2019年高考数学总复习检测第69讲　概率与统计的综合问题 4页

第69讲　概率与统计的综合问题 ‎　‎ ‎1.(2016·广州市综合测试(一))从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.‎ ‎(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；‎ ‎(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取2件产品,求这2件产品都在区间[45,65)内的概率.‎ ‎ (1)设在区间[75,85]内的频率为x,‎ 则区间[55,65),[65,75)内的频率分别为4x和2x.‎ 依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1,‎ 解得x＝0.05.‎ 所以在区间[75,85]内的频率为0.05.‎ ‎(2)由(1)得,在区间[45,55),[55,65),[65,75)内的频率依次为0.3,0.2,0.1.‎ 用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本,‎ 则在区间[45,55)内应抽取6×＝3件,记为A1,A2,A3.‎ 在区间[55,65)内应抽取6×＝2件,记为B1,B2.‎ 在区间[65,75)内应抽取6×＝1件,记为C.‎ 设“从样本中任意抽取2件产品,这2件产品都在区间[45,65)内”为事件M,‎ 则所有的基本事件有：{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C},{A2,A3},{A2,B1},‎ ‎{A2,B2},{A2,C},{A3,B1},{A3,B2},{A3,C},{B1,B2},{B1,C},{B2,C},共15种.‎ 事件M包含的基本事件有：{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},‎ ‎{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共10种.‎ 所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率为＝.‎ ‎2.(2015·新课标卷Ⅱ)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度的评分,得到A地区满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.‎ A地区满意度评分的频率分布直方图 B地区用户满意度评分的频率分布表 满 意 度 评分分组 ‎[50,　‎ ‎　60)‎ ‎[60,　‎ ‎　70)‎ ‎[70,　‎ ‎　80)‎ ‎[80,　‎ ‎　90)‎ ‎[90,　‎ ‎　100]‎ 频　数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)‎ B地区满意度评分的频率分布直方图 ‎(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到80分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.‎ ‎ (1)B地区满意度评分的频率分布直方图如下：‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,‎ B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,‎ B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.‎ ‎(2)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 记CA表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”,CB表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.‎ 由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6.‎ P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.‎ 所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ ‎3.(2016·湖南省六校联考)某组同学将高中学生课外阅读情况作为一个研究性课题,他们随机调查了100名同学,其中55个女同学,45个男同学,下图是根据调查结果绘制的周课外阅读时间的频率分布直方图,将周阅读时间不低于4小时的同学称为“阅读爱好者”,已知“阅读爱好者”中有10个女同学.‎ ‎(1)根据已知条件完成2×2列联表,并据此资料你能否有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关？‎ 非阅读爱好者 阅读爱好者 合计 男 女 合计 ‎(2)将周阅读时间不低于5小时的同学称为“读书迷”,已知“读书迷”中有2名女同学,若从“读书迷”中任意选取2人,求至少有1名女同学的概率.‎ 附K2＝.‎ ‎ (1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“阅读爱好者”有25人,从而2×2列联表如下：‎ 非阅读爱好者 阅读爱好者 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎　　由2×2列联表中数据代入公式计算得,‎ K2＝ ‎＝＝≈3.030,‎ 因为3.030<3.841,所以,没有95%的把握认为是否为“阅读爱好者”与性别有关.‎ ‎(2)由频率分布直方图知,“读书迷”为5人,记他们为1,2,3,4,5,其中1,2为女同学,‎ 从“读书迷”中任意选取2人,有以下10种情况：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5).‎ 至少有1名女同学的情况有7种,故至少有1名女同学的概率为.‎ ‎4．(2017·新课标卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：‎ 抽取次序,1,2,3,4,5,6,7,8零件尺寸,9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04抽取次序,9,10,11,12,13,14,15,16零件尺寸,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95经计算得＝‎ eq f(1,16)i＝9.97，s＝ ＝≈0.212, ≈18.439，(xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.‎ ‎(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．‎ ‎(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(－3s，＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎(ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎(ⅱ)在(－3s，＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)‎ 附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝，≈0.09.‎ ‎ (1)由样本数据得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数 r＝ ‎≈≈－0.18.‎ 由于|r|<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．‎ ‎(2)(ⅰ)由于＝9.97，s≈0.212，因此由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(－3s，＋3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎(ⅱ)剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为 (16×9.97－9.22)＝10.02，‎ 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.‎ ≈16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，‎ 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 (1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，‎ 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.‎