新课标高一数学同步测试3(必修2-14套) 6页

新课标高一数学同步测试（3）—1.1 空间几何体 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共 150 分. 第Ⅰ卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分）． 1．过正三棱柱底面一边的截面是 （ ） A．三角形 B．三角形或梯形 C．不是梯形的四边形 D．梯形 2．若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 （ ） A． 2 1 B．1 C．2 D．3 4．将一个边长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ） A． 26a B．12a2 C．18a2 D．24a2 5．直三棱柱各侧棱和底面边长均为 a，点 D 是 CC′上任意一点，连结 A′B，BD，A′D， AD，则三棱锥 A—A′BD 的体积 （ ） A． 3 6 1 a B． 3 6 3 a C． 3 12 3 a D． 3 12 1 a 6．两个球体积之和为 12π，且这两个球大圆周长之和为 6π，那么这两球半径之差是（ ） A． B．1 C．2 D．3 7．一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体积之比（ ） A．2：3：5 B．2：3：4 C．3：5：8 D．4：6：9 8．直径为 10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为 2cm 的削球，如果不计损耗，可 铸成这样的小球的个数为 （ ） A．5 B．15 C．25 D．125 9．与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为 （ ） A． 2  B． 6  C． 4  D． 3  10．中心角为 135°的扇形，其面积为 B，其围成的圆锥的全面积为 A，则 A：B 为（ ） A．11：8 B．3：8 C．8：3 D．13：8 第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分） 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）． 11．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 Q Q1 2， ，直平行六面体的侧面积 为_____________． 12．正六棱锥的高为 4cm，最长的对角线为 34 cm，则它的侧面积为_________． 13．球的表面积扩大为原来的 4 倍，则它的体积扩大为原来的___________倍． 14．已知正三棱锥的侧面积为 18 3 cm 2 ,高为 3cm. 求它的体积 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)． 15．（ 12 分） ①轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱． 已知：等边圆柱的底面半径为 r，求：全面积； ②轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥. 已知：等边圆锥底面半径为 r，求：全面积． 16．（ 12 分）四边形 ABCD A B C D， ， ， ，( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 10 2 1 0 3 ，绕 y 轴旋转一周，求所得 旋转体的体积． 17．（ 12 分）如图，圆锥形封闭容器，高为 h，圆锥内水面高为h h h 1 1 3 ，  ,若将圆锥倒置后， 圆锥内水面高为h h2 2，求 . 18．（ 12 分）如图，三棱柱 ABC A B C P AA    中， 为 上一点，求 V VP BB C C ABC A B C      : ． 19．（ 14 分）如图，在正四棱台内，以小底为底面。大底面中心为顶点作一内接棱锥. 已知 棱台小底面边长为 b，大底面边长为 a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等， 求这个棱锥的高，并指出有解的条件． 20．（ 14 分）已知：一个圆锥的底面半径为 R，高为 H，在其中有一个高为 x 的内接圆柱． （1）求圆柱的侧面积； （2）x 为何值时，圆柱的侧面积最大． 参考答案（三） 一、BDDBC BDDBA 二、11． 2 2 2 12 QQ  ； 12． 330 cm 2 ； 13．8； 14． 39 cm3. 三、15．①解：母线l r 2 2222 624422 rrrSrrrlcS   全侧 ②解：母线l r 2 2222 3222 rrrSrrrrlS   全侧 16．解：V r h圆锥  1 3 2  3 8223 1 2  V h r R Rr圆台   1 3 2 2 ( )  3 7)1212(13 1 22  5 圆台圆锥 VVV 17．分析：圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆 锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比. 解： 27 8)3 2 ( 3    h h V V CDS ABS hhhhhVVV V 3 19 27 19 27 19::27 19 33 1 3 2 33 2      锥水 锥 水 倒置后： 小结：此题若用 V V水 台 计算是比较麻烦的，因为台体的上底面半径还需用 h h1 1 3 导出来，我 们用 V V V V V水 锥 空 空 锥，而 与  的体积之间有比例关系，可以直接求出. 18．解法一：设 S S AA BB C CBB C C     , 到平面 的距离为 h V ShP BB C C，则     1 3 把三棱柱 ABC A B C DD C C BB C C       接补成以 和 为相邻侧面的平行六面体，此平行六 面体体积为原三棱柱体积的两倍. V ShABC A B C     1 2          V V Sh Sh P BB CC ABC A B C 1 3 1 2 2 3 解法二： V V V VP BB C C ABC A B C P ABC P A B C              nmnmS ABC  ，则三棱柱的体积，棱柱的高为设 3 2: 3 2)(3 1     CBAABCCCBAP CBAPABCPCBAABCCCBBP VV mnnPnmmnVVVV 到两底距离之和为 小结：把三棱柱接补成平行六面体是重要的变换方法，平行六面体的每一个面都可以当作柱体的底， 有利于体积变换. 19．分析：这是一个棱台与棱锥的组合体问题，也是立体几何常见的问题，这类问题的图形往往比较复杂， 要认真分析各有关量的位置和大小关系，因为它们的各量之间的关系较密切，所以常引入方程、函数的 知识去解. 解：如图，过高 OO AD1和 的中点 E 作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高 EE1 和棱锥的斜高为 EO1， 设 OO h1  ，所以   ②，由勾股定理有 ，是直角梯形，其中由于 ①台侧 锥侧 2 22 1 2 22 1 1111 1111 11 222 22 22)(2)44(2 1 242 1              bhEObahEE aEObOEEEOO EEbabEOEEbaEEbaS bEOEObS ①式两边平方，把②代入得：  b h b a b h a b h a b a a a b h a b a a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 1 2 2 2                          解得 所以( ) ( ) ( ) 显然，由于 a b 0 0， ，所以此题当且仅当 a b 2 时才有解. 小结：在棱台的问题中，如果与棱台的斜高有关，则常应用通过高和斜高的截面，如果和棱台的侧棱 有关，则需要应用通过侧棱和高的截面，要熟悉这些截面中直角梯形的各元素，进而将这些元素归结为直角 三角形的各元素间的运算，这是解棱台计算问题的基本技能之一. 20．解：（1）设内接圆柱底面半径为 r. ②①圆柱侧 )(2 xHH RrH xH R rxrS   ②代入①   )0(2)(2 2 HxHxxH RxHH RxS  圆柱侧 （2）  S R H x Hx圆柱侧   2 2               42 2 22 HHxH R 22 RHSHx  圆柱侧最大时