y2)，则 y1+y2=4m，y1y2=-8m-20，利用韦达定理转化求解即可. 答案：(1)联立方程组   2 25 4 x my m yx       ，消去 x 得 y2-4my-4(2m+5)=0 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1+y2=4m，y1y2=-8m-20， ∵A 为线段 PQ 的中点，所以 1222 2 yy m    ，解得 m=-1， ∴直线 l 的方程为 x+y-3=0. (2)证明：以线段 PQ 为直径的圆 M 恒过点 B(1，2). 解析：(2)通过 x1+x2=m(y1+y2)+2(2m+5)=4m2+4m+10，     222 21212 12 25 4 4 16 yyyyx x m   g ， 结合向量的数量积为 0，推出结果. 答案：(2) 证明：∵ x1+x2=m(y1+y2)+2(2m+5)=4m2+4m+10 ， ， ∴ BP BQ u g ur uuur =(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)， 即 BP BQ u g ur uuur =[x1x2-(x1+x2)+1]+[y1y2-2(y1+y2)+4]， ∴ =[(2m+5)2-(4m2+4m+10)+1]+[-8m-20-2(4m)+4]=0， 因此 BP⊥BQ，即以线段 PQ 为直径的圆恒过点 B(1，2). 21.已知函数 f(x)=ax2-ex(a∈R). (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 y 轴垂直，求 y=f′(x)的最大值. 解析：(1)求出导函数，求出函数值，切线的斜率，判断导函数的单调性，然后求解最值即 可. 答案：(1)由 f′(x)=2ax-ex，得，f(1)=2a-e=0 a= 2 e ， 令 g(x)=f′(x)=ex-ex，则 g′(x)=e-ex， 可知函数 g(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以 g(x)max=g(1)=0. (2)若对任意 0≤x1＜x2 都有 f(x2)+x2(2-2ln2)＜f(x1)+x1(2-2ln2)，求 a 的取值范围. 解析：(2)函数 h(x)=f(x)+x(2-2ln2)=ax2+x(2-ln2)-ex 在[0，+∞)上单调递减，求出导函数， 构造函数，F(x)=2ax+(2-2ln2)-ex，再求解 F′(x)=2a-ex，通过当 a≤ 1 2 时，当 a＞ 1 2 时， 判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解实数 a 的取值范围. 答案：(2)由题意得可知函数 h(x)=f(x)+x(2-2ln2)=ax2+x(2-ln2)-ex 在[0，+∞)上单调递减， 从而 h′(x)=2ax+(2-2ln2)-ex≤0 在[0，+∞)上恒成立， 令 F(x)=2ax+(2-2ln2)-ex，则 F′(x)=2a-ex， 当 a≤ 1 2 时，F′(x)≤0，所以函数 F(x)在[0，+∞)上单调递减， 则 F(x)max=F(0)=1-2ln2＜0； 当 a＞ 时，F′(x)=2a-ex=0，得 x=ln2a，所以函数 F(x)在[0，ln2a)上单调递增， 在[ln2a，+∞)上单调递减， 则 F(x)max=F(ln2a)=2aln2a+2-2ln2-2a≤0， 即 2aln2a-2a≤2ln2-2， 通过求函数 y=xlnx-x 的导数可知它在[1，+∞)上单调递增， 故 ＜a≤1. 综上，实数 a 的取值范围是(-∞，1]. 请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线 C1 的极坐标方程为ρ 2cos2θ =8，曲线 C2 的极坐标方程为θ = 6  ，曲线 C1、C2 相 交于 A、B 两点.(p∈R) (1)求 A、B 两点的极坐标. 解析：(1)由 2 28 6 cos       得：ρ 2cos 3  =8，即可得到ρ .进而得到点 A，B 的极坐标. 答案：(1)由 得：ρ 2cos =8， ∴ρ 2=16， 即ρ =±4. ∴A、B 两点的极坐标为：A(4， 6  )，B(-4， 6  )或 B(4， 7 6  ). (2)曲线 C1 与直线 3 2 1 2 1xt yt      (t 为参数)分别相交于 M，N 两点，求线段 MN 的长度. 解析：(2)由曲线 C1 的极坐标方程ρ 2cos2θ =8 化为ρ 2(cos2θ -sin2θ )=8，即可得到普通方 程为 x2-y2=8.将直线 3 2 1 2 1xt yt      代入 x2-y2=8，整理得 t2+2 3 t-14=0.进而得到|MN|. 答案：(2)由曲线 C1 的极坐标方程ρ 2cos2θ =8 化为ρ 2(cos2θ -sin2θ )=8， 得到普通方程为 x2-y2=8. 将直线 代入 x2-y2=8， 整理得 t2+2 t-14=0. ∴     2 2 3 4 14 2 17MN      . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x-a|-|x+3|，a∈R. (1)当 a=-1 时，解不等式 f(x)≤1. 解析：(1)当 a=-1 时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1；去掉绝对值符号，转化求解即可. 答案：(1)当 a=-1 时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1； 当 x≤-3 时，不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1，不等式解集为空集； 当-3＜x＜-1 时，不等式转化为-(x+1)-(x+3)≤1，解之得 5 2  ≤x＜-1； 当 x≥-1 时，不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1，恒成立； 综上所求不等式的解集为[ 5 2  ，+∞). (2)若 x∈[0，3]时，f(x)≤4，求 a 的取值范围. 解析：(2)若 x∈[0，3]时，f(x)≤4 恒成立，即|x-a|≤x+7，即-7≤a≤2x+7 恒成立，通过 x 的范围求解 a 的范围. 答案：(2)若 x∈[0，3]时，f(x)≤4 恒成立，即|x-a|≤x+7，亦即-7≤a≤2x+7 恒成立， 又因为 x∈[0，3]，所以-7≤a≤7， 所以 a 的取值范围为[-7，7].