高中数学必修1教案第二章 2_1_2 第1课时指数函数及其性质 9页

‎2．1.2　指数函数及其性质 第1课时　指数函数的图象及性质 ‎[学习目标]　1.理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步掌握指数函数的有关性质．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．ar·as＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝ar·br.‎ 其中a＞0，b＞0，r，s∈R.‎ ‎2．在初中，我们知道有些细胞是这样分裂的：由1个分裂成2个，2个分裂成4个，….1个这样的细胞分裂x次后，第x次得到的细胞个数y与x之间构成的函数关系为y＝2x，x∈{0,1,2，…}．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.‎ ‎2．指数函数的图象与性质 a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 图象 性质 定义域R，值域(0，＋∞)‎ 图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1‎ 当x＞0时，y＞1；‎ 当x＜0时，0＜y＜1‎ 当x＞0时，0＜y＜1；‎ 当x＜0时，y＞1‎ 在R上是增函数 在R上是减函数 要点一　指数函数的概念 例1　给出下列函数：‎ ‎①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ 答案　B 解析　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．‎ 规律方法　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.‎ ‎2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．‎ 跟踪演练1　若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　{a|a＜，且a≠1}‎ 解析　y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：‎ 解得a＜且a≠1.‎ 故a的取值范围为{a|a＜，且a≠1}．‎ 要点二　指数函数的图象 例2　如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　)‎ A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 答案　B 解析　方法一　在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．‎ 由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.‎ ‎∴b＜a＜1＜d＜c.‎ 方法二　作直线x＝1，与四个图象分别交于A、B、C、D四点，由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d ‎＜c.故选B.‎ 规律方法　1.无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．‎ ‎2．处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响．‎ 跟踪演练2　(1)函数y＝|2x－2|的图象是(　　)‎ ‎(2)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．‎ 答案　(1)B　(2)0＜a＜ 解析　(1)y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分对折到x轴的上方得到的．‎ ‎(2)当a＞1时，在同一坐标系中作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(1))．由图象可知两函数图象只能有一个公共点，此时无解．当0＜a＜1，作出函数y＝2a和y＝|ax－1|的图象(如图(2))．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个交点，由图象可知0＜2a＜1，所以0＜a＜.‎ 要点三　指数型函数的定义域、值域 例3　求下列函数的定义域和值域：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.‎ 解　(1)由x－4≠0，得x≠4，‎ 故y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠4}．‎ 又≠0，即≠1，‎ 故y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}．‎ ‎(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，‎ ‎∴y＝的定义域为(－∞，0]．‎ 由0＜2x≤1，得－1≤－2x＜0，∴0≤1－2x＜1，‎ ‎∴y＝的值域为[0,1)．‎ ‎(3)y＝的定义域为R.‎ ‎∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，‎ ‎∴≤－4＝16.‎ 又∵＞0，‎ 故函数y＝的值域为(0,16]．‎ 规律方法　对于y＝af(x)(a＞0，且a≠1)这类函数，‎ ‎(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围；‎ ‎(2)值域问题，应分以下两步求解：‎ ‎①由定义域求出u＝f(x)的值域；‎ ‎②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．‎ 跟踪演练3　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)‎ A．(－3,0] B．(－3,1]‎ C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1]‎ ‎(2)函数f(x)＝x－1，x∈[－1,2]的值域为________．‎ 答案　(1)A　(2)[－，2]‎ 解析　(1)由题意，自变量x应满足 解得∴－3＜x≤0.‎ ‎(2)∵－1≤x≤2，∴≤x≤3，∴－≤x－1≤2，∴值域为.‎ ‎1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)‎ A．y＝(－3)x B．y＝－3x C．y＝3x－1 D．y＝x 答案　D 解析　由指数函数的定义知a＞0且a≠1，故选D.‎ ‎2．y＝x的图象可能是(　　)‎ 答案　C 解析　0＜＜1且过点(0,1)，故选C.‎ ‎3．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．[2，＋∞)‎ C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)‎ 答案　B 解析　y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.‎ ‎4．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．‎ 答案　 解析　由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝.‎ ‎5．函数y＝x2－1的值域是________．‎ 答案　(0,2]‎ 解析　∵x2－1≥－1，‎ ‎∴y＝≤－1＝2，又y＞0，‎ ‎∴函数值域为(0,2]．‎ ‎1.指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1.‎ ‎2．当a＞1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快．当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快．‎ 一、基础达标 ‎1．y＝2x－1的定义域是(　　)‎ A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．[1，＋∞) D．(0,1)∪(1，＋∞)‎ 答案　A 解析　不管x取何值，函数式都有意义，故选A.‎ ‎2．已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N 等于(　　)‎ A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0}‎ 答案　B 解析　∵＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，‎ ‎∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.‎ 又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，‎ ‎∴M∩N＝{－1}．‎ ‎3．函数y＝2x＋1的图象是(　　)‎ 答案　A 解析　当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.‎ ‎4．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是(　　)‎ A．(－，8] B．[－，8]‎ C．(，9) D．[，9]‎ 答案　A 解析　y＝3－x－1，x∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－＜y≤8.‎ ‎5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．‎ 答案　1＜a＜2‎ 解析　由题意可知，0＜2－a＜1，即1＜a＜2.‎ ‎6．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．‎ 答案　(5,2)‎ 解析　指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a＞0且a≠1.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．‎ 解　(1)∵f(x)的图象过点(2，)，‎ ‎∴a2－1＝，则a＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝()x－1，x≥0.‎ 由x≥0，得x－1≥－1，‎ 于是0＜()x－1≤()－1＝2，‎ 所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．‎ 二、能力提升 ‎8．函数y＝5－|x|的图象是(　　)‎ 答案　D 解析　当x＞0时，y＝5－|x|＝5－x＝()x，又原函数为偶函数，故选D.‎ ‎9．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ 答案　A 解析　依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，‎ ‎∵2x＞0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，‎ ‎∴选A.‎ ‎10．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是____________．‎ 答案　{a|a≥1，或a＝0}‎ 解析　作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.‎ ‎11．求函数y＝()x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域．‎ 解　令t＝x2－2x＋2，则y＝()t，‎ 又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，‎ ‎∵0≤x≤3，‎ ‎∴当x＝1时，tmin＝1，当x＝3时，tmax＝5.‎ 故1≤t≤5，∴()5≤y≤()1，‎ 故所求函数的值域[，]．‎ 三、探究与创新 ‎12．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．‎ 解　①若a＞1，则f(x)是增函数，‎ ‎∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)．‎ ‎∴f(2)－f(1)＝，即a2－a＝.‎ 解得a＝.‎ ‎②若0＜a＜1，则f(x)是减函数，‎ ‎∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，‎ ‎∴f(1)－f(2)＝，即a－a2＝，‎ 解得a＝ 综上所述，a＝或a＝.‎ ‎13．设0≤x≤2，y＝4－3·2x＋5，试求该函数的最值．‎ 解　令t＝2x,0≤x≤2，‎ ‎∴1≤t≤4.‎ 则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.‎ 又y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，‎ ‎∴y＝(t－3)2＋，t∈[1,3]上是减函数；t∈[3,4]上是增函数，‎ ‎∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.‎ 故函数的最大值为，最小值为.‎