高科数学专题复习课件：第二章 2_4二次函数与幂函数 58页

§2.4 　 二次函数与幂函数 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 二次函数解析式的三种形式 ① 一般式： f ( x ) ＝ . ② 顶点式： f ( x ) ＝ . ③ 零点式： f ( x ) ＝ . 1. 二次函数 知识梳理 ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) a ( x － m ) 2 ＋ n ( a ≠ 0) a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0) (2) 二次函数的图象和性质 解析式 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a >0) f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a <0) 图象 定义域 ( － ∞ ，＋ ∞ ) ( － ∞ ，＋ ∞ ) 值域 _______________ _______________ 单调性 在 x ∈ 上 单调递减； 在 x ∈ 上 单调递增 在 x ∈ 上 单调递增； 在 x ∈ 上 单调递减 对称性 函数的图象关于 x ＝ 对称 (1) 定义：一般地，函数 y ＝ 叫做 幂函数，其中 x 是自变量， α 是常数 . (2) 幂函数的图象比较 2. 幂函数 x α 几何画板展示 (3) 幂函数的性质 ① 幂函数在 (0 ，＋ ∞ ) 上都有定义； ② 幂函数的图象过定点 (1,1) ； ③ 当 α >0 时，幂函数的图象都过点 (1,1) 和 (0,0) ，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； ④ 当 α <0 时，幂函数的图象都过点 (1,1) ，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 1. 若 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，则 当 时 恒有 f ( x )>0 ， 当 时 ，恒有 f ( x )<0. 2. 幂函数的图象和性质 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性 . (2) 幂函数的图象过定点 (1,1) ，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ [ a ， b ] 的最值一定 是 .( 　　 ) (2) 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ R 不可能 是偶函数 .( 　　 ) (3) 在 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) 中， a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小 .( 　　 ) (4) 函数 是 幂函数 .( 　　 ) (5) 如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 .( 　　 ) (6) 当 n <0 时，幂函数 y ＝ x n 是定义域上的减函数 .( 　　 ) 思考辨析 × × √ × √ × 1.( 教材改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 4 ax 在区间 ( － ∞ ， 6) 内单调递减，则 a 的取值范围是 A. a ≥ 3 B. a ≤ 3 C. a ＜－ 3 D. a ≤ － 3 考点自测 答案 解析 函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 4 ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是 x ＝－ 2 a ，由函数在区间 ( － ∞ ， 6) 内单调递减可知 ， 区间 ( － ∞ ， 6) 应在直线 x ＝－ 2 a 的左侧， ∴ － 2 a ≥ 6 ，解得 a ≤ － 3 ，故选 D. 几何画板展示 2. 已知函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，如果 a > b > c 且 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ，则它的图象可能 是 答案 解析 由 a ＋ b ＋ c ＝ 0 和 a > b > c 知 a >0 ， c <0 ， 由 c <0 ，排除 A ， B ，又 a >0 ，排除 C. 3. 幂函数 ( a ∈ Z ) 为偶函数，且 f ( x ) 在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，则 a 等于 A.3 B.4 C.5 D.6 答案 解析 因为 a 2 － 10 a ＋ 23 ＝ ( a － 5) 2 － 2 ， ( a ∈ Z ) 为偶函数， 且在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数， 所以 ( a － 5) 2 － 2<0 ，从而 a ＝ 4,5,6 ， 又 ( a － 5) 2 － 2 为偶数，所以只能是 a ＝ 5 ，故选 C. 4. 已知函数 y ＝ x 2 － 2 x ＋ 3 在闭区间 [ 0 ， m ] 上有最大值 3 ，最小值 2 ，则 m 的取值范围为 ________. 答案 解析 [1,2] 如图，由图象可知 m 的取值范围是 [1,2]. 几何画板展示 5.( 教材改编 ) 已知幂函数 y ＝ f ( x ) 的图象过 点 ， 则此函数的解析式为 ________ ；在区间 _________ 上递减 . 答案 解析 (0 ，＋ ∞ ) ∴ a ＝ ， 即幂函数的解析式 为 ， 单调减区间为 (0 ，＋ ∞ ). 题型分类　深度剖析 题型一　求二次函数的解析式 例 1 　 (1)(2016· 太原模拟 ) 已知二次函数 f ( x ) 与 x 轴的两个交点坐标为 (0,0) 和 ( － 2,0) 且有最小值－ 1 ，则 f ( x ) ＝ ________. 答案 解析 x 2 ＋ 2 x 设函数的解析式为 f ( x ) ＝ ax ( x ＋ 2) ，所以 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 ax ， 所以 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x . (2) 已知二次函数 f ( x ) 的图象经过点 (4,3) ，它在 x 轴上截得的线段长为 2 ，并且对任意 x ∈ R ，都有 f (2 － x ) ＝ f (2 ＋ x ) ，求 f ( x ) 的解析式 . 解 答 ∵ f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) 对任意 x ∈ R 恒成立 ， ∴ f ( x ) 的对称轴为 x ＝ 2. 又 ∵ f ( x ) 的图象被 x 轴截得的线段长为 2 ， ∴ f ( x ) ＝ 0 的两根为 1 和 3. 设 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝ a ( x － 1)( x － 3)( a ≠ 0) ， 又 f ( x ) 的图象过点 (4,3) ， ∴ 3 a ＝ 3 ， a ＝ 1 ， ∴ 所求 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝ ( x － 1)( x － 3) ， 即 f ( x ) ＝ x 2 － 4 x ＋ 3. 思维 升华 求二次函数解析式的方法 跟踪训练 1 　 (1) 已知二次函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ 1( a ， b ∈ R ) ， x ∈ R ，若函数 f ( x ) 的最小值为 f ( － 1) ＝ 0 ，则 f ( x ) ＝ _______ _ _. 答案 解析 x 2 ＋ 2 x ＋ 1 设函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1) 2 ＝ ax 2 ＋ 2 ax ＋ a ， 由已知 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ 1 ， ∴ a ＝ 1 ， 故 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ＋ 1. (2) 若函数 f ( x ) ＝ ( x ＋ a )( bx ＋ 2 a )( 常数 a ， b ∈ R ) 是偶函数，且它的值域为 ( － ∞ ， 4] ，则该函数的解析式 f ( x ) ＝ ________. 答案 解析 － 2 x 2 ＋ 4 由 f ( x ) 是偶函数知 f ( x ) 图象关于 y 轴对称， ∴ － a ＝－ ( ) ，即 b ＝－ 2 ， ∴ f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ 2 a 2 ， 又 f ( x ) 的值域为 ( － ∞ ， 4] ， ∴ 2 a 2 ＝ 4 ，故 f ( x ) ＝－ 2 x 2 ＋ 4. 题型二　二次函数的图象和性质 命题点 1 　二次函数的单调性 例 2 　 函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ ( a － 3) x ＋ 1 在区间 [ － 1 ，＋ ∞ ) 上是递减的，则实数 a 的取值范围是 A. [ － 3,0) B.( － ∞ ，－ 3 ] C . [ － 2,0] D. [ － 3,0] 答案 解析 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3 x ＋ 1 在 [ － 1 ，＋ ∞ ) 上递减，满足条件 . 解得－ 3 ≤ a ＜ 0. 综上， a 的取值范围为 [ － 3,0]. 几何画板展示 引申 探究 若函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ ( a － 3) x ＋ 1 的单调减区间是 [ － 1 ，＋ ∞ ) ，则 a ＝ ________. 答案 解析 － 3 由题意知 a <0 ， 又 ＝－ 1 ， ∴ a ＝－ 3. 命题点 2 　二次函数的最值 例 3 　 已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x (0 ≤ x ≤ 1) ，求函数 f ( x ) 的最小值 . 解答 几何画板展示 (1) 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 2 x 在 [0,1] 上单调递减， ∴ f ( x ) min ＝ f (1) ＝－ 2 . (2) 当 a >0 时， f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x 的图象开口向上且对称轴为 x ＝ . ① 当 0 < ≤ 1 ，即 a ≥ 1 时， f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x 的对称轴在 [0,1] 内， ∴ f ( x ) 在 [0,1] 上单调递减 . ∴ f ( x ) min ＝ f (1) ＝ a － 2. (3) 当 a <0 时， f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x 的图象开口向下 且对称轴 x ＝ < 0 ，在 y 轴的左侧 ， ∴ f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x 在 [0,1] 上单调递减， ∴ f ( x ) min ＝ f (1) ＝ a － 2. 命题点 3 　二次函数中的恒成立问题 例 4 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － x ＋ 1 ，在区间 [ － 1,1 ] 上不等式 f ( x )>2 x ＋ m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ___________. 答案 解析 ( － ∞ ，－ 1) f ( x )>2 x ＋ m 等价于 x 2 － x ＋ 1>2 x ＋ m ，即 x 2 － 3 x ＋ 1 － m >0 ， 令 g ( x ) ＝ x 2 － 3 x ＋ 1 － m ， 要使 g ( x ) ＝ x 2 － 3 x ＋ 1 － m >0 在 [ － 1,1] 上恒成立， 只需使函数 g ( x ) ＝ x 2 － 3 x ＋ 1 － m 在 [ － 1,1] 上的最小值大于 0 即可 . ∵ g ( x ) ＝ x 2 － 3 x ＋ 1 － m 在 [ － 1,1] 上单调递减 ， ∴ g ( x ) min ＝ g (1) ＝－ m － 1. 由－ m － 1>0 ，得 m < － 1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1). (2) 已知 a 是实数，函数 f ( x ) ＝ 2 ax 2 ＋ 2 x － 3 在 x ∈ [ － 1,1 ] 上恒小于零，则实数 a 的取值范围为 _________. 答案 解析 2 ax 2 ＋ 2 x － 3<0 在 [ － 1,1 ] 上恒成立 . 当 x ＝ 0 时，－ 3<0 ，成立； 几何画板展示 思维 升华 (1) 二次函数最值问题的解法：抓住 “ 三点一轴 ” 数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 . (2) 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ① 一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数 . ② 两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离 . 这两个思路的依据是： a ≥ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≥ f ( x ) max ， a ≤ f ( x ) 恒成立 ⇔ a ≤ f ( x ) min . 跟踪训练 2 　 (1) 设函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x ＋ 2 ，对于满足 1< x <4 的一切 x 值都有 f ( x )>0 ，则实数 a 的取值范围为 ______ __ __. 答案 解析 (2) 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ，若 x ∈ [ － 2 ， a ] ，求 f ( x ) 的最小值 . 解答 ∵ 函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＝ ( x － 1) 2 － 1 ， ∴ 对称轴为直线 x ＝ 1 ， ∵ x ＝ 1 不一定在区间 [ － 2 ， a ] 内 ， ∴ 应进行讨论，当－ 2< a ≤ 1 时，函数在 [ － 2 ， a ] 上单调递减 ， 则 当 x ＝ a 时， f ( x ) 取得最小值，即 f ( x ) min ＝ a 2 － 2 a ； 当 a >1 时，函数在 [ － 2,1] 上单调递减，在 [ 1 ， a ] 上单调递增 ， 则 当 x ＝ 1 时， f ( x ) 取得最小值， 即 f ( x ) min ＝－ 1. 综上，当－ 2< a ≤ 1 时， f ( x ) min ＝ a 2 － 2 a ， 当 a >1 时， f ( x ) min ＝－ 1. 几何画板展示 题型三　幂函数的图象和性质 例 5 　 (1)(2016· 济南诊断测试 ) 已知幂函数 f ( x ) ＝ k · x α 的图象过 点 ， 则 k ＋ α 等于 答案 解析 由幂函数的定义知 k ＝ 1. (2) 若 则 实数 m 的取值范围 是 答案 解析 因为函数 的 定义域为 [0 ，＋ ∞ ) 且在定义域内为增函数， 解 2 m ＋ 1> m 2 ＋ m － 1 ，得－ 1< m <2 ， 思维 升华 (1) 幂函数的形式是 y ＝ x α ( α ∈ R ) ，其中只有一个参数 α ，因此只需一个条件即可确定其解析式 . (2) 在区间 (0,1) 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴 ( 简记为 “ 指大图低 ” ) ，在区间 (1 ，＋ ∞ ) 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴 . 跟踪训练 3 　 (2016· 昆明模拟 ) 幂函数的图象经过点 (4,2) ，若 0< a < b <1 ，则下列各式正确的是 答案 解析 设幂函数为 f ( x ) ＝ x α ，将 (4,2) 代入得 α ＝ ， 所以 该 函数在 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数， 典例 　 (10 分 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2 ax ＋ 1 在区间 [ － 1,2] 上有最大值 4 ，求实数 a 的值 . 分类 讨论思想在二次函数最值中的应用 思想与方法系列 3 已知函数 f ( x ) 的最值，而 f ( x ) 图象的对称轴确定，要讨论 a 的符号 . 规范解答 思想方法指 导 几何画板展示 解 　 f ( x ) ＝ a ( x ＋ 1) 2 ＋ 1 － a . [ 1 分 ] (1 ) 当 a ＝ 0 时，函数 f ( x ) 在区间 [ － 1,2] 上的值为常数 1 ，不符合题意，舍去 ； [ 3 分 ] (2) 当 a >0 时，函数 f ( x ) 在区间 [ － 1,2] 上是增函数， 最大值为 f (2) ＝ 8 a ＋ 1 ＝ 4 ，解得 a ＝ ； [ 6 分 ] (3) 当 a <0 时，函数 f ( x ) 在区间 [ － 1,2] 上是减函数， 最大值为 f ( － 1) ＝ 1 － a ＝ 4 ，解得 a ＝－ 3. [ 9 分 ] 综上可知， a 的值 为 或 － 3 . [ 10 分 ] 返回 课时作业 1. 函数 f ( x ) ＝ 2 x 2 － mx ＋ 3 ，当 x ∈ [ － 2 ，＋ ∞ ) 时 ， f ( x ) 是增函数，当 x ∈ ( － ∞ ，－ 2 ] 时， f ( x ) 是减函数，则 f (1) 的值为 A. － 3 B.13 C.7 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ＝－ 2 对称， ∴ m ＝－ 8 ， ∴ f (1) ＝ 2 ＋ 8 ＋ 3 ＝ 13. 2. 幂函数 ( m ∈ Z ) 的图象如图所示，则 m 的值 为 答案 解析 A.0 B.1 C.2 D.3 √ ∵ ( m ∈ Z ) 的图象与坐标轴没有交点， ∴ m 2 － 4 m <0 ，即 0< m <4. 又 ∵ 函数的图象关于 y 轴对称且 m ∈ Z ， ∴ m 2 － 4 m 为偶数，因此 m ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知二次函数 f ( x ) 满足 f (2 ＋ x ) ＝ f (2 － x ) ，且 f ( x ) 在 [0,2] 上是增函数，若 f ( a ) ≥ f (0) ，则实数 a 的取值范围 是 A. [ 0 ，＋ ∞ ) B .( － ∞ ， 0 ] C. [0,4] D .( － ∞ ， 0] ∪ [4 ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 由题意可知函数 f ( x ) 的图象开口向下 ，对称轴 为 x ＝ 2( 如图 ) ， 若 f ( a ) ≥ f (0) ，从图象观察可知 0 ≤ a ≤ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 若函数 y ＝ x 2 － 3 x － 4 的定义域为 [ 0 ， m ] ，值域为 [ ，－ 4] ，则 m 的取值范围是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 若函数 f ( x ) ＝ x 2 － ax － a 在区间 [0,2] 上的最大值为 1 ，则实数 a 等于 A . － 1 B.1 C.2 D . － 2 √ 答案 解析 ∵ 函数 f ( x ) ＝ x 2 － ax － a 的图象为开口向上的抛物线， ∴ 函数的最大值在区间的端点处取得， ∵ f (0) ＝－ a ， f (2) ＝ 4 － 3 a ， 6. 已知二次函数 f ( x ) ＝ 2 ax 2 － ax ＋ 1( a <0) ，若 x 1 < x 2 ， x 1 ＋ x 2 ＝ 0 ，则 f ( x 1 ) 与 f ( x 2 ) 的大小关系为 A. f ( x 1 ) ＝ f ( x 2 ) B. f ( x 1 )> f ( x 2 ) C. f ( x 1 )< f ( x 2 ) D . 与 a 值有关 √ 答案 解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线 x ＝ ， 又依题意，得 x 1 <0 ， x 2 >0 ，又 x 1 ＋ x 2 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2016· 烟台模拟 ) 已知幂函数 ， 若 f ( a ＋ 1)< f (10 － 2 a ) ，则 a 的取值范围为 ________. 答案 解析 (3,5) ∵ 幂函数 单调 递减，定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 当 0< x <1 时，函数 f ( x ) ＝ x 1.1 ， g ( x ) ＝ x 0.9 ， h ( x ) ＝ x － 2 的大小关系是 ____________. 答案 解析 h ( x )> g ( x )> f ( x ) 如图所示为函数 f ( x ) ， g ( x ) ， h ( x ) 在 (0,1) 上的图象 ， 由此可知 ， h ( x )> g ( x )> f ( x ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 当 x ∈ (1,2) 时，不等式 x 2 ＋ mx ＋ 4<0 恒成立，则 m 的取值范围是 _________ __ _. 答案 解析 ( － ∞ ，－ 5] 方法一 　 ∵ 不等式 x 2 ＋ mx ＋ 4<0 对 x ∈ (1,2) 恒成立， ∴ mx < － x 2 － 4 对 x ∈ (1,2) 恒成立， 方法二 　设 f ( x ) ＝ x 2 ＋ mx ＋ 4 ，当 x ∈ (1,2) 时， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *10. 若函数 f ( x ) ＝ x 2 － a | x － 1| 在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 [0,2] 综上， a 的取值范围是 [0,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 ， x ∈ [ － 5,5 ]. (1) 当 a ＝－ 1 时，求函数 f ( x ) 的最大值和最小值； 解答 当 a ＝－ 1 时， f ( x ) ＝ x 2 － 2 x ＋ 2 ＝ ( x － 1) 2 ＋ 1 ， x ∈ [ － 5,5]. ∵ f ( x ) 的对称轴为 x ＝ 1 ， ∴ 当 x ＝ 1 时， f ( x ) 取最小值 1 ； 当 x ＝－ 5 时， f ( x ) 取最大值 37. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f ( x ) 在区间 [ － 5,5 ] 上是单调函数 . 解答 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 ax ＋ 2 ＝ ( x ＋ a ) 2 ＋ 2 － a 2 的对称轴为 x ＝－ a ， ∵ f ( x ) 在 [ － 5,5] 上是单调函数， ∴ － a ≤ － 5 或－ a ≥ 5 ，即 a ≤ － 5 或 a ≥ 5. 故实数 a 的取值范围为 a ≤ － 5 或 a ≥ 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知 幂函数 ( m ∈ N * ). (1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； 解答 因为 m 2 ＋ m ＝ m ( m ＋ 1)( m ∈ N * ) ， 而 m 与 m ＋ 1 中必有一个为偶数，所以 m 2 ＋ m 为偶数， 所以函数 ( m ∈ N * ) 的定义域为 [0 ，＋ ∞ ) ，并且该函数在 [0 ，＋ ∞ ) 上为增函数 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若函数 f ( x ) 的图象经过点 (2 ， ) ，试确定 m 的值，并求满足条件 f (2 － a ) > f ( a － 1) 的实数 a 的取值范围 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为函数 f ( x ) 的图象经过点 (2 ， ) ， 所以 即 所以 m 2 ＋ m ＝ 2 ，解得 m ＝ 1 或 m ＝－ 2. 又因为 m ∈ N * ，所以 m ＝ 1 ， 又因为 f (2 － a )> f ( a － 1) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ＋ 3 － a ，若 x ∈ [ － 2,2] 时， f ( x ) ≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 要使 f ( x ) ≥ 0 恒成立，则函数在区间 [ － 2,2] 上的最小值不小于 0 ， 设 f ( x ) 的最小值为 g ( a ). 又－ 4 ≤ a ≤ 4 ，故－ 4 ≤ a ≤ 2 ； 得 a ≥ － 7 ，又 a < － 4 ，故－ 7 ≤ a < － 4 ，综 上得－ 7 ≤ a ≤ 2. 故此时 a 不存在； 得－ 6 ≤ a ≤ 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13