浙江省2021届高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语第1节集合含解析 10页

第1节　集　合 考试要求　1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．‎ 知 识 梳 理 ‎1.元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.‎ ‎(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.‎ ‎2.集合间的基本关系 ‎(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.‎ ‎(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.‎ ‎(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.‎ ‎(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.‎ ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 ‎{x|x∈A，或x∈B}‎ ‎{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合的运算性质 ‎(1)并集的性质：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.‎ ‎(2)交集的性质：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.‎ ‎(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB).‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.‎ ‎2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C(“⊆”换为“”仍成立).‎ ‎3.集合元素个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)(常在实际问题中应用).‎ ‎4.对于A⊆B，注意A＝的情形.‎ ‎5.对于含参数的集合，注意检验元素的互异性.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)任何集合至少有两个子集.(　　)‎ ‎(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.(　　)‎ ‎(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)‎ ‎(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)‎ 解析　(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.‎ ‎(3)错误.当x＝1时，不满足元素互异性.‎ ‎(4)错误.当A＝时，B，C可为任意集合.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下列结论正确的是(　　)‎ A.{a}⊆A B.a⊆A ‎ C.{a}∈A D.a∉A 解析　由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝2，知a∉A.‎ 答案　D ‎3.(2020·绍兴适应性考试)若全集U＝{－1，0，1，2}，P＝{x|x2－2x＝0}，则∁UP＝(　　)‎ A.{－1，1} B.{0，2} ‎ C.{－1，2} D.{－1，0，2}‎ 解析　由题意得集合U＝{－1，0，1，2}，P＝{0，2}，则∁UP＝{－1，1}，故选A.‎ 答案　A ‎4.(2020·北京石景山区测试)已知集合P＝{x∈R|x≥1}，Q＝{2，3}，则下列关系中正确的是(　　)‎ A.P＝Q B.P⊆Q ‎ C.QP D.P∪Q＝R 解析　∵2∈P，3∈P，且4∈P，但4∉Q，故QP.‎ 答案　C ‎5.(2020·上海徐汇区一模)已知集合A＝{2，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则实数a＝________.‎ 解析　因为A⊆B，所以a＝3.‎ 答案　3‎ ‎6.已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x2－4x≤0}，则A∪B＝________，A∩(∁RB)＝________.‎ 解析　由题意得集合B＝{x|0≤x≤4}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤4}，∁RB＝{x|x<0或x>4}，所以A∩(∁RB)＝{x|－1≤x<0}.‎ 答案　{x|－1≤x≤4}　{x|－1≤x＜0}‎ 考点一　集合的基本概念 ‎【例1】 (1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)‎ A.9 B.8 ‎ C.5 D.4‎ ‎(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)‎ A. B. ‎ C.0 D.0或 解析　(1)法一　由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为CC＝9，故选A.‎ 法二　根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.‎ ‎(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.‎ 当a＝0时，x＝，符合题意；‎ 当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝，‎ 所以a的取值为0或.‎ 答案　(1)A　(2)D 规律方法　(1)第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a ‎≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形.‎ ‎(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.‎ ‎【训练1】 (1)(2020·上海黄浦区模拟)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3－m∈A，则非零实数m的数值是________.‎ ‎(2)(2020·绿色评价联盟适考)已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a＝0，a∈R}，若A＝B，则a＝(　　)‎ A.1 B.2 ‎ C.－1 D.－2‎ 解析　(1)由题意，若3－m＝2，则m＝1，此时B集合不符合元素的互异性，故m≠1；若3－m＝1，则m＝2，符合题意；若3－m＝3，则m＝0，不符合题意.‎ ‎(2)由B＝{1，a}＝{1，2}，得a＝2，故选B.‎ 答案　(1)2　(2)B 考点二　集合间的基本关系 ‎【例2】 (1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋11时，x∈(－∞，1]∪[a，＋∞)⇒1≥a－1，解得10，x∈R}，则A∩B＝________.‎ 解析　因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R)，故A∩B＝{1，6}.‎ 答案　{1，6}‎ ‎10.已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________.‎ 解析　由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.‎ 答案　1‎ ‎11.集合A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A∩B＝________；A∪B＝________；∁BA＝________.‎ 解析　A＝{0，|x|}，B＝{1，0，－1}，若A∪B＝B，则A⊆B，∴|x|＝1，∴A∩B＝{0，1}，A∪B＝{－1，0，1}，∁BA＝{－1}.‎ 答案　{0，1}　{－1，0，1}　{－1}‎ ‎12.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________.‎ 解析　由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，‎ ‎∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A－B＝[－1，0).‎ 答案　[－1，0)‎ ‎13.已知集合A＝{x|x2－2 018x－2 019≤0}，B＝{x|x2 019，则m>2 018.‎ 答案　(2 018，＋∞)‎ ‎14.设集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A＝________，B＝________，A∩(∁RB)＝________.‎ 解析　当x＝0，1，2，5时，的值分别为6，3，2，1，当x∈N且x≠0，1，2，5时，∉N，∴A＝{0，1，2，5}，由x－1>0，得x>1，∴B＝{x|x>1}，∁RB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁RB)＝{0，1}.‎ 答案　{0，1，2，5}　{x|x>1}　{0，1}‎ 能力提升题组 ‎15.(2018·北京卷)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则(　　)‎ A.对任意实数a，(2，1)∈A B.对任意实数a，(2，1)∉A C.当且仅当a<0时，(2，1)∉A D.当且仅当a≤时，(2，1)∉A 解析　若(2，1)∈A，则解得a>，所以当且仅当a≤时，(2，1)∉A，故选D.‎ 答案　D ‎16.(2020·宁波模拟)已知集合M＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，若集合A＝{a1，a2}⊆M，且对任意的b∈M，存在λ，μ∈{－1，0，1}使得b＝λai＋μaj，其中ai，aj∈A，1≤i≤j≤2，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合M＝{1，2，3，4，5，6}的基底的是(　　)‎ A.{1，5} B.{3，5} ‎ C.{2，3} D.{2，4}‎ 解析　本题可直接验证排除，逐项分析如下：‎ 选项 逐项分析 正误 A ‎3不能被1，5表示 错误 B ‎1，4不能被3，5表示 错误 C ‎1＝－1×2＋1×3，4＝1×2＋1×2，5＝1×2＋1×3，6＝1×3＋1×3‎ 正确 D ‎1，3，5不能被2，4表示 错误 故选C.‎ 答案　C ‎17.设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________.‎ 解析　由≤2x≤16，x∈N，‎ ‎∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.‎ 又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，‎ ‎∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.‎ 答案　1‎ ‎18.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝__________.‎ 解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5恒成立，则a>，结合反比例函数的单调性可得a>＝，即实数a的取值范围为.‎ 答案　 ‎20.(2019·浙江新高考仿真卷二)函数f(x)＝x2＋acos x＋bx，非空数集A＝{x|f(x)＝0}，B＝{x|f(f(x))＝0}，已知A＝B，则参数a的所有取值构成的集合为________；参数b的所有取值构成的集合为________.‎ 解析　设t∈A，则t∈B，f(t)＝0，则f(f(t))＝f(0)＝02＋acos 0＋b×0＝0，解得a＝0，即参数a的所有取值构成的集合为{0}.此时f(x)＝x2＋bx，当b＝0时，易得A＝B＝{0}，符合题意；当b≠0时，易得A＝{0，－b}，则由f(f(x))＝0得f(x)＝0或f(x)＝x2＋bx＝－b，因为b≠0，所以关于x的方程x2＋bx＝－b的根不为x＝0或x＝－b，则要使A＝B，有方程x2＋bx＝－b没有实数解，则Δ＝b2－4b＜0，解得0＜b＜4.综上所述，参数b的所有取值构成的集合为[0，4).‎ 答案　{0}　[0，4)‎