2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练14 解三角形 33页

考点 14 解三角形 【考点分类】 热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 1.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】在 中， ， ， ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 2.【2013 年普通高等学校统一考试天津卷理科】在△ABC 中, 则 = ( ) (A) (B) (C) (D) 3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】在 ，内角 所对的边长分别为 （ ） A． B． C． D． 4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】 的内角 的对边分别是 ， 若 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. ABC∆ 3a = 5b = 1sin 3A = sin B = 1 5 5 9 5 3 1 , 2, 3,4 AB BCABC π∠ == = sin BAC∠ 10 10 10 5 3 10 10 5 5 ABC∆ , ,A B C , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b+ = ,a b B> ∠ =且 则 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 2B A= 1a = 3b = c = 2 3 2 2 1 5. 【 2013 年 全 国 高 考 新 课 标 （ I ） 文 科 】 已 知 锐 角 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， ， ， ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 6.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理】在锐角中 ，角 所对的边长分别为 .若 （ ） A． B． C． D． 7.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设 的内角 所对边的长分别为 ， 若 ,则角 =（ ） (A) (B) (C) (D) ABC∆ , ,A B C , ,a b c 223cos cos2 0A A+ = 7a = 6c = b = 10 9 8 5 ABC∆ ,A B ,a b 2 sin 3 ,a B b A= 则角 等于 12 π 6 π 4 π 3 π ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 ,3sin 5sinb c a A B+ = = C 3 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π 8．（2012 年高考（天津理））在 中,内角 , , 所对的边分别是 ,已知 , ,则 （　　） A． B． C． D． 9．（2012 年高考（陕西理））在 中,角 所对边长分别为 ,若 ,则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．（2012 年高考（湖北文））设 的内角 所对的边分别为 ,若三边的长为连续的三个正整 数,且 , ,则 为（　　） A． 4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 11.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】如图，在 中，已知点 在 边上， , , , 则 的长为__ ___ . ABC∆ A B C , ,a b c 8 =5b c =2C B cosC = 7 25 7 25 − 7 25 ± 24 25 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 22a b c+ = cosC 3 2 2 2 1 2 1 2 − ABC∆ , , ,A B C , ,a b c A B C> > 3 20 cosb a A= sin :sin :sinA B C ABC∆ D BC ACAD ⊥ 23,3 22sin ==∠ ABBAC 3=AD BD 12.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】已知△ABC 的内角 A、B、C 所对应边分别为 a、b、 c，若 ，则角 C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）. 13. 【 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学 浙 江 理 】 中 ， , 是 的 中 点 ， 若 ，则 ________. 090=∠C BC =∠BACsin 2 2 23 2 3 3 0a ab b c+ + − = ABC∆ M 3 1sin =∠BAM 14．（2012 年高考（重庆文））设△ 的内角 的对边分别为 ,且 , 则 ____. 15．（2012 年高考（北京理））在△ABC 中,若 , , ,则 ________. 16．（2012 年高考（湖北理））设△ 的内角 , , 所对的边分别为 , , .若 ,则角 _________. ABC A B C a b c ( )( )a b c a b c ab+ − + + = C = ABC A B C、 、 a b c、 、 1cos 4a b C ==1， =2， sin B = 2a = 7b c+ = 1cos 4B = − b = 17.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】 设 的内角 A、B、C 的对边分别为 . （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 ，求 C. 18.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】 在△ABC 中，a=3，b=2 ，∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值， (II)求 c 的值. 19.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】 ABC∆ a b c、 、 ，( )( )a b c a b c ac+ + − + = 3 1sin sin 4A C −= 6 20.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】在 中，角 的对边分别为 ，且 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）若 ， ，求向 量 在 方向上的投影. 21. 【2013 年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，旅客从某旅游区的景点 处下山至 处有两种 , , , , , sin sin sin sin cos2 1. 1 , , 22 .3 ABC A B C a b c A B B C B a b c aC b π ∆ + + = = 在 中，角 的对边分别是 已知 （）求证： 成等差数列； （ ）若 ，求 的值 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 22cos cos sin( )sin cos( )2 A B B A B B A C − − − + + 3 5 = − cos A 4 2a = 5b = BA BC A C 路径.一种是从 沿直线步行到 ，另一种从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 .现有甲、 乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 m/min，在甲出发 2 min 后，乙从 乘缆车到 ， 在 处停留 1 min 后，再从 匀速步行到 . 假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min，山路 长 1260 m ，经测量， ， . （1）求索道 的长； （2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步 行 的 速 度应控制在什么范围内？ 22.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】 设 的内角 所对的边分别为 ，且 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. A C A B B C A AC 50 A B B B C AC 12cos 13A = 3cos 5C = AB C ABC∆ , ,A B C , ,a b c 6, 2a c b+ = = 7cos 9B = ,a c ( )sin A B− 23.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的取值范围. 24.【2013年全国高考新课标（I）理科】 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB= 3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°. (1)若 PB= 1 2，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA. cos (cos 3sin )cos 0.C A A B+ − = B 1a c+ = b 25. （ 2012 年 高 考 （ 安 徽 文 ）） 设 的 内 角 所 对 的 边 为 , 且 有 (Ⅰ)求角 的大小; (II) 若 , , 为 的中点,求 的长. 26．（2012 年高考（课标文））已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边, . (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 =2, 的面积为 ,求 , . A B C P ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2sin cos sin cos cos sinB A A C A C= + A 2b = 1c = D BC AD a b c ABC∆ A B C 3 sin sinc a C c A= − A a ABC∆ 3 b c 27．（2012 年高考（江苏））在 中,已知 . (1)求证: ; (2)若 求 A 的值. ABC∆ 3AB AC BA BC• = •    tan 3tanB A= 5cos 5C = ， 28．（2012 年高考（大纲文）） 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 满足 ,求 . 29．（2012 年高考（辽宁理））在 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 的值. 解：(1)由已知 (2)解法一: ,由正弦定理得 【方法总结】 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． ABC∆ cos B sin sinA C 12 = + , + + = , = ,cos =3 2B A C A B C B B ππ ∴ 2 =b ac 2 3sin sin =sin = 4A C B ABC∆ , ,a b c 22 3b ac= A (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引 起注意． (3)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用． 热点二、利用正余弦定理判断三角形形状 30.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理】设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 , 则△ABC 的形状为 （ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 31.（2012 年高考（上海理））在 中,若 ,则 的形状是（　　） A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定. 【方法总结】 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： 1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的 形状； 2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从 而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论． 热点三、利用正余弦定理求三角形面积 32.【2013 年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2，B= ，C= ，则△ABC 的面积为（ ） （A） （B） （C） （D） cos cos sinb C c B a A+ = ABC∆ CBA 222 sinsinsin <+ ABC∆ 6 π 4 π 2 3 2+ 3 1+ 2 3 2− 3 1− 33.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】在锐角△ABC 中，内角 的对边分别为 ， 且 ， （Ⅰ）求角 A 的大小. （Ⅱ) 若 ，求△ABC 的面积. 34.【2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】 △ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=bcosC+csinB. （Ⅰ）求 B； （ Ⅱ ） 若 b=2 ， 求 △ ABC 面 积 的 最 大 值 . 35.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】如图，在等腰直角 , ,A B C , ,a b c 2 sin 3a B b= 6, 8a b c= + = 中， ， ，点 在线段 上. (Ⅰ) 若 ，求 的长； （Ⅱ）若点 在线段 上，且 ，问：当 取何值时， 的面积最小？并求出面 积的最小值. ( ) ( ) 1 3 11 cos 90 2 sin 90 24 4 α α = − °+ + °+   OPQ∆ 090POQ∠ = 2 2OP = M PQ 5OM = PM N MQ 030MON∠ = POM∠ OMN∆ 1 3 3 1sin 2 cos24 4 4 α α = + + 因为 ， ，所以当 时， 的最大值为 ，此时 的面 积取到最小值．即 2 时， 的面积的最小值为 ． 36.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】 在△ 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， . 已知 . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ 的面积 ， ，求 的值. 37.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】 在△ 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， . 已知 . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ 的面积 ， ，求 的值. 38.（2012 年高考（山东文））(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 所对的边分别为 ,已知 . ( ) 1 3 1 sin 2 304 2 α = + + ° ( )sin 2 30α + ° OMN∆ OMN∆ 0 60α° ≤ ≤ ° 30 2 30 150α° ≤ + ° ≤ ° 30α = ° 1 30POM∠ = ° 8 4 3− ABC A B C a b c cos2 3cos( ) 1A B C− + = ABC 5 3S = 5b = sin sinB C ABC A B C a b c cos2 3cos( ) 1A B C− + = ABC 5 3S = 5b = sin sinB C , ,A B C , ,a b c sin (tan tan ) tan tanB A C A C+ = (Ⅰ)求证: 成等比数列; (Ⅱ)若 ,求△ 的面积 S. 39.（2012 年高考（江西理）） 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知, . (1)求证: ( 2)若 ,求△ABC 的面积. 40．（2012 年高考（浙江理））在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= cosC. (Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= ,求 ABC 的面积. a= 2 , ,a b c 1, 2a c= = ABC , sin( ) sin( )4 4 4A b C c B a π π π= + − + = 2B C π− = ∆ 2 3 5 2 ∆ 【方法总结】 1．利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化； 2．除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有 ①S＝ pp－ap－bp－c＝p·r(p 是周长的一半，即 p＝ a＋b＋c 2 ，r 为内切圆半径)；②S＝ abc 4R (R 为外接圆半径)． 【考点剖析】 一．明确要求 1．考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.[来源:学*科*网] 2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法． 二．命题方向 1．利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． 2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 三．规律总结 基础梳理 1．正弦定理： a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (3)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A ＝b2＋c2－a2 2bc ，cos B＝a2＋c2－b2 2ac ，cos C＝a2＋b2－c2 2ab . 3．S△ABC＝1 2absin C＝1 2bcsin A＝1 2acsin B＝abc 4R ＝1 2(a＋b＋c)·r(R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)， 并可由此计算 R，r. 4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则 A 为锐角 A 为钝角或直 角 图形 关系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b[来源:学科网 ZXXK] a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a ＞b⇔sin A＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求 其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1 )已知两边及夹 角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 【考点模拟】 一．扎实基础[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 1. 【2013 年山东省临沂市高三教学质量检测考试】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则角 B 为( ) (A) (B) (C) (D) 2 2 2 3sin A sin C sin B sin AsinC+ − = 6 π 3 π 2 3 π 5 6 π 2. 【天津一中 2012—2013 学年高三数学一月考】在∆ABC 中,A,B,C 为 内角,且 ,则∆ABC 是 ( ) A.等腰三角形　 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形　 3. 【四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊断性检测】在ΔABC 中，角 A，B，C 所对的边的长分别为 a，b，c， 若 asinA+bsinBb B.a > ,A B tan tantan( ) 01 tan tan A BA B A B ++ = >− tan( ) tan 0C Cπ − = − > tan 0C < C ABC∆ ABC∆ a b c A B C 2 2 2a c b− = sin 6cos sinB A C= ⋅ b 4.在△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，三边 a、b、c 成等差数列，且 B＝ ，则｜cosA 一 cosC｜ 的值为 . 5. 已知函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减． 中， 、 、 分别为内角 所对的边，且满足 ． （1）证明： ； （2）如图，点 是 外一点，设 ，[来源:Z_xx_k.Com] ，当 时，求平面四边形 面积的最大值． ( ) sinf x xω= ( 0)ω > [0, ]3 π 2[ , ]3 3 π π ABC∆ a b c A B C、 、 A CB A CB cos coscos3 4 sin sinsin −− =+ ω acb 2=+ O ABC∆ θ=∠AOB (0 )θ π< < 2 2OA OB= = cb = OACB 4 π