高考数学专题复习练习第二章 第十一节 导数的概念及其运算 课下练兵场 6页

第二章 第十一节 导数的概念及其运算 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 求已知函数的导数 ‎2、5‎ ‎8、9、10‎ 导数的几何意义 ‎1、3‎ ‎4、6、7‎ ‎11、12‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是 (　　)‎ A.0秒　　　　　　　B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末 解析：∵s＝t3－t2＋2t，‎ ‎∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，‎ 令v＝0得，t2－3t＋2＝0，t1＝1或t2＝2.‎ 答案：D ‎2.[理]已知y＝sin2x＋sinx，则y′是 (　　)‎ A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 解析：∵y′＝cos2x·2＋cosx＝cos2x＋cosx ‎＝2cos2x－1＋cosx ‎＝2(cosx＋)2－.‎ 又当x∈R时，cosx∈[－1,1]，函数y′＝2(cosx＋)2－是既有最大值又有最小值的偶函数.‎ 答案：B ‎[文]y＝x2cosx的导数是 (　　)‎ A.y′＝2xcosx＋x2sinx B.y′＝2xcosx－x2sinx C.y＝2xcosx D.y′＝－x2sinx 解析：y′＝2xcosx－x2sinx.‎ 答案：B ‎3.(2010·湘潭模拟)函数y＝f(x)的图象在点x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于 (　　)‎ A.1 B‎.2 C.0 D. 解析：因f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，‎ 故f(5)＋f′(5)＝2.‎ 答案：B ‎4.设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn则x1·x2·…·xn等于(　　)‎ A. B. C. D.1‎ 解析：y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.则x1·x2·…·xn＝··…·＝.‎ 答案：B ‎5.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x) ‎ 满足 (　　)‎ A.f(x)＝g(x) B.f(x)＝g(x)＝0‎ C.f(x)－g(x)为常数函数 D.f(x)＋g(x)为常数函数 解析：由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，‎ 即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数).‎ 答案：C ‎6.若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 (　　)‎ A.1 B. C. D. 解析：过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切.‎ 设P(x0，x－lnx0)则有 k＝y′|x＝x0＝2x0－.‎ ‎∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，‎ ‎∴P(1,1)，∴d＝＝.‎ 答案：B 二、填空题 ‎7.设点P是曲线y＝－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是　　　　.‎ 解析：设切线的斜率为k，则k＝f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.当x＝1时，k有最小值 －4.又f(1)＝－，所以切线方程为y＋＝－4(x－1)，‎ 即12x＋3y＋8＝0.‎ 答案：12x＋3y＋8＝0‎ ‎8.(2009·湖北高考)已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，则f()的值为　　　　.‎ 解析：∵f(x)＝f′()cosx＋sinx，‎ ‎∴f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，‎ ‎∴f′()＝－f′()×＋，‎ ‎∴f′()＝＝－1.‎ 故f()＝(－1)×＋＝1.‎ 答案：1‎ ‎9.已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1()＋f2()＋…＋f2009()＝　　　　.‎ 解析：f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，‎ f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，‎ f4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，‎ 以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)‎ 又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，‎ ‎∴f1()＋f2()＋…＋f2009()＝f1()＝1.‎ 答案：1‎ 三、解答题 ‎10.求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x5－x3＋3x2＋；‎ ‎(2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；‎ ‎(3)y＝.‎ 解：(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(3x2)′＋()′‎ ‎＝x4－4x2＋6x.‎ ‎(2)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，‎ ‎∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.‎ 法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′‎ ‎＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2‎ ‎＝24x3＋9x2－16x－4.‎ ‎(3)y′＝ ‎＝＝.‎ ‎11.已知曲线y＝x2－1与y＝1＋x3在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值.‎ 解：对于y＝x2－1，有y′＝x，k1＝y′|x＝x0＝x0；‎ 对于y＝1＋x3，有y′＝3x2，k2＝y′|x＝x0＝3x.‎ 又k1k2＝－1，则x＝－1，x0＝－1.‎ ‎12.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.‎ 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，‎ 于是 故f(x)＝x－.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0).‎ 令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)；‎ 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.‎