高考数学专题复习练习：考点规范练57 4页

考点规范练57　不等式选讲 ‎　考点规范练A册第45页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2016山西朔州模拟)已知函数f(x)=|x-1|-|2x-a|.‎ ‎(1)当a=5时,求不等式f(x)≥0的解集;‎ ‎(2)设不等式f(x)≥3的解集为A,若5∈A,6∉A,求整数a的值.‎ 解(1)当a=5时,不等式f(x)≥0可化为|x-1|-|2x-5|≥0,‎ 即(x-1)2≥(2x-5)2,解得2≤x≤4,‎ 故不等式f(x)≥0的解集为[2,4].‎ ‎(2)据题意可得‎|5-1|-|10-a|≥3,‎‎|6-1|-|12-a|<3,‎ 解得‎9≤a≤11,‎a<10或a>14,‎即9≤a<10.‎ 又因为a∈Z,所以a=9.〚导学号74920364〛‎ ‎2.(2016中原名校联盟四月仿真联考)已知函数f(x)=|2x-a|+a.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|-2≤x≤3},求实数a的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.‎ 解(1)由f(x)≤6,得|2x-a|≤6-a,即a-6≤2x-a≤6-a,‎ 即a-3≤x≤3,故a-3=-2,即a=1.‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=|2x-1|+1,令φ(n)=f(n)+f(-n),‎ 则φ(n)=|2n-1|+|2n+1|+2=‎‎2-4n,n≤-‎1‎‎2‎,‎‎4,-‎1‎‎2‎‎1‎‎2‎.‎ 故φ(n)的最小值为4,因此实数m的取值范围是[4,+∞).〚导学号74920365〛‎ ‎3.已知f(x)=‎3x+‎‎1‎a+3|x-a|.‎ ‎(1)若a=1,求f(x)≥8的解集;‎ ‎(2)对任意a∈(0,+∞),任意x∈R,f(x)≥m恒成立,求实数m的最大值.‎ 解(1)当a=1时,由f(x)≥8得|3x+1|+3|x-1|≥8,‎ ‎①当x≤-‎1‎‎3‎时,-(3x+1)-3(x-1)≥8,x≤-1,‎ ‎∴x≤-1;‎ ‎②当-‎1‎‎3‎1,n>1,且对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,试求m+n的最小值.‎ 解(1)令f(x)=|x-1|-|x-2|,‎ 则f(x)≥|x-1-x+2|=1,故t≤1.‎ 故T=(-∞,1].‎ ‎(2)由(1)知,对于∀t∈T,不等式log3m·log3n≥t恒成立,‎ 只需log3m·log3n≥tmax=1.‎ 又m>1,n>1,所以log3m>0,log3n>0.‎ 又1≤log3m·log3n≤log‎3‎m+log‎3‎n‎2‎‎2‎‎=‎‎[log‎3‎(mn)‎‎]‎‎2‎‎4‎(当log3m=log3n时取“=”),‎ 所以log3(mn)≥2,mn≥9,‎ 所以m+n≥2mn≥6,‎ 即m+n的最小值为6(此时m=n=3).〚导学号74920367〛‎ ‎5.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)若a,b,c都大于0,且‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎‎1‎‎3c=m,求证:a+2b+3c≥9.‎ ‎(1)解∵f(x+2)=m-|x|,‎ ‎∴f(x+2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.‎ 又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.‎ ‎(2)证明由(1)知‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎‎1‎‎3c=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)‎1‎a‎+‎1‎‎2b+‎‎1‎‎3c‎≥‎a‎×‎1‎a+‎2b×‎1‎‎2b+‎3c×‎‎1‎‎3c‎2‎=9,‎ 当且仅当a=2b=3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c≥9.〚导学号74920368〛‎ 能力提升 ‎6.(2016河南洛阳二模)已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)<4的解集为M.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)当a,b∈M时,证明:2|a+b|<|4+ab|.‎ ‎(1)解f(x)=|x+1|+|x-1|=‎‎-2x,x<-1,‎‎2,-1≤x≤1,‎‎2x,x>1.‎ 当x<-1时,由f(x)=-2x<4,得-21时,由f(x)=2x<4,得15;‎ ‎(2)若f(x)≤a|x+3|,求a的最小值.‎ 解(1)当a=-2时,f(x)=‎‎1-3x,x<-1,‎‎3-x,-1≤x≤1,‎‎3x-1,x>1.‎ 由f(x)的单调性及f‎-‎‎4‎‎3‎=f(2)=5,‎ 得f(x)>5的解集为 xx<-‎4‎‎3‎,或x>2‎‎.‎ ‎(2)由f(x)≤a|x+3|得a≥‎|x+1|‎‎|x-1|+|x+3|‎.‎ 由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|得‎|x+1|‎‎|x-1|+|x+3|‎‎≤‎‎1‎‎2‎,‎ 即a≥‎1‎‎2‎(当且仅当x≥1或x≤-3时等号成立).‎ 故a的最小值为‎1‎‎2‎.〚导学号74920371〛‎