2019年高考数学总复习检测第21讲　任意角的三角函数 3页

第21讲　任意角的三角函数 ‎1．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(A)‎ A. B．－ C．－ D. ‎ 由题意知P的坐标为(－8m，－3)，因为cos α＝－<0，所以m>0.由三角函数定义知，cos α＝＝－，即m2＝，由m>0，得m＝.‎ ‎2. 已知一圆弧的弧长等于它所在的圆的内接正三角形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数是(C)‎ ‎ A. B. C. D．2‎ ‎ 设正三角形的边长为a，则它的外接圆半径r＝a×＝a，所以α＝＝＝.‎ ‎3．如果θ＝12 rad，那么角θ的终边所在的象限是(D)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎ 因为<12<4π，所以θ为第四象限角，其终边在第四象限．‎ ‎4．点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(A)‎ A．(－，) B．(－，－)‎ C．(－，－) D．(－，)‎ ‎ 设Q的坐标为(x，y)，‎ 则x＝cos(π－)＝cos(π－2π－)＝cos(π－)＝－.‎ y＝sin(π－)＝sin(π－2π－)＝sin(π－)＝.‎ ‎5. α的终边与的终边关于直线y＝x对称，则α＝　2kπ＋(k∈Z)　.‎ ‎ 因为的终边与的终边关于y＝x对称，‎ 所以α＝2kπ＋(k∈Z)．‎ ‎6．已知角α终边过点(，－1)，则2sin α＋cos α的值为　　.‎ ‎ 因为sin α＝＝－，cos α＝＝；‎ 所以2sin α＋cos α＝2×(－)＋×＝.‎ ‎7. 如果角α的终边在直线y＝3x上，求cos α与tan α的值．‎ ‎ 因为角α的终边在直线y＝3x上，所以角α的终边在第一、三象限．‎ 当α的终边在第一象限时，因为直线过点(1,3)，‎ 因为r＝＝，所以cos α＝，tan α＝3.‎ 当α的终边在第三象限时，同理可得 cos α＝－，tan α＝3.‎ ‎8．(2014·新课标卷Ⅰ)若tan α>0，则(C)‎ A．sin α>0 B．cos α>0‎ C．sin 2α>0 D．cos 2α>0‎ ‎ 由tan α>0得α在第一、三象限．‎ 若α在第三象限，则A、B都错．‎ 由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α>0，C正确．‎ α取，cos 2α＝cos＝－<0，D错．‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且|OP|＝r(r>0)，定义：sicos θ＝，称sicos θ为“θ的正余弦函数”．若sicos θ＝0，则sin(2θ－)＝　　.‎ ‎ 因为sicos θ＝0，所以y0＝x0，‎ 所以θ的终边在直线y＝x上．‎ 所以θ＝2kπ＋，或θ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 当θ＝2kπ＋，k∈Z时，‎ sin(2θ－)＝sin(4kπ＋－)＝cos＝；‎ 当θ＝2kπ＋，k∈Z时，‎ sin(2θ－)＝sin(4kπ＋－)＝cos＝.‎ 综上得sin(2θ－)＝.‎ ‎10．要建一个扇环形花园，外圆半径是内圆半径的2倍，周长为定值2l，问当圆心角α(0<α<π)为多少时，扇环面积最大？最大面积是多少？‎ ‎ 设内圆半径为r，则外圆半径为2r，扇环面积为S，‎ 因为αr＋α·2r＋2r＝2l，所以3α＝，‎ 所以S＝α·(2r)2－α·r2＝α·r2‎ ‎＝··r2＝(l－r)·r ‎＝－r2＋lr＝－(r－l)2＋l2，‎ 所以当r＝l时，S取得最大值，‎ 此时3α＝＝2，α＝.‎ 当α＝时，S取得最大值l2.‎