新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测十二解三角形的综合问题文 5页

专题过关检测（十二） 解三角形的综合问题 ‎1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos ‎2C＝7.‎ ‎(1)求tan C的值；‎ ‎(2)若c＝，sin B＝2sin A，求a，b的值．‎ 解：(1)在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，‎ 所以＝－，则sin＝cos.‎ 由8sin2－2cos ‎2C＝7，得8cos2－2cos ‎2C＝7，‎ 所以4(1＋cos C)－2(2cos‎2C－1)＝7，‎ 即(2cos C－1)2＝0，所以cos C＝.‎ 因为0＜C＜π，所以C＝，‎ 于是tan C＝tan＝.‎ ‎(2)由sin B＝2sin A，得b＝‎2a.①‎ 又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，‎ 即a2＋b2－ab＝3.②‎ 联立①②，解得a＝1，b＝2.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.‎ ‎(1)求cos∠ADB；‎ ‎(2)若DC＝2，求BC.‎ 解：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝.‎ 由题设知，∠ADB<90°，‎ 所以cos ∠ADB＝ ＝.‎ ‎(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin∠ADB＝.‎ 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC 5‎ ‎＝25＋8－2×5×2×＝25，‎ 所以BC＝5.‎ ‎3．(2019·长春质监)如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝.‎ ‎(1)求AC的长；‎ ‎(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．‎ 解：(1)因为cos∠ACB＝，所以sin∠ACB＝，‎ 由正弦定理得AC＝sin∠ABC＝2.‎ ‎(2)因为CD⊥BC，所以∠ACD＝90°－∠ACB，‎ 所以cos∠ACD＝sin∠ACB＝.‎ 设AD＝‎2m，则CD＝‎3m.‎ 由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD·cos∠ACD，即‎4m2‎＝4＋‎9m2‎－2×2×‎3m×，解得m＝1或m＝.‎ 当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.‎ 当m＝时，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.‎ 综上，△ACD的面积为或.‎ ‎4．设函数f(x)＝sin x(cos x＋sin x)－.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f(B)＝1，b＝2，且b(2－cos A)＝a(cos B＋1)，求△ABC的面积．‎ 解：(1)由已知得，f(x)＝sin 2x＋－＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ 5‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎(2)因为f(B)＝1，所以sin＝1，‎ 因为B是三角形的内角，‎ 所以2B－＝，B＝，‎ 又因为b(2－cos A)＝a(cos B＋1)，‎ 由正弦定理得sin B(2－cos A)＝sin A(cos B＋1)，‎ 所以2sin B＝sin A＋sin Acos B＋cos Asin B ‎＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋sin C，‎ 所以2b＝a＋c，‎ 因为b＝2，B＝，‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－ac⇒b2＝(a＋c)2－‎3ac⇒ac＝b2＝4.‎ 所以S＝acsin B＝×4×sin ＝，‎ 故△ABC的面积为.‎ ‎5．(2020届高三·石家庄摸底)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．‎ 解：(1)因为asin A＋bsin B＋bsin A＝csin C，‎ 所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.‎ 由余弦定理得cos C＝＝－，‎ 又0