2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十六） 11页

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十六）‎ ‎17．（10分）的内角的对边分别为．‎ ‎（1）若，求面积的最大值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1）面积的最大值为；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得，结合均值不等式得：，又，从而面积的最大值可得；（2）由正弦定理得，从而，又，故可求得的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由余弦定理得，即，所以，‎ 因为，所以，即（当且仅当时，等号成立），‎ 所以，故面积的最大值为．‎ ‎（2）由正弦定理得，，所以，‎ 所以，又因为，所以，所以，故为锐角，‎ 所以，‎ 所以 ‎ ．‎ ‎18．（12分）已知正项数列的前项和为，满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列，求数列前项和的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由推得，即，其中，故而得到数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，即，解得，‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①－②：，所以，‎ 即，‎ 因为是正项数列，所以，即，其中，‎ 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以 ‎，‎ 所以 ‎．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，‎ ‎，为等边三角形，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为．‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角的余弦值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图取的中点，连接，依题意且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以．因为是中点，‎ 所以，故，‎ 所以为等边三角形，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以平行四边形为菱形，‎ 所以，所以，即，‎ 又已知，所以平面，‎ 平面，所以平面平面．‎ ‎（2）由（1）知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标．‎ 设，则，，‎ 所以，‎ 所以．‎ 设平面的法向量，则，‎ 令，则，所以．‎ 同理可得平面的法向量，所以，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎20．（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12．‎ ‎（1）求该校报考飞行员的总人数；‎ ‎（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）随机变量的分布列为：‎ ‎．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件可得：，‎ ‎，；（2）由题意知服从二项分布，‎ ‎，从而得到分布列及期望．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：，‎ 解得，‎ 又因为，所以．‎ ‎（2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为：‎ ‎，‎ 由题意知服从二项分布，，‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎．‎ ‎21．（12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为，的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为，‎ ‎，从而得到的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题，所以（为定值），‎ ‎，，‎ 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，‎ 所以点轨迹的方程是．‎ ‎（2）①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；‎ ‎②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，‎ 直线与间的距离为，‎ 同理直线与间的距离为，‎ 所以 ‎，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，‎ 所以 ‎，‎ ‎（当且仅当时，不等式取等号），‎ 所以，即，‎ 由①②可知，．‎ ‎22．（12分）已知函数．‎ ‎（1）研究函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递增；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式在上恒成立．在上恒成立，转求的最小值即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）易知函数的定义域为，‎ ‎，设，则，‎ 当时，，当时，，所以，‎ 故，所以在上单调递增．‎ ‎（2）依题在上恒成立，‎ 设，则在上恒成立，‎ ‎，，‎ 欲使在上恒成立，则，得，‎ 反之，当时，，‎ 设，则，‎ 设，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以，所以在上单调递增，所以，‎ 故，所以在上单调递增，‎ 又，所以在上恒成立，‎ 综上所述，在上恒成立，‎ 所以的取值范围是．‎