高中数学人教a版选修4-4课时跟踪检测（十）椭圆的参数方程word版含解析 4页

课时跟踪检测(十) 椭圆的参数方程 一、选择题 1．椭圆 x＝acos θ， y＝bsin θ (θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( ) A．π B.π 2 C．2π D.3π 2 解析：选 A ∵点(－a,0)中 x＝－a， ∴－a＝acos θ， ∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 2．已知椭圆的参数方程 x＝2cos t， y＝4sin t (t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t＝π 3 ，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为( ) A. 3 B．－ 3 3 C．2 3 D．－2 3 解析：选 C 点 M 的坐标为(1,2 3)， ∴kOM＝2 3. 3．直线x 4 ＋y 3 ＝1 与椭圆x2 16 ＋y2 9 ＝1 相交于 A，B 两点，该椭圆上点 P 使得△PAB 的面积 等于 4，这样的点 P 共有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选 B 设椭圆上一点 P1 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈ 0，π 2 ，如图所示，则 S 四边形 P1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1 ＝1 2 ×4×3sin θ＋1 2 ×3×4cos θ ＝6(sin θ＋cos θ)＝6 2sin θ＋π 4 . 当θ＝π 4 时，S 四边形 P1AOB 有最大值为 6 2. 所以 S△ABP1≤6 2－S△AOB＝6 2－6＜4. 故在直线 AB 的右上方不存在点 P 使得△PAB 的面积等于 4，又 S△AOB＝6＞4，所以在 直线 AB 的左下方，存在两个点满足到直线 AB 的距离为8 5 ，使得 S△PAB＝4. 故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于 4. 4．两条曲线的参数方程分别是 x＝cos2θ－1， y＝1＋sin2θ (θ为参数)和 x＝3cos t， y＝2sin t (t 为参数)， 则其交点个数为( ) A．0 B．1 C．0 或 1 D．2 解析：选 B 由 x＝cos2θ－1， y＝1＋sin2θ， 得 x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由 x＝3cos t， y＝2sin t 得x2 9 ＋y2 4 ＝1. 如图所示，可知两曲线交点有 1 个． 二、填空题 5．椭圆 x＝－4＋2cos θ， y＝1＋5sin θ (θ为参数)的焦距为________． 解析：椭圆的普通方程为x＋42 4 ＋y－12 25 ＝1. ∴c2＝21，∴2c＝2 21. 答案：2 21 6．实数 x，y 满足 3x2＋4y2＝12，则 2x＋ 3y 的最大值是________． 解析：因为实数 x，y 满足 3x2＋4y2＝12， 所以设 x＝2cos α，y＝ 3sin α，则 2x＋ 3y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)， 其中 sin φ＝4 5 ，cos φ＝3 5. 当 sin(α＋φ)＝1 时，2x＋ 3y 有最大值为 5. 答案：5 7．在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为 x＝acos φ， y＝bsin φ (φ为参数，a＞b＞0)， 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极 轴)中，直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为ρsin θ＋π 4 ＝ 2 2 m(m 为非零常数)与ρ＝b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为____________． 解析：l 的直角坐标方程为 x＋y＝m，圆 O 的直角坐标方程为 x2＋y2＝b2，由直线 l 与 圆 O 相切， 得 m＝± 2b. 从而椭圆的一个焦点为( 2b,0)，即 c＝ 2b， 所以 a＝ 3b，则离心率 e＝c a ＝ 6 3 . 答案： 6 3 三、解答题 8．已知两曲线参数方程分别为 x＝ 5cos θ， y＝sin θ (0≤θ<π)和 x＝5 4 t2， y＝t (t∈R)，求它们 的交点坐标． 解：将 x＝ 5cos θ y＝sin θ (0≤θ＜π)化为普通方程，得 x2 5 ＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－ 5)， 将 x＝5 4t2，y＝t 代入，得 5 16t4＋t2－1＝0， 解得 t2＝4 5 ， ∴t＝2 5 5 (∵y＝t≥0)，x＝5 4t2＝5 4·4 5 ＝1， ∴交点坐标为 1，2 5 5 . 9．对于椭圆 x＝acos θ， y＝bsin θ (θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1 a ，再把纵坐标缩短 为原来的1 b 即得到圆心在原点，半径为 1 的圆的参数方程 x＝cos θ， y＝sin θ (θ为参数)．那么，若 把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的 关系． 解：设圆的参数方程为 x＝rcos θ， y＝rsin θ (θ为参数)， 如果将该圆看成椭圆， 那么在椭圆中对应的数值分别为 a＝b＝r， 所以 c＝ a2－b2＝0， 则离心率 e＝c a ＝0. 即把圆看成椭圆，其离心率为 0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越 小即越接近于 0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁． 10．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的方程为 x－y＋4＝0，曲线 C 的参数方程为 x＝ 3cos α， y＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，点 P 的极坐标为 4，π 2 ，判断点 P 与直线 l 的位置关系； (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值． 解：(1)把极坐标系下的点 P 4，π 2 化为直角坐标， 得 P(0,4)． 因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x－y＋4＝0，所以点 P 在直线 l 上． (2)因为点 Q 在曲线 C 上， 故可设点 Q 的坐标为( 3cos α，sin α)，从而点 Q 到直线 l 的距离为 d＝| 3cos α－sin α＋4| 2 ＝2cos α＋π 6 ＋4 2 ＝ 2cos α＋π 6 ＋2 2. 由此得，当 cos α＋π 6 ＝－1 时，d 取得最小值，且最小值为 2.