高科数学专题复习课件：第十四章 14_2 第1课时不等式选讲 47页

§14.2 　 不等式选讲 第 1 课时　绝对值不等式 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 含绝对值的不等式 | x |< a 与 | x |> a 的解集： 1. 绝对值不等式的解法 知识梳理 不等式 a >0 a ＝ 0 a <0 | x |< a ____________ ∅ ∅ | x |> a ( － ∞ ，－ a ) ∪ ( a ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) R ( － a ， a ) (2)| ax ＋ b | ≤ c ( c >0) 和 | ax ＋ b | ≥ c ( c >0) 型不等式的解法： ① | ax ＋ b | ≤ c ⇔ ； ② | ax ＋ b | ≥ c ⇔ ； (3)| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c >0) 和 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c >0) 型不等式的解法： ① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想； ③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 . － c ≤ ax ＋ b ≤ c ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c 2. 含有绝对值的不等式的性质 (1) 如果 a ， b 是实数， 则 ≤ | a ± b | ≤ ，当且仅当 时 ，等号成立 . (2) 如果 a ， b ， c 是实数， 那么 ，当且仅当 时 ，等号成立 . | a | － | b | | a | ＋ | b | ab ≥ 0 | a － c | ≤ | a － b | ＋ | b － c | ( a － b )( b － c ) ≥ 0 1.(2015· 山东改编 ) 解不等式 | x － 1| － | x － 5|<2 的解集 . 考点自测 解答 ① 当 x ≤ 1 时，原不等式可化为 1 － x － (5 － x )<2 ， ∴ － 4<2 ，不等式恒成立， ∴ x ≤ 1. ② 当 1< x <5 时，原不等式可化为 x － 1 － (5 － x )<2 ， ∴ x <4 ， ∴ 1< x <4 ， ③ 当 x ≥ 5 时，原不等式可化为 x － 1 － ( x － 5)<2 ，该不等式不成立 . 综上，原不等式的解集为 ( － ∞ ， 4). 解答 2. 若存在实数 x 使 | x － a | ＋ | x － 1| ≤ 3 成立，求实数 a 的取值范围 . ∵ | x － a | ＋ | x － 1| ≥ |( x － a ) － ( x － 1)| ＝ | a － 1| ， 要使 | x － a | ＋ | x － 1| ≤ 3 有解， 可使 | a － 1| ≤ 3 ， ∴ － 3 ≤ a － 1 ≤ 3 ， ∴ － 2 ≤ a ≤ 4. 3. 若不等式 |2 x － 1| ＋ | x ＋ 2| ≥ a 2 ＋ a ＋ 2 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解答 设 y ＝ |2 x － 1| ＋ | x ＋ 2| 当 x < － 2 时， y ＝－ 3 x － 1>5 ； 题型分类　深度剖析 题型一　绝对值不等式的解法 例 1 　 (2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － 2| x － a | ， a >0. (1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x )>1 的解集； 解答 当 a ＝ 1 时， f ( x )>1 化为 | x ＋ 1| － 2| x － 1| － 1>0. 当 x ≤ － 1 时，不等式化为 x － 4>0 ，无解； 当 x ≥ 1 时，不等式化为－ x ＋ 2>0 ，解得 1 ≤ x <2. (2) 若 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ，求 a 的取值范围 . 解答 所以 a 的取值范围为 (2 ，＋ ∞ ). 思维 升华 解绝对值不等式的基本方法有： (1) 利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通 不等式 . ( 2) 当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通 不等式 . ( 3) 利用绝对值的几何意义，数形结合求解 . 跟踪训练 1 　 (1) 解不等式 | x － 1| ＋ | x ＋ 2| ≥ 5 的解集 . 解答 当 x < － 2 时，不等式等价于－ ( x － 1) － ( x ＋ 2) ≥ 5 ，解得 x ≤ － 3 ； 当－ 2 ≤ x <1 时，不等式等价于－ ( x － 1) ＋ ( x ＋ 2) ≥ 5 ，即 3 ≥ 5 ，无解； 当 x ≥ 1 时，不等式等价于 x － 1 ＋ x ＋ 2 ≥ 5 ，解得 x ≥ 2. 综上，不等式的解集为 { x | x ≤ － 3 或 x ≥ 2}. ∵ | ax － 2|<3 ， ∴ － 1< ax <5. 解答 当 a ＝ 0 时， x ∈ R ，与已知条件不符； 题型二　利用绝对值不等式求最值 例 2 　 (1) 对任意 x ， y ∈ R ，求 | x － 1| ＋ | x | ＋ | y － 1| ＋ | y ＋ 1| 的最小值 . 解答 ∵ x ， y ∈ R ， ∴ | x － 1| ＋ | x | ≥ |( x － 1) － x | ＝ 1 ， | y － 1| ＋ | y ＋ 1| ≥ |( y － 1) － ( y ＋ 1)| ＝ 2 ， ∴ | x － 1| ＋ | x | ＋ | y － 1| ＋ | y ＋ 1| ≥ 1 ＋ 2 ＝ 3. ∴ | x － 1| ＋ | x | ＋ | y － 1| ＋ | y ＋ 1| 的最小值为 3. (2) 对于实数 x ， y ，若 | x － 1| ≤ 1 ， | y － 2| ≤ 1 ，求 | x － 2 y ＋ 1| 的最大值 . 解答 | x － 2 y ＋ 1| ＝ |( x － 1) － 2( y － 1)| ≤ | x － 1| ＋ |2( y － 2) ＋ 2| ≤ 1 ＋ 2| y － 2| ＋ 2 ≤ 5 ，即 | x － 2 y ＋ 1| 的最大值为 5. 思维 升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 ： ( 1) 利用绝对值的几何意义 ； ( 2) 利用绝对值三角不等式，即 | a | ＋ | b | ≥ | a ± b | ≥ | a | － | b | ； ( 3) 利用零点分区间法 . 跟踪训练 2 　 (1)(2016· 深圳模拟 ) 若关于 x 的不等式 |2 014 － x | ＋ |2 015 － x | ≤ d 有解，求 d 的取值范围 . ∵ |2 014 － x | ＋ |2 015 － x | ≥ |2 014 － x － 2 015 ＋ x | ＝ 1 ， ∴ 关于 x 的不等式 |2 014 － x | ＋ |2 015 － x | ≤ d 有解时， d ≥ 1. 解答 又 ∵ sin y 的最大值为 1 ， 有 | a － 2| ≤ 1 ，解得 a ∈ [ 1,3 ]. 解答 题型三　绝对值不等式的综合应用 例 3 　 ( 2017· 石家庄 调研 ) 设函数 f ( x ) ＝ | x － 3| － | x ＋ 1| ， x ∈ R . (1) 解不等式 f ( x )< － 1 ； 解答 ∵ 函数 f ( x ) ＝ | x － 3| － | x ＋ 1| (2) 设函数 g ( x ) ＝ | x ＋ a | － 4 ，且 g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ － 2,2 ] 上恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解答 函数 g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ － 2,2 ] 上恒成立， 即 | x ＋ a | － 4 ≤ | x － 3| － | x ＋ 1| 在 x ∈ [ － 2,2 ] 上恒成立 ， 在 同一个坐标系中画出函数 f ( x ) 和 g ( x ) 的图象 ， 如 图所示 . 故当 x ∈ [ － 2,2 ] 时，若 0 ≤ － a ≤ 4 时 ， 则 函数 g ( x ) 在函数 f ( x ) 的图象的下方 ， g ( x ) ≤ f ( x ) 在 x ∈ [ － 2,2 ] 上恒成立， 求得－ 4 ≤ a ≤ 0 ，故所求的实数 a 的取值范围为 [ － 4,0 ]. 思维 升华 (1) 解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决 . ( 2) 数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法 . 跟踪训练 3 　 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ a | ＋ | x － 2|. 解答 (1) 当 a ＝－ 3 时，求不等式 f ( x ) ≥ 3 的解集； 当 x ≤ 2 时，由 f ( x ) ≥ 3 得－ 2 x ＋ 5 ≥ 3 ，解得 x ≤ 1 ； 当 2< x <3 时， f ( x ) ≥ 3 无解； 当 x ≥ 3 时，由 f ( x ) ≥ 3 得 2 x － 5 ≥ 3 ，解得 x ≥ 4. 所以 f ( x ) ≥ 3 的解集为 { x | x ≤ 1 或 x ≥ 4}. (2) 若 f ( x ) ≤ | x － 4| 的解集包含 [1,2] ，求 a 的取值范围 . 解答 f ( x ) ≤ | x － 4| ⇔ | x － 4| － | x － 2| ≥ | x ＋ a |. 当 x ∈ [ 1,2 ] 时， | x － 4| － | x － 2| ≥ | x ＋ a | ⇔ 4 － x － (2 － x ) ≥ | x ＋ a | ⇔ － 2 － a ≤ x ≤ 2 － a . 由条件得－ 2 － a ≤ 1 且 2 － a ≥ 2 ，即－ 3 ≤ a ≤ 0. 故满足条件的 a 的取值范围为 [ － 3,0 ] . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 在实数范围内，求不等式 || x － 2| － 1| ≤ 1 的解集 . 解答 由 || x － 2| － 1| ≤ 1 得－ 1 ≤ | x － 2| － 1 ≤ 1 ， ∴ 不等式的解集为 [ 0,4 ]. 2. 不等式 log 3 (| x － 4| ＋ | x ＋ 5|)> a 对于一切 x ∈ R 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解答 由绝对值的几何意义知： | x － 4| ＋ | x ＋ 5| ≥ 9 ，则 log 3 (| x － 4| ＋ | x ＋ 5|) ≥ 2 ，所以要使不等式 log 3 (| x － 4| ＋ | x ＋ 5|)> a 对于一切 x ∈ R 恒成立，则需 a <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 对于任意实数 a ， b ，已知 | a － b | ≤ 1 ， |2 a － 1| ≤ 1 ，且恒有 |4 a － 3 b ＋ 2| ≤ m ，求实数 m 的取值范围 . 解答 因为 | a － b | ≤ 1 ， |2 a － 1| ≤ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 |4 a － 3 b ＋ 2| 的最大值为 6 ， 所以 m ≥ |4 a － 3 b ＋ 2| max ＝ 6. 由题意，可得不等式 | x － 3| ＋ | x － 7| － m >0 恒成立 ， 即 (| x － 3| ＋ | x － 7|) min > m ， 由于 x 轴上的点到点 (3,0) 和点 (7,0) 的距离之和的最小值为 4 ， 所以 要使不等式恒成立，则 m <4. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 已知 f ( x ) ＝ | x － 3| ， g ( x ) ＝－ | x － 7| ＋ m ，若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x ) 图象的上方，求 m 的取值范围 . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 即 |2 x ＋ y － 4| ＜ a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知关于 x 的不等式 |2 x － m | ≤ 1 的整数解有且仅有一个值为 2 ，求关于 x 的不等式 | x － 1| ＋ | x － 3| ≥ m 的解集 . 解答 ∵ 不等式的整数解为 2 ， 再由不等式仅有一个整数解 2 ， ∴ m ＝ 4. 本题即解不等式 | x － 1| ＋ | x － 3| ≥ 4 ， 当 x <1 时，不等式等价于 1 － x ＋ 3 － x ≥ 4 ， 解得 x ≤ 0 ，不等式解集为 { x | x ≤ 0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当 1 ≤ x ≤ 3 时，不等式等价于 x － 1 ＋ 3 － x ≥ 4 ， 当 x >3 时，不等式等价于 x － 1 ＋ x － 3 ≥ 4 ， 解得 x ≥ 4 ，不等式解集为 { x | x ≥ 4}. 综上，原不等式解集为 ( － ∞ ， 0] ∪ [4 ，＋ ∞ ). 解得 x ∈ ∅ ，不等式解集为 ∅ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － |2 x － 3|. (1) 在图中画出 y ＝ f ( x ) 的图象； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y ＝ f ( x ) 的图象如图所示 . (2) 求不等式 | f ( x )|>1 的解集 . 解答 由 f ( x ) 的表达式及图象，当 f ( x ) ＝ 1 时，可得 x ＝ 1 或 x ＝ 3 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 3| － | x － 2|. (1) 求不等式 f ( x ) ≥ 3 的解集； f ( x ) ＝ | x ＋ 3| － | x － 2| ≥ 3 ， 当 x ≥ 2 时，有 x ＋ 3 － ( x － 2) ≥ 3 ，解得 x ≥ 2 ； 当 x ≤ － 3 时，－ x － 3 ＋ ( x － 2) ≥ 3 ，解得 x ∈ ∅ ； 当－ 3< x <2 时，有 2 x ＋ 1 ≥ 3 ，解得 1 ≤ x <2. 综上， f ( x ) ≥ 3 的解集为 { x | x ≥ 1}. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2) 若 f ( x ) ≥ | a － 4| 有解，求 a 的取值范围 . 由绝对值不等式的性质可得， || x ＋ 3| － | x － 2|| ≤ |( x ＋ 3) － ( x － 2)| ＝ 5 ， 则有－ 5 ≤ | x ＋ 3| － | x － 2| ≤ 5. 若 f ( x ) ≥ | a － 4| 有解，则 | a － 4| ≤ 5 ， 解得－ 1 ≤ a ≤ 9. 所以 a 的取值范围是 [ － 1,9 ]. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9.(2016· 全国丙卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a . (1) 当 a ＝ 2 时，求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集； 当 a ＝ 2 时， f ( x ) ＝ |2 x － 2| ＋ 2. 解不等式 |2 x － 2| ＋ 2 ≤ 6 得－ 1 ≤ x ≤ 3. 因此 f ( x ) ≤ 6 的解集为 { x | － 1 ≤ x ≤ 3}. 解答 (2) 设函数 g ( x ) ＝ |2 x － 1|. 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 ，求 a 的取值范围 . 当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ＝ |2 x － a | ＋ a ＋ |1 － 2 x | ≥ |2 x － a ＋ 1 － 2 x | ＋ a ＝ |1 － a | ＋ a ， 所以当 x ∈ R 时， f ( x ) ＋ g ( x ) ≥ 3 等价于 |1 － a | ＋ a ≥ 3 . ① 当 a ≤ 1 时， ① 等价于 1 － a ＋ a ≥ 3 ，无解 . 当 a ＞ 1 时， ① 等价于 a － 1 ＋ a ≥ 3 ，解得 a ≥ 2. 所以 a 的取值范围是 [2 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| ＋ |2 x ＋ a | ， g ( x ) ＝ x ＋ 3. (1) 当 a ＝－ 2 时，求不等式 f ( x )< g ( x ) 的解集； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当 a ＝－ 2 时，不等式 f ( x )< g ( x ) 化为 |2 x － 1| ＋ |2 x － 2| － x － 3<0. 设函数 y ＝ |2 x － 1| ＋ |2 x － 2| － x － 3 ， 其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x ∈ (0,2) 时， y <0 ， ∴ 原不等式的解集是 { x |0< x <2}. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10