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- 2021-06-30 发布
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第三章检测试题
时间：90分钟 分值：120分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a<0，－1ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
解析：由－1b2>0>b，由a<0，得ab>ab2>a.
2．若<<0，则下列结论正确的是( A )
A．a>b B．abb2
解析：因为<<0，所以b4或x<－1}
C．{x|x>1或x<－4}
D．{x|－40，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}．
5．若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|10的解集是( D )
A．(1,2)
B．(－∞，－1)∪(6，＋∞)
C．(－1,1)∪(2,6)
D．(－∞，－1)∪(1,2)∪(6，＋∞)
解析：由题知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，
7
故>0，
同解于(x－1)(x－2)(x＋1)(x－6)>0，
得x<－1，或16.故选D.
6．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为x＋y≥2，且x＋y＝2，
所以2≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
所以xy≤1，所以≥1，
所以1≥M，所以Mmax＝1.故选A.
7．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( A )
A. B.
C．[－1,6] D.
解析：作出可行域如图所示．
目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6，故选A.
8．已知x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy的最小值是( C )
A．1 B.
C．e D．2
解析：依题意得lnx·lny＝，所以lnx·lny＝，
所以ln(xy)＝lnx＋lny≥2＝1，
当且仅当lnx＝lny时等号成立，
所以xy≥e，所以xy的最小值是e.故选C.
7
9．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示平面区域的面积为9，则的最小值为( D )
A．－1 B.
C. D．－
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
则×a×2a＝9，a＝3，
则A(3，－3)，点(－4,2)与点(x，y)的连线的斜率为，当点(x，y)为(3，－3)时，最小，最小值为－.
故选D.
10．当x>0时，x2＋mx＋4≥0恒成立，且关于t的不等式t2＋2t＋m≤0有解，则实数m的取值范围是( B )
A．[1，＋∞)
B．[－4,1]
C．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－4]
解析：∵当x>0时，x2＋mx＋4≥0恒成立，
∴m≥－.
∵x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，
∴m≥－4.
∵关于t的不等式t2＋2t＋m≤0有解，
∴Δ＝4－4m≥0，∴m≤1.
故实数m的取值范围是[－4,1]．故选B.
11．已知a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的关系是( D )
A．P>Q>R B．Q>R>P
C．P>R>Q D．R>Q>P
7
解析：因为a>b>1，所以lga>0，lgb>0，
<＝
＝lg－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集是R，求k的取值范围．
解：(1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根且k<0.
由根与系数的关系得
解得k＝－.
(2)因为不等式的解集为R，
所以
即
所以k<－.
即k的取值范围是.
18．(10分)电视台与某广告公司签约播放两部影片集，其中影片集甲每集播放时间为19分钟(不含广告时间，下同)，广告时间为1分钟，收视观众为60万；影片集乙每集播放时间为7分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间(含广告时间)．
(1)问电视台每周应播放两部影片集各多少集，才能使收视观众最多．
(2)在获得最多收视观众的情况下，影片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b(万元)的效益，若广告公司本周共获得3万元的效益，记S＝＋
7
为效益调和指数(单位：万元)，求效益调和指数的最小值．
解：(1)设影片集甲乙分别播放x，y集，
由题意得
要使收视观众最多，只要z＝60x＋20y最大即可．
作出可行域，如图，
由解得A，
所以满足题意的最优解为(2,5)，
zmax＝60×2＋20×5＝220，故电视台每周影片集甲播出2集，影片集乙播出5集，能使收视观众最多．
(2)由题意得：2a＋5b＝3，则
S＝＋＝(2a＋5b)＝≥27，
当且仅当a＝，b＝时取等号，所以效益调和指数的最小值为27万元．
19．(10分)设集合A为函数y＝ln(－x2－2x＋8)的定义域，集合B为函数y＝x＋的值域，集合C为不等式(x＋4)≤0的解集．
(1)求A∩B.
(2)若C⊆∁RA，求a的取值范围．
解：(1)因为－x2－2x＋8>0，
可以解得A＝(－4,2)．
因为y＝x＋，
所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)．
(2)因为∁RA＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，C⊆∁RA，
若a<0，则不等式(x＋4)≤0的解集只能是(－∞，－4]∪，故一定有≥2，得a2≤，解得－≤a<0；
7
若a>0，则不等式(x＋4)≤0的解集是，但C⊆∁RA，故a∈∅，所以a的范围为－≤a<0.
20．(10分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
故当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，所以要使得“任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立．
所以
即
解得a≥.
所以a的取值范围是.
7
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