2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第9节函数模型及其应用课件新人教A版 33页

第 9 节　函数模型及其应用 考试要求　 1. 了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2. 了解函数模型 ( 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 ) 的广泛应用 . 知 识 梳 理 1. 指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　　 y ＝ a x ( a >1) y ＝ log a x ( a >1) y ＝ x n ( n >0) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上的增减性 单调 _______ 单调 _______ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表现为 与 _______ 平行 随 x 的增大逐渐表现为 与 _______ 平行 随 n 值 变化而 各有不同 递增 递增 y 轴 x 轴 2. 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f ( x ) ＝ ax ＋ b ( a 、 b 为常数， a ≠ 0) 二次函数模型 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a ≠ 0) 与指数函数相关的模型 f ( x ) ＝ ba x ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a >0 且 a ≠ 1 ， b ≠ 0) 与对数函数相关的模型 f ( x ) ＝ b log a x ＋ c ( a ， b ， c 为常数， a >0 且 a ≠ 1 ， b ≠ 0) 与幂函数相关的模型 f ( x ) ＝ ax n ＋ b ( a ， b ， n 为常数， a ≠ 0) [ 常用结论与微点提醒 ] 1. “ 直线上升 ” 是匀速增长，其增长量固定不变； “ 指数增长 ” 先慢后快，其增长量成倍增加，常用 “ 指数爆炸 ” 来形容； “ 对数增长 ” 先快后慢，其增长量越来越小 . 2. 充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键 . 3. 易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性 . 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (2) 中，当 x ＝ 2 时， 2 x ＝ x 2 ＝ 4. 不正确 . 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 2. ( 老教材必修 1P107A1 改编 ) 在某个物理实验中，测得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： 则对 x ， y 最适合的拟合函数是 ( 　　 ) A. y ＝ 2 x B. y ＝ x 2 － 1 C. y ＝ 2 x － 2 D. y ＝ log 2 x 解析 　根据 x ＝ 0.50 ， y ＝－ 0.99 ，代入计算，可以排除 A ；根据 x ＝ 2.01 ， y ＝ 0.98 ，代入计算，可以排除 B ， C ；将各数据代入函数 y ＝ log 2 x ，可知满足题意 . 答案 　 D x 0.50 0.99 2.01 3.98 y － 0.99 0.01 0.98 2.00 3. ( 新教材必修第一册 P149 例 4 改编 ) 当生物死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为 “ 半衰期 ”. 当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了 . 若某死亡生物体内的碳 14 用该放射性探测器探测不到，则它经过的 “ 半衰期 ” 个数至少是 ( 　　 ) A.8 B.9 C.10 D.11 4. (2020· 西安一中月考 ) 已知 f ( x ) ＝ x 2 ， g ( x ) ＝ 2 x ， h ( x ) ＝ log 2 x ，当 x ∈ (4 ，＋ ∞ ) 时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( 　　 ) A. f ( x )> g ( x )> h ( x ) B. g ( x )> f ( x )> h ( x ) C. g ( x )> h ( x )> f ( x ) D. f ( x )> h ( x )> g ( x ) 解析　 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x ∈ (4 ，＋ ∞ ) 时，增长速度大小排列为 g ( x )> f ( x )> h ( x ). 答案　 B 答案　 8 　 11 6. ( 多填题 ) (2019· 北京卷 ) 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60 元 / 盒、 65 元 / 盒、 80 元 / 盒、 90 元 / 盒 . 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元 . 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%. (1) 当 x ＝ 10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 ________ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为 ________. 解析 　 (1) 顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，原价应为 60 ＋ 80 ＝ 140( 元 ) ，超过了 120 元可以优惠，所以当 x ＝ 10 时，顾客需要支付 140 － 10 ＝ 130( 元 ).(2) 由题意知，当 x 确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大 . 而顾客要想得到优惠，最少要一次购买 2 盒草莓，此时顾客支付的金额为 (120 － x ) 元，所以 (120 － x ) × 80% ≥ 120 × 0.7 ，所以 x ≤ 15. 即 x 的最大值为 15. 答案 　 (1)130 　 (2)15 考点一　利用函数的图象刻画实际问题 【例 1 】 (2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量 ( 单位：万人 ) 的数据，绘制了下面的折线图 . 根据该折线图，下列结论错误的是 ( 　　 ) A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在 7 ， 8 月 D. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 解析　 由题图可知， 2014 年 8 月到 9 月的月接待游客量在减少，则 A 选项错误 . 答案　 A 规律方法　 1. 当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案 . 2. 图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养 . 【训练 1 】 高为 H ，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v ，则函数 v ＝ f ( h ) 的大致图象是 ( 　　 ) 解析　 由题意知，水深 h 越大，水的体积 v 就越大 . 当 h ＝ 0 时， v ＝ 0 ，故可排除 A ， C ； 当 h ∈ [0 ， H ] 时，不妨将水 “ 流出 ” 设想为 “ 流入 ”. 每当 h 增加一个单位增量 Δ h 时，根据鱼缸形状可知，函数 v 的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故 v ＝ f ( h ) 的图象是先凹后凸的，故选 B. 答案　 B 考点二　已知函数模型求解实际问题 (1) 求 k 的值及 f ( x ) 的表达式； (2) 隔热层修建多厚时，总费用 f ( x ) 达到最小？并求最小值 . 解　 (1) 当 x ＝ 0 时 ， C ＝ 8 ， ∴ k ＝ 40 ， 此时 x ＝ 5 ，因此 f ( x ) 的最小值为 70. ∴ 隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f ( x ) 达到最小，最小值为 70 万元 . 规律方法　 1. 求解已知函数模型解决实际问题的关注点 . (1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 . (2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 . 2. 利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验 . 【训练 2 】 (2019· 全国 Ⅱ 卷 ) 2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就 . 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系 . 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星 “ 鹊桥 ” ，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行 . L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上 . 设地球质量为 M 1 ，月球质量为 M 2 ，地月距离为 R ， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： 答案　 D 考点三　构建函数模型的实际问题 多维探究 角度 1 　构建二次函数、分段函数模型 (1) 写出年利润 P ( x )( 万元 ) 关于年产量 x ( 万件 ) 的函数解析式； ( 注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本 ) (2) 年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解　 (1) 因为每件商品售价为 6 元，则 x 万件商品销售收入为 6 x 万元 . 依题意得 此时，当 x ＝ 6 时， P ( x ) 取最大值，最大值为 10 万元 . 此时，当 x ＝ 10 时， P ( x ) 取得最大值，最大值为 15 万元 . 因为 10<15 ，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为 15 万元 . 角度 2 　构建指数 ( 对数 ) 型函数模型 解　 (1) 设每年砍伐面积的百分比为 x (0< x <1) ， 规律方法　 1. 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解 . 但应关注以下两点： (1) 分段要简洁合理，不重不漏； (2) 分段函数的最值是各段的最大 ( 或最小 ) 值中的最大 ( 或最小 ) 值 . 2. 指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化 . 【训练 3 】 (1) ( 角度 1) 某汽车销售公司在 A ， B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润 ( 单位：万元 ) 为 y 1 ＝ 4.1 x － 0.1 x 2 ，在 B 地的销售利润 ( 单位：万元 ) 为 y 2 ＝ 2 x ，其中 x 为销售量 ( 单位：辆 ) ，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是 ( 　　 ) A.10.5 万元 B.11 万元 C.43 万元 D.43.025 万元 (2) ( 角度 2) 已知一容器中有 A ， B 两种菌，且在任何时刻 A ， B 两种菌的个数乘积均为定值 10 10 ，为了简单起见，科学家用 P A ＝ lg n A 来记录 A 菌个数的资料，其中 n A 为 A 菌的个数 . 现有以下几种说法： ① P A ≥ 1 ； ② 若今天的 P A 值比昨天的 P A 值增加 1 ，则今天的 A 菌个数比昨天的 A 菌个数多 10 ； ③ 假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万，则此时 5< P A <5.5( 注： lg 2 ≈ 0.3). 则正确的说法为 ________( 写出所有正确说法的序号 ). (3) ( 角度 2) 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 . 若该公司 2019 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12% ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ( 参考数据： lg 1.12 ≈ 0.05 ， lg 1.3 ≈ 0.11 ， lg 2 ≈ 0.30)( 　　 ) A.2020 年 B.2021 年 C.2022 年 D.2023 年 解析　 (1) 设在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售该品牌的汽车 (16 － x ) 辆，所以可得利润 y ＝ 4.1 x － 0.1 x 2 ＋ 2(16 － x ) ＝－ 0.1 x 2 ＋ 2.1 x ＋ 32 ＝－ 0.1( x － 10.5) 2 ＋ 0.1 × 10.5 2 ＋ 32. 因为 x ∈ [0 ， 16] 且 x ∈ N ，所以当 x ＝ 10 或 11 时，总利润取得最大值 43 万元 . (2) 当 n A ＝ 1 时， P A ＝ 0 ，故 ① 错误 . 若 P A ＝ 1 ，则 n A ＝ 10 ；若 P A ＝ 2 ，则 n A ＝ 100 ，故 ② 错误 . 设 B 菌的个数为 n B ＝ 5 × 10 4 ， (3) 设经过 n 年资金开始超过 200 万元， 即 130(1 ＋ 12%) n >200. 两边取对数，得 n ·lg1.12>lg 2 － lg 1.3 ， 又 n ∈ N * ，所以 n ≥ 4 ， 所以从 2023 年开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元 . 答案　 (1)C 　 (2) ③ 　 (3)D