• 405.03 KB
  • 2021-06-30 发布

2018年重庆市江津长寿綦江等七校联考高考二诊试卷数学文

  • 17页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
2018 年重庆市江津长寿綦江等七校联考高考二诊试卷数学文 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1.设集合 A={0,1,2,3},B={x∈Z|x2-4<0},则 A∩B=( ) A.{1,2,3} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3} 解析:集合 A={0,1,2,3},B={x∈Z|x2-4<0}={x∈Z|-2<x<2}={-1,0,1},则 A∩B={0, 1}. 答案:B 2.复数 z 满足 2 1 iz i   ,则复数 z 的虚部为( ) A.-1 B.1 C.i D.-i 解析:∵   2 1 2 12 1 1 1 1 2 i i i iizi i i i           , ∴z=-1-i,则复数 z 的虚部为-1. 答案:A 3.已知命题 p:  x∈R,cosx>sinx,命题 q: x∈(0,π ),sinx+ 1 sin x >2,则下列判 断正确的是( ) A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∨(¬q)是假命题 D.命题 p∧(¬q)是真命题 解析:命题 p: x=0∈R,cosx>sinx,因此是真命题. 命题 q: x∈(0,π ),sinx+ >2,是假命题,取 x= 2  时, 1sin 2 2 sin 2  ,此 时不成立,因此是假命题.则下列判断正确的是:命题 p∧(¬q)是真命题. 答案:D 4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为 2 的正三角形,则这 个几何体的体积是( ) A.2cm2 B. 3 cm3 C.3 cm3 D.3cm3 解析:由几何体的三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,高为 3 的四棱锥, 其中直角梯形两底长分别为 1 和 2,高是 2. 故这个几何体的体积是  111 2 2 3 3 32        (cm3). 答案:B 5.执行如图所示的程序框图,输出的结果为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:模拟执行程序框图,可得 a= 3 2 ,b=1,i=1, 不满足条件 i≥3, 532 22 a b i  , , , 不满足条件 i≥3, a=4,b=1,i=3, 满足条件 i≥3, 退出循环,输出 a 的值为 4. 答案:D 6.将函数 f(x)=cos(x+ 6  )图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 倍,纵坐标不变,得到函 数 g(x)图象,则函数 g(x)的解析式为( ) A.g(x)=cos(2x+ 3  ) B.g(x)=cos(2x+ ) C.g(x)=cos( 23 x  ) D.g(x)=cos( 26 x  ) 解析:函数 y=sin(x+ )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),得到 g(x)=sin(2x+ )的函数图象. 答案:B 7.当实数 x、y 满足不等式组 0 0 22 x y xy      , , 时,恒有 ax+y≤3 成立,则实数 a 的取值范围为 ( ) A.a≤0 B.a≥0 C.0≤a≤2 D.a≤3 解析:满足约束条件 0 0 22 x y xy      , , 的平面区域如下图所示, 由于对任意的实数 x、y,不等式 ax+y≤3 恒成立, 数形结合,可得斜率-a≥0 或-a>kAB= 30 01   =-3,解得 a≤3. 答案:D 8.如图,在圆 C 中,弦 AB 的长为 4,则 AB AC =( ) A.8 B.-8 C.4 D.-4 解析:如图所示, 在圆 C 中,过点 C 作 CD⊥AB 于 D,则 D 为 AB 的中点; 在 Rt△ACD 中,AD= 1 2 AB=2, 可得 2cos ADA AC AC  , ∴ 2cos 4 8AB AC AB AC A AC AC         . 答案:A 9.远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”.如图所示的是一位母亲 记录的孩子自出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满七进一,根据图示 可知,孩子已经出生的天数是( ) A.336 B.509 C.1326 D.3603 解析:由题意满七进一,可知该图示为七进制数,化为十进制数为 1×73+3×72+2×7+5=509. 答案:B 10.已知四棱锥 S-ABCD 的所有顶点在同一球面上,底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内, 当四棱锥体积取得最大值时,其面积等于 16+16 3 ,则球 O 的体积等于( ) A. 42 3  B.16 2 3  C. 32 2 3  D. 64 2 3  解析:由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥, ∵该四棱锥的表面积等于 16+16 3 , 设球 O 的半径为 R,则 AC=2R,SO=R,如图, ∴该四棱锥的底面边长为 AB= 2 R, 则有  2 2 2122 4 2 16 16 3 22 R R R R          ,解得 R= 2 2 , ∴球 O 的体积是 34 64 2 33 R . 答案:D 11.已知 O 为坐标原点,F 为 抛 物 线 y2=2px(p>0)的焦点,若抛物线与直线 l: 330 2 pxy   在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则     2 2 O F O A O F O B   的值等于( ) A.3 B.9 C.2p2 D.4p2 解析:F 为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,则其坐标为( 2 p ,0),代入直线直线 l: 330 2 pxy   ,可得 3300 22 pp   ,∴直线 l 经过抛物线的焦点, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 2 2 330 2 y px pxy        , , 消 y 可得 3x2-5px+ 3 4 p2=0, 2 1 2 1 2 1 2 5 3 1 3 4 2 6 ppx x x x x p x p      , , , , ∵O F O A AF O F O B BF   , , ∴     2 2 2 22 3 22 9. 62 ppOF OA AF ppBFOF OB            答案:B 12.已知 f(x)=|xex|,又 g(x)=f2(x)-tf(x)(t∈R),若满足 g(x)=-1 的 x 有四个,则 t 的取 值范围是( ) A.(-∞, 2 1e e  ) B.( 2 1e e  ,+∞) C.( ,-2) D.(2, ) 解析:令 y=xex,则 y′=(1+x)ex,由 y′=0,得 x=-1, 当 x∈(-∞,-1)时,y′<0,函数 y 单调递减, 当 x∈(-1,+∞)时,y′>0,函数 y 单调递增.作出 y=xex 图象, 利用图象变换得 f(x)=|xex|图象, 令 f(x)=m,则关于 m 方程 h(m)=m2-tm+1=0, 两根分别在(0, 1 e ),( ,+∞)时, 满足 g(x)=-1 的 x 有 4 个,由 2 1 1 1 10ht e e e      < ,解得 2 1et e > . 答案:B 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a =(3,4),则与 反向的单位向量为 . 解析:设与 a 反向的单位向量为 b x a ,x<0,则 b x a ,即 1=5|x|,则|x|= 1 5 ,则 x= 1 5  ,即  1 1 3 43 4 . 5 5 5 5 ba       , , 答案: 34 55     , 14.已知圆 M:(x-2)2+(y-1)2=5,则过点 O(0,0)的圆 M 的切线方程为 . 解析:如图, 圆 M 的圆心 M(2,1),kOM= 1 2 ,∴过 O 的圆 M 的切线的斜率为-2, ∴过点 O(0,0)的圆 M 的切线方程为 y=-2x. 答案:y=-2x 15.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n-1+k,则 f(x)=x3-kx2-2x+1 的极大值 . 解析:根据 Sn=2n-1+k,得到 a1=k,Sn-1=2n-2+k, ∴an=Sn-Sn-1=(2n-1+k)-(2n-2+k)=2n-1-2n-2=2n-2(2-1)=2n-2,n≥2, 再根据{an}是等比数列,所以{an}是以 1 2 为首项,2 为公比的等比数列,则 k 的值为 1 2  , f(x)=x3+ x2-2x+1, f′(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1), 令 f′(x)>0,解得:x> 2 3 或 x<-1, 令 f′(x)<0,解得:-1<x< , 故 f(x)在(-∞,-1)递增,在(-1, 2 3 )递减,在( +∞)递增, 故 f(x)的极大值是 f(-1)= 5 2 . 答案: 16.以下四个命题中,正确命题是 . (1)命题“若 f(x)是周期函数,则 f(x)是三角函数”的否命题是“若 f(x)是周期函数,则 f(x)不是三角函数”; (2)命题“存在 x∈R,x2-x>0”的否定是“对于任意 x∈R,x2-x<0”; (3)在△ABC 中,“sinA>sinB”是“A>B”成立的充要条件; (4)若函数 f(x)在(2015,2017)上有零点,则一定有 f(2015)·f(2017)<0; (5)函数 y=lnx 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直. 解析:对于(1),命题“若 f(x)是周期函数,则 f(x)是三角函数”的否命题是 “若 f(x)不是周期函数,则 f(x)不是三角函数”;,∴(1)错误; 对于(2),命题“存在 x∈R,x2-x>0”的否定是 “对于任意 x∈R,x2-x≤0”,∴(2)错误; 对于(3),△ABC 中,“sinA>sinB”·“ 2RsinA>2RsinB”  “a>b” “A>B”; ∴“sinA>sinB”是“A>B”成立的充要条件,(3)正确; 对于(4),函数 f(x)在(2015,2017)上有零点,不一定有 f(2015)·f(2017)<0; 如二次函数的最低点 f(2016)=0,此时 f(2015)·f(2017)>0,∴(4)错误; 对于(5),函数 y=lnx,y′= 1 x >0 恒成立, ∴函数 y=lnx 的导函数上不存在两点,使这两点的导函数值乘积为-1, 即函数 y 的图象不存在这两点处的切线互相垂直,(5)错误. 综上,正确的命题是(3). 答案:(3) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,且 tanA,tanB 是关于 x 的方程 x2+(1+p)x+p+2=0 的两个实根,c=4. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求△ABC 面积的取值范围. 解析:(Ⅰ)利用韦达定理以及两角和的正切函数,转化求解角 C 的大小; (Ⅱ)利用已知条件,结合余弦定理三角形的面积,通过基本不等式求解三角形的面积的最值 即可. 答案:(Ⅰ)由题意得 tanA+tanB=-1-p,tanA.tanB=P+2, 所以     tan tan 1tan 1 1 tan ?tan 1 2 A B pAB A B p          , 又因为在△ABC 中,所以 3 44 A B C  , . (Ⅱ)由(Ⅰ)及 c=4,c2=a2+b2-2abcosC, 可得 2 2 2 242 2 a b ab         ,所以 2216 2a b ab   , 所以 16- 2 ab=a2+b2≥2ab,得 16 22 ab   ,当且仅当 a=b 时取等号, 所以△ABC 的面积 1 1 2 1 16 2sin 4 2 4 2 2 2 2 222 S ab C ab          , 所以△ABC 面积的取值范围为(0,4 2 -4]. 18. 为了了解湖南各景点在大众中的熟知度,随机对 15~65 岁的人群抽样了 n 人,回答问 题“湖南省有哪几个著名的旅游景点?”统计结果如下图表. (Ⅰ)分别求出 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽 取多少人? (Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率. 解析:(I)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组的频数为 25,再结合频率分布直方图求得 n, a,b,x,y 的值; (II)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人,抽取比例为 6 54 ,根据抽取比例计算第 2, 3,4 组每组应抽取的人数; (III)列出从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果,共 15 基本事件,其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件,利用古典概型概率公式计算. 答案:(Ⅰ)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为 9 25 0.36  , 再结合频率分布直方图可知 n= 25 100 0.025 10   , ∴a=100×0.01×10×0.5=5,b=100×0.03×10×0.9=27, 18 30.9 0.2 20 15 xy   , ; (Ⅱ)因为第 2,3,4 组回答正确的人数共有 54 人, ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为:第 2 组: 18 54 ×6=2 人;第 3 组: 27 54 ×6=3 人;第 4 组: 9 54 ×6=1 人. (Ⅲ)设第 2 组 2 人为:A1,A2;第 3 组 3 人为:B1,B2,B3;第 4 组 1 人为:C1. 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A1,C1),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B2,B3), (B2,C1),(B3,C1)共 15 个基本事件,其中恰好没有第 3 组人共 3 个基本事件, ∴所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率是: 31 15 5 P . 19.如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形,AD⊥DC,DC∥AB, PA=AB=2,AD=DC=1. (1)求证:PC⊥BC; (2)E 为 PB 中点,F 为 BC 中点,求四棱锥 D-EFCP 的体积. 解析:(1)如图所示,利用线面垂直的性质定理可得:PA⊥BC,由 AB2=AC2+BC2,可得 BC⊥AC, 再利用线面垂直的判定定理即可证明. (2)由于 S 四边形 PEFC= 3 4 S△PBC,可得 3 3 3 1 4 4 4 3D PEFC D PBC P BCD BCDV V V PA S       ,即可得 出. 答案:(1)如图所示, ∵PA⊥平面 ABCD,BC  平面 ABCD,∴PA⊥BC, 连接 AC,∵AD=CD,AD⊥CD,∴AC= 2 , 由余弦定理可得:BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos45°= , ∴BC=2,又 AB=2,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC, ∴BC⊥平面 PAC,又 PC  平面 PAC,∴PC⊥BC. (2)S 四边形 PEFC= 3 4 S△PBC, ∴ 23 3 3 1 1 1 121 4 4 4 3 4 2 4D PEFC D PBC P BCD BCDV V V PA S            . 20.已知椭圆 C: 22 221xy ab (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,离心率为 1 2 ,点 A 在椭 圆 C 上,|AF1|=2,∠F1AF2=60°,过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P,Q 的中点为 N,在线段 OF2 上是否存在点 M(m,0),使得 MN⊥PQ?若存在,求实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 解析:(Ⅰ)利用离心率以及椭圆的定义,结合余弦定理,求解椭圆 C 的方程. (Ⅱ)存在这样的点 M 符合题意.设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),设直线PQ 的方程为 y=k(x-1), 邻里中心与椭圆方程,利用韦达定理求出 2 12 0 2 4 2 4 3 xx kx k   ,通过点 N 在直线 PQ 上, 求出 N 的坐标,利用 MN⊥PQ,转化求解 m 的范围. 答案:(Ⅰ)由 e= 1 2 得 a=2c,|AF1|=2,|AF2|=2a-2, 由余弦定理得,|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|cosA=|F1F2|2, 解得 c=1,a=2,b2=a2-c2=3, 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy. (Ⅱ)存在这样的点 M 符合题意. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), 由 F2(1,0),设直线 PQ 的方程为 y=k(x-1), 由   22 1 43 1 xy y k x      , , 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0, 由韦达定理得 2 12 2 8 43 kxx k   ,故 2 12 0 2 4 2 4 3 xx kx k   , 又点 N 在直线 PQ 上,y0= 2 3 43 k k   ,所以 N( 22 22 84 4 3 4 3 kk kk , ). 因为 MN⊥PQ,所以 2 2 2 30 143 4 43 MN k kk k km k       , 整理得 2 2 2 11034 3 44 ()km k k      , , 所以存在实数 m,且 m 的取值范围为(0, 1 4 ). 21.已知函数 f(x)=lnx-x+1,函数 g(x)=ax·ex-4x,其中 a 为大于零的常数. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)求证:g(x)-2f(x)≥2(lna-ln2). 解析:(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (Ⅱ)令 h(x)=g(x)-2f(x)-2(lna-ln2),根据函数的单调性证明即可. 答案:(Ⅰ)f′(x)=1x-1=1 x x  , x∈(0,1)时,f′(x)>0,y=f(x)单增; x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,y=f(x)单减. (Ⅱ)证明:令 h(x)=axex-4x-2lnx+2x-2=axex-2x-2lnx-2(a>0,x>0), h′(x)=    212 1 2x x x xa e xe ae x xx       , 故 h′(x)=(x+1)(aex- 2 x ), 令 h′(x)=0,即 0 0 2xae x  , 两边求对数得:lna+x0=ln2-lnx0,即 lnx0+x0=ln2-lna, ∴    0 m in 0 0 0 0 0 02 2 ln 2 2 2 ln 2 ln 2 lnxh h x ax e x x x x a           , ∴h(x)≥2lna-2ln2. 22.平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C:x2+y2-2x=0.直线 l 经过点 P(m,0),且倾斜角为 6  .以 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐系. (Ⅰ)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程; (Ⅱ) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|PA|·|PB|=1,求实数 m 的值. 解析:(Ⅰ)曲线 C 转化为:(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x,由此能求出曲线 C 的极坐标方程;由 直线 l 经过点 P(m,0),且倾斜角为 .能求出直线 l 的参数方程. (Ⅱ)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,将直线的参数方程代入 x2+y2=2x 中,得 t2+( 33m  )t+m2-2m=0,由此利用|PA|·|PB|=1,能求出实数 m 的值. 答案:(Ⅰ)∵曲线 C:x2+y2-2x=0. ∴曲线 C 的普通方程为:(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x,∴ρ 2=2ρ cosθ , ∴曲线 C 的极坐标方程为ρ =2cosθ ; ∵直线 l 经过点 P(m,0),且倾斜角为 . ∴直线 l 的参数方程为 3 2 1 2 x m t yt      , (t 为参数). (Ⅱ)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 将直线的参数方程代入 x2+y2=2x 中,得 t2+( )t+m2-2m=0,∴t1t2=m2-2m, ∵|PA|·|PB|=1,∴由题意得,得|m2-2m|=1,解得 m=1,1+ 2 或 1- . 23.已知函数 f(x)=|x-3|+|2x-2|,g(x)=|x-a|+|x+a|. (Ⅰ)解不等式 f(x)>10; (Ⅱ)若对于任意的 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2),试求实数 a 的取值范围. 解析:(Ⅰ)通过当 x<1 时,当 1≤x≤3 时,当 x>3 时,分别求解不等式,推出结果即可. (Ⅱ)由(Ⅰ)知   3 5 1 1 1 3 3 5 3 xx f x x x xx        , < , , , , > , 借助函数 f(x)的图象求解函数的最值推出结果. 答案:(Ⅰ)当 x<1 时,f(x)=3-x-(2x-2)=-3x+5,由-3x+5>10,解得 55 33 xx  < , < ;当 1≤x≤3 时,f(x)=3-x+(2x-2)=x+1,由 x+1>10,解得 x>9,∴无解; 当 x>3 时,f(x)=x-3+2x-2=3x-5,由 3x-5>10,解得 x>5, ∴x>5.所以不等式的解集为{x|x>5 或 x< 5 3  }. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 根据函数 f(x)的图象可知, 当 x=1 时,f(x)取得最小值,且 f(x)min=f(1)=2. 函数 g(x)=|x-a|+|x+a|≥|x-a-(x+a)|=2|a|,所以 g(x)min=2|a|, 因为对于任意的 x1∈R,都有 x2∈R,使得 f(x1)=g(x2), 所以 2≥2|a|,解得-1≤a≤1,故实数 a 的取值范围为[-1,1].