专题43 空间向量及其运算-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 22页

专题43空间向量及其运算 最新考纲 ‎1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．‎ ‎2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．‎ ‎3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 ‎0‎ 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2.空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ ‎3．空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝ ‎【知识拓展】‎ ‎1．向量三点共线定理 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．‎ ‎2．向量四点共面定理 在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】空间向量的线性运算 ‎【典型例题】‎ 在三棱锥P﹣ABC中，点M为线段BC的中点，，则x+y+z＝（　　）‎ A．0 B． C．1 D．﹣1‎ ‎【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，点M为线段BC的中点，‎ 则（），‎ 又，‎ 所以x＝﹣1，y，‎ 所以x+y+z＝0，‎ 故选：A． 【再练一题】‎ 平行六面体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，M为AC与BD的交点，‎ ‎，，，‎ ‎∴‎ ‎（）‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选：A． 思维升华 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．‎ ‎【题型二】共线定理、共面定理的应用 ‎【典型例题】‎ ‎（2，m，0），（1，3，n﹣1），若∥，则m+2n＝（　　）‎ A．6 B．‎7 ‎C．8 D．9‎ ‎【解答】解：∵（2，m，0），（1，3，n﹣1），∥，‎ ‎∴，且n﹣1＝0，‎ 解得m＝6，n＝1，‎ ‎∴m+2n＝8．‎ 故选：C． 【再练一题】‎ 已知向量（2，﹣3，1），则下列向量中与平行的是（　　）‎ A．（1，1，1） B．（﹣4，6，﹣2） C．（2，﹣3，5） D．（﹣2，﹣3，﹣1）‎ ‎【解答】解：向量（2，﹣3，1），则λ（2λ，﹣2λ，λ）与平行，‎ λ＝﹣2时，λ（﹣4，6，﹣2）．‎ 故选：B． 思维升华 (1)证明空间三点P，A，B共线的方法 ‎①＝λ(λ∈R)；‎ ‎②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；‎ ‎③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．‎ ‎(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法 ‎①＝x＋y；‎ ‎②对空间任一点O，＝＋x＋y；‎ ‎③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；‎ ‎④∥(或∥或∥)．‎ ‎【题型三】空间向量数量积的应用 ‎【典型例题】‎ 已知，若，则x＝（　　）‎ A．4 B．﹣‎4 ‎C．2 D．﹣2‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴（﹣2，2，2），‎ ‎∵，‎ ‎∴（）4+2x+4＝0，‎ 解得x＝﹣4．‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 若向量（2，﹣1，2），（﹣4，2，m），且与的夹角为钝角，则实数m的取值范围为　{m|m＜5，且m≠﹣4}　．‎ ‎【解答】解：∵向量（2，﹣1，2），（﹣4，2，m），且与的夹角为钝角，‎ ‎∴8﹣2+‎2m＜0，且，‎ 解得m＜5，且m≠﹣4，‎ ‎∴实数m的取值范围为{m|m＜5，且m≠﹣4}．‎ 故答案为：{m|m＜5，且m≠﹣4}． 思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置．‎ ‎(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角．‎ ‎(3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．‎ 基础知识训练 ‎1．【四川省阆中中学2018-2019学年高二下学期期中考试】如图，分别是四面体的边的中点，是的中点，设 ，用表示，则( ) ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 依题意，故选D.‎ ‎2．如图，在平行六面体ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量模相等的向量有 A．0个 B．3个 C．7个 D．9个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量是：，共个.故选C.‎ ‎3．如图所示，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎4．【四川省南充市阆中中学2018-2019学年高二3月月考】已知＝(2，－3,1)，则下列向量中与平行的是(　　)‎ A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：若（﹣4，6，﹣2），则2（2，﹣3，1）＝﹣2，所以∥．‎ 故选：B．‎ ‎5．【上海市金山区2018-2019学年第二学期质量监控高三（二模)】在长方体中，下列计算结果一定不等于0的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为a，b，c 则A（a，0，0），B（a，b，0），C（0，b，0），D（0，0，0），B1（a，b，c），C1（0，b，c），D1（0，0，c），‎ ‎∴（﹣a，0，c），（﹣a，0，﹣c），（﹣a，﹣b，c），（﹣a，b，0），（0，b，0），（﹣a，0，0），‎ ‎∴•a2﹣c2，当a＝c时，•0，‎ ‎•a2﹣b2，当a＝b时，•0，‎ ‎•0，‎ ‎•a2≠0，‎ 故选：D．‎ ‎6．【贵州省铜仁市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知，若，则实数的值为 （　　）‎ A．-2 B． C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎,‎ 若，则，‎ 解得，‎ 故选：D ‎7．【安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试】对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是,,,四点共面的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：空间任意一点和不共线的三点，，，且 则,,,四点共面等价于 若，，，则，所以,,,四点共面 若,,,四点共面，则，不能得到，，‎ 所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件 故选：B.‎ ‎8．【山东省山东师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知向量，且互相垂直，则的值是（ ）‎ A．-1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2），‎ ‎∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），‎ ‎2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2， 2），‎ ‎∵k和2互相垂直，‎ ‎∴（k）•（2）＝ ‎ 解得k．‎ 故选：D．‎ ‎9．【四川省三台中学实验学校2018-2019学年高二3月月考】如图在一个的二面角的棱上有两个点，，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，则的长为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，；‎ ‎，；‎ 又与分别所在面的二面角为，‎ ‎，即 ‎；‎ 由于，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的长为2‎ ‎10．【安徽省蚌埠市2018-2019学年高二上学期期末学业水平检测】已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：当“”时，，‎ 易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，‎ 即“”是“，，构成空间的一个基底”的充分条件，‎ 当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，‎ 设，，共面，‎ 即，解得：，即，‎ 即，，能构成空间的一个基底时，m的取值范围为：，‎ 即当，，能构成空间的一个基底，不能推出，‎ 即“”是“，，构成空间的一个基底”的不必要条件 综合得：“”是“，，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎11．【河南省南阳市2018-2019学年高二上学期期末考试】已知空间四边形，其对角线为，，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ 故选：C．‎ ‎12．【湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高二下学期期中联考】若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，‎ 对于：满足：‎ ‎，是共面向量，不能构成空间的一个基底，‎ 故选D ‎13．【江苏省常州“教学研究合作联盟”2018-2019高二下学期期中】设,是两个不共线的空间向量，若，，，且三点共线，则实数的值为_______．‎ ‎【答案】4或-1‎ ‎【解析】‎ 因为三点共线，所以存在实数使得 ‎，‎ 所以，解得或.‎ ‎14．已知，，则，夹角的余弦值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ ‎15．【江苏省常州“教学研究合作联盟”2018-2019高二下学期期中考试】如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 所以，所以.‎ ‎16．【江苏省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，，所以与平行，则存在实数使得，即，可得，所以，，，‎ 答案为：‎ ‎17．【四川省三台中学实验学校2018-2019学年高二3月月考】已知三点满足，则的值________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 由题可得：，；‎ 由于，则，即，解得：‎ ‎18．【‎ 湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高二下学期期中联考】如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 点在上，且，为的中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎ 故答案为 ‎19．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一)】如图，正方体的棱长为4，点在棱上，且，是面内的正方形，且，是面内的动点，且到平面的距离等于线段的长，则线段长度的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 建立如下图所示的空间直角坐标系：‎ 过作,连接,则 ,当最小时，最小。‎ 因为到平面的距离等于线段的长，‎ 所以时，有最小值6，所以的最小值为22，.‎ ‎20．【2019年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考】已知向量，，则在方向上的投影为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意在方向上的投影为.‎ ‎21．【江西省南昌市第十中学2018-2019学年高二下学期第二次月考】已知，，的夹角为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，向量，则，‎ 又由的夹角为，所以，‎ 解得，所以，‎ 又由向量的夹角为，则，即，‎ 所以实数．‎ ‎22．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高二年级期中质量调查】如图，在直三棱柱中，，，已知和分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段长度的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 由于，则，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当时，线段长度的最小值是，‎ 当时，线段长度的最大值是1，‎ 而不包括端点，故不能取；‎ 故答案为：．‎ 能力提升训练 ‎1．【福建省厦门市2018-2019学年高二上学期期末质量检测】如图，在平行六面体中，的中点，设，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据向量的三角形法则得到 ‎.‎ 故选：A.‎ ‎2．【北京师大附中2018-2019学年上学期高二年级期末考试】在三棱锥中，‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,∴，‎ 故选：C.‎ ‎3．【陕西省西安市西安中学2018-2019学年高二上学期期末考试】已知向量，则与共线的单位向量 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，设，则，解得，故，只有选项B满足题意。‎ ‎4．【浙江省宁波市2018学年第一学期期末考试】已知空间向量1，，且，则　　‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知，空间向量1，，且，‎ 所以，所以，即，解得.‎ 故选：C．‎ ‎5．【广东省潮州市2018-2019学年高二上学期期末教学质量检测】设是空间不共面的四点，且满足，则　　‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，‎ 所以， ，故是锐角， 同理，可得都是锐角，‎ 故是锐角三角形，故选B．‎ ‎6．【陕西省西安市西安中学2018-2019学年高二上学期期末考试】已知平面内有一个点,平面的一个法向量是，则下列点中，在平面内的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，，则，‎ 若，则，故A满足题意；‎ 若，则，故B不满足题意；‎ 若，则，故C不满足题意；‎ 若，则，故D不满足题意。‎ 故选A.‎ ‎7．【四川省南充市阆中中学2018-2019学年高二3月月考】已知＝(1，－2,1)，＋＝(－1,2，－1)，则等于________.‎ ‎【答案】(－2,4，－2)‎ ‎【解析】‎ ‎∵＝(1，－2,1)，＋＝(－1,2，－1)，‎ ‎∴=(－2,4，－2)‎ 故答案为：(－2,4，－2)‎ ‎8．【上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试】已知向量，，则________‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ 由题得，∴.‎ 故答案为：13‎ ‎9．【四川省成都外国语学校2018-2019学年高二3月月考】已知向量，若，则实数的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 由题意知，向量，所以，‎ 又由，‎ 解得。‎ ‎10．【江苏省启东中学2018-2019学年高一（创新班)3月月考】已知，，且与夹角为钝角，则取值范围是_____．‎ ‎【答案】且 ‎【解析】‎ 因为， ，‎ 所以 因为与夹角为钝角，所以且与不反向共线，‎ 又因为与共线时，有，即： ‎ 所以，解得：. ‎