- 1.02 MB
- 2021-06-30 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
特殊要求问题:
1. 已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线C,直线与曲线C交于A、B两点.
(1)求实数的取值范围;
(2)若,求实数的值
【答案】解:(1)由双曲线的定义知,曲线C是以为焦点的双曲线的右支.
∵,∴,∴曲线C的方程为.
由,消去得,
设,则,解得.
∴实数的取值范围是.
(2)由
,整理得,解得或.
∵,∴为所求.
2. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直线,使得直线与椭圆C有公共点,且直线OA与的距离等于4?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由。
【答案】【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。
【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为,且可知左焦点为
存在性问题:
3.已知点,直线,动点到点的距离等于它到直线的距离.
(Ⅰ)试判断点的轨迹的形状,并写出其方程.
(Ⅱ)是否存在过的直线,使得直线被截得的弦恰好被点所平分?
【答案】本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分13分.
解:(Ⅰ)因点到点的距离等于它到直线的距离,所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线, ………………2分
其方程为. ………………5分
(Ⅱ)解法一:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,
依题意,得. ………………6分
①当直线的斜率不存在时,不合题意. ………………7分
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,………8分
联立方程组,
消去,得,(*) ………………9分
∴,解得. ………………10分
此时,方程(*)为,其判别式大于零, ………………11分
∴存在满足题设的直线 ………………12分
且直线的方程为:即. ………………13分
解法二:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,
依题意,得. ………………6分
易判断直线不可能垂直轴, ………………7分
∴设直线的方程为,………8分
联立方程组,
消去,得, ………………9分
∵,
∴直线与轨迹必相交. ………………10分
又,∴. ………………11分
∴存在满足题设的直线 ………………12分
且直线的方程为:即. ………………13分
解法三:假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于,
依题意,得. ………………6分
∵在轨迹上,
∴有,将,得. ………8分
当时,弦的中点不是,不合题意, ………9分
∴,即直线的斜率, ………10分
注意到点在曲线的张口内(或:经检验,直线与轨迹相交)…11分
∴存在满足题设的直线 ………………12分
且直线的方程为:即. ………………13分
【编号】3649 【难度】一般
4 已知椭圆+=1(a>b>0),过点A(a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数k,使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点D(1,0)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】【解析】(1)由=,a·b=··,得a=,b=1,所以椭圆方程是+y2=1.
(2)将y=kx+2代入+y2=1,
得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*)
记P(x1,y1),Q(x2,y2),以PQ为直径的圆过D(1,0),则PD⊥QD,即(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=kx1+2,y2=kx2+2,得
(k2+1)x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5=0 ……①
又x1x2=,x1+x2=,代入①解得k=,此时(*)方程Δ
>0,∴存在k=,满足题设条件.
定点,定值问题
5. 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-2, 0)、B(2, 0), 动点C满足条件:△ABC的周长为10, 记动点C的轨迹为曲线M.
(Ⅰ) 求曲线M的方程;
B
o
x
A
y
(Ⅱ) 若直线l与曲线M相交于E、F两点,若以EF为直径的圆过点D(3,0),求证:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】本题主要考查直线、圆与椭圆的位置关系等基本知识,考查运算求解能力和探索求解、分析问题、解决问题的能力. 满分13分
解: (Ⅰ) 设C(x, y), ∵ , , ∴ ,
∴ 由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为6的椭圆,除去与x轴的两个交点.
设椭圆方程为
则a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5.∴ 曲线M的方程为: (y≠0).(缺y≠0的扣1分)……5分
B
o
x
A
y
E
D
F
(Ⅱ)法一: 即要使DE⊥DF, 用特值法kDE=1,
由得14y2+30y=0,又y≠0, ∴y=-,代入DE得x=,
由对称性知定点在x轴上, ∴最多只有定点Q……8分
设直线DE的方程为x=my+3,E(x1,y1),
由得(5m2+9)y2+30my=0, 又y≠0, ∴y1=-
∴E(,-), …………………10分
同理F(,) …………………11分
kQE-kQF=-=-=0
得E、Q、F三点共线,得出定点坐标为. …………………13分
法二:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为yx=kx+m,E(x1,y1),F(x1,y1),
由得,
由△=(18mk)2-36(5+9k2)(m2-5)>0, 得5+9k2- m2>0,
………………………8分
又,
因为以EF为直径的圆过点等价于,即
,,
.解得:,,且均满足,
当m1=-3k时,l的方程为y=k(x-3),直线过点Q(3,0),因为点Q不在曲线M上,此时l与曲线M没有两个公共点,不合题意;
当时,的方程为,直线过定点. ……………11分
当直线l的斜率不存在时,直线与曲线M交于两点,此时
,由,得,点在曲线M上,,所以,解得,即直线 满足条件.
∴直线过定点,定点坐标为. ……………………………13分
【编号】698 【难度】较难
6 已知椭圆:的离心率=,点为椭圆上的任意一点,且点到椭圆的两个焦点的距离之和为4. 点的坐标为(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点作直线垂直于轴,交椭圆于点,直线交椭圆C于点.试问,当点在椭圆上运动时,直线是否恒经过定点?若是,请求出点的坐标,若不是,请说明理由.
【答案】解(1)的离心率=,-------2分
点到椭圆的两个焦点的距离之和为4,
所以所求椭圆的方程为:.………5分
(2)设, 又(1,0),
设直线的方程为
由 得:, ---8分
直线的方程为:,令得=
------------------- 11分,
所以直线QN恒经过定点S(4,0).……………12分
7. 如图,已知椭圆:的一
个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点
构成等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,设点关于轴的对称点为.
(ⅰ)求证:直线过轴上一定点,并求出此定点坐标;
(ⅱ)求△面积的取值范围.
【答案】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识,考查运算求解能力和分析问题、解决问题的能力. 满分13分
解:(Ⅰ)因为椭圆的一个焦点是(1,0),所以半焦距=1.
因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
所以,解得
所以椭圆的标准方程为. …(4分)
O
A
A1
y
x
Q
B
(Ⅱ)(i)设直线:与联立并消去得:.
记,,
,
. ……………(5分)
由A关于轴的对称点为,得,
根据题设条件设定点为(,0),
得,即.
所以
即定点(1 , 0). ……………………………………(8分)
(ii)由(i)中判别式,解得.
可知直线过定点 (1,0).
所以 ……………(10分)
得, 令
记,得,当时,.
在上为增函数.
所以 ,
得.
故△OA1B的面积取值范围是. ……………(13分)
8. 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,且过双曲线的顶点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)命题:“设、是双曲线上关于它的中心对称的任意两点,为该双曲线上的动点,若直线、均存在斜率,则它们的斜率之积为定值,且定值是”.试类比上述命题,写出一个关于椭圆的类似的正确命题,并加以证明;
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于方程(,不同时为负数)的曲线的统一的一般性命题(不必证明).
【答案】本小题主要考查椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及合情推理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等.满分13分.
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,半焦距为,
则,,
椭圆的方程为. ………………………………5分
(Ⅱ)关于椭圆的正确命题是:设、是椭圆上关于它的中心对称的任意两点,为该椭圆上的动点,若直线、均存在斜率,则它们的斜率之积为定值,且定值是. ………………………………6分
证明如下:
设点,,, ………………………………7分
直线、的斜率分别为,
则, ………………………………8分
点,在椭圆上,
,且,
, 即,…………………………9分
所以,(定值). …………………………10分
(Ⅲ)关于方程(,不同时为负数)的曲线的统一的一般性命题是:设、是方程(,不同时为负数)的曲线上关于它的中心对称的任意两点,为该曲线上的动点,若直线、均存在斜率,则它们的斜率之积为定值,且定值是.……………………13分
最值 与范围问题:
9 设是曲线上任意一点,它到两点、的距离之和等于4,设直线: 与曲线交于、两点,的中点为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)求证:当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上;
(Ⅲ)若,,求△面积的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)由椭圆定义知,曲线是以、为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长,故曲线的方程为.
(Ⅱ)设直线与曲线的交点为,,
由得,因为△,所以,
,.
,
从而得到的中点为的坐标为.
所以线段的中点为在过原点的直线上.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,,设△面积为,由题意可知,
,因为,
所以
.
因为,所以,则,
因此,则.