2019年高考数学总复习检测第62讲　直线与圆锥曲线的位置关系 3页

第62讲　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎　‎ ‎1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(A)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎ 因为直线可变形为y＝k(x－1)＋1，可知直线恒过(1,1)点，而(1,1)在椭圆内，所以直线与椭圆相交．‎ ‎2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，原点与线段MN中点的连线的斜率为，则的值是(A)‎ A. B. C．2 D. ‎ 消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，‎ 所以MN的中点为(，1－)．‎ 依题意＝，即＝.‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)‎ A．(1,2] B．(1,2)‎ C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)‎ ‎ 因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，‎ 所以该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，‎ 所以≥，‎ 所以离心率e2＝＝≥4，‎ 所以e≥2，即e∈[2，＋∞)．‎ ‎4．(2017·南关区模拟)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A、B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(C)‎ A. B．2 C．4 D．8‎ ‎ 由题意知抛物线的准线为x＝－4，设等轴双曲线方程为：x2－y2＝a2(a>0)，‎ 将x＝－4代入等轴双曲线方程解得y＝±，‎ 因为|AB|＝4，所以2＝4，解得a＝2.‎ 所以C的实轴长为4.‎ ‎5．抛物线y2＝4x与直线2x－y＋m＝0相交所得的弦长为3，则m的值为　－4　.‎ ‎ 将直线方程代入抛物线方程整理得：y2－2y＋2m＝0，‎ 所以|AB|＝|y1－y2|＝＝3，‎ 所以m＝－4.‎ ‎6．(2016·湖北孝感模拟)若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，‎ 且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是　2　.‎ ‎ 设以点(3,1)为中点的弦所在的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，‎ 则 由①－②得y－y＝2p(x1－x2)，‎ 则＝，由题意知，kAB＝2，且y1＋y2＝2.‎ 故kAB＝＝＝2.所以p＝2.‎ ‎7．(2017·新课标卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ ‎ (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，‎ 故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，‎ 解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为y＝x＋7.‎ ‎8．(2016·北京东城模拟)已知双曲线－＝1与直线x＋y－1＝0交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为(B)‎ A．1 B．2‎ C．3 D. ‎ 由得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－.‎ 因为·＝x1x2＋y1y2‎ ‎＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)‎ ‎＝2x1x2－(x1＋x2)＋1‎ ‎＝0，‎ 所以－＋1＝0，即2a＋2ab－2a＋a－b＝0，‎ 即b－a＝2ab，所以－＝2.‎ ‎9．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是　(－∞，－1)∪(1，＋∞)　.‎ ‎ 依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.‎ 设直线l：y＝k(x＋1)，联立 消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，‎ 由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，‎ 解得k＜－1或k＞1.‎ ‎10．(2016·新课标卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ ‎ (1)如图，由已知得M(0，t)，P(，t)．‎ 又N为M关于点P的对称点，故N(，t)，‎ 故直线ON的方程为y＝x，‎ 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝.因此H(，2t)．‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．‎