南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题14：(选讲)不等式与三角、向量综合难点专项研究 5页

南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 5 页 专题 14: 不等式与三角、向量综合专项研究 目录 类型一:不等式与三角 ............................................................................................................................................. 2 类型二:不等式与向量 ............................................................................................................................................. 3 类型三:含多个变量的不等式问题 ......................................................................................................................... 4 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 5 页 类型一:不等式与三角 一､ 高考回顾 1．(16 年江苏) 在锐角三角形 ABC ，若 sinA＝2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是___________． 分析与解：由 sinA＝2sinBsinC，可得 sin(B＋C)＝2sinBsinC， 即 sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC， 两边同时除以 cosBcosC 可得 tanB＋tanC＝2tanBtanC， 考虑消元，根据条件得到了 B，C 所满足的关系，因此可将 tanAtanBtanC 中的 A 消去， 因此有 tanAtanBtanC＝－tanBtanCtan(B＋C)＝(tanB＋tanC)tanBtanC tanBtanC－1 ， 再由 tanB＋tanC＝2tanBtanC 可得：tanAtanBtanC＝2(tanBtanC)2 tanBtanC－1， 至此，消去了 A，继续利用 B，C 满足的关系 tanB＋tanC＝2tanBtanC，可以消去 B 或者 C 转化为一元函数， 再求解，注意观察，可以将 tanBtanC 看作一整体，这样求解就变得简单了， 设 tanBtanC＝t(t＞1)， 则 tanAtanBtanC＝ 2t2 t－1＝2(t－1＋ 1 t－1＋2)≥8． 于是 tanAtanBtanC 最小值为 8，当然得到关于 t 的函数后，也可以利用导数求最小值． 如果能注意到在锐角三角形 中有如下恒等式 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC， tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋2tanBtanC， 考虑整体有： tanAtanBtanC＝tanA＋2tanBtanC≥2 2tanAtanBtanC， 解得 tanAtanBtanC≥8， 可以检验等号能取到，故 tanAtanBtanC 的最小值是 8． 二､ 方法联想 三角与基本不等式综合求最值，需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变 形．“代入消元”是常见的处理方法，“整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程． 三､ 归类研究 1．若△ABC 的内角满足 sinA＋ 2sinB＝2sinC，则 cosC 的最小值是___________． 答案： 6－ 2 4 ． 2．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝2，b2－c2＝8，则 cosA 的最小值是___________． 答案： 3 2 ． 3．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D， 且 BD＝1，则 4a＋c 的最小值是___________． 答案：9． 4．已知，均为锐角，且 cos(＋)＝ sin sin，则 tan的最大值是___________． 答案： 2 4 ． 5．在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b2－a2＝ac，则 3 tanA－ 4 tanB的最小值___________． 答案：2 2． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 5 页 F E D C B A y x F E D C B A 6．在△ABC 中，3sin2B＋7sin2C＝2sinAsinBsinC＋2sin2A，则 sin(A＋π 4)的值是 ． 答案：－ 10 10 ． 7．在锐角△ABC 中，已知 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则 1 tanA＋ 1 tanB＋ 1 tanC的最小值为 ． 答案： 13 2 ． 类型二:不等式与向量 一､ 高考回顾 1．(15 年天津)在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点 E 和点 F 分别 在线段 BC 和 DC 上，且 BE→＝λ BC→，DF→＝ 1 9λDC→，则 AE→·AF→的最小值为____________． 分析与解：解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算．第二是：建立恰当 的坐标系，进行坐标运算． 方法 1：选择 AB→，AD→作为一组基底，易知 AB→2＝4，AD→2＝1， AB→·AD→＝1， AE→＝ AB→＋ BE→＝ AB→＋λBC→＝ AB→＋λ(－ AB→＋AD→＋1 2 AB→) ＝(1－1 2λ) AB→＋λAD→， AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋ 1 9λDC→＝ 1 18λ AB→＋AD→， 于是 AE→·AF→＝[(1－1 2λ) AB→＋λAD→]·( 1 18λ AB→＋AD→)＝ 1 18λ(1－1 2λ) AB→2＋(19 18－1 2λ) AB→·AD→＋λAD→2 ＝1 2λ＋ 2 9λ＋17 18≥29 18(当 λ＝2 3时取等号)， 所以 AE→·AF→的最小值为29 18． 方法 2：建立如图所示的直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，C(3 2， 3 2 )，D(1 2， 3 2 )， 根据 BE→＝λBC→，DF→＝ 1 9λDC→，可以求得 E(2－λ 2， 3 2 λ)，F( 1 9λ＋1 2， 3 2 )， 于是 AE→·AF→＝(2－λ 2)( 1 9λ＋1 2)＋ 3 2 λ× 3 2 ＝＝1 2λ＋ 2 9λ＋17 18≥29 18． 二､ 方法联想 向量与基本不等式综合求最值，两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最 值，另一类是：将关于向量的已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量积的最 值．解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 5 页 N M y x O 三､ 归类研究 1．已知 AB→⊥ AC→，| AB→|＝1 t，| AC→|＝t，若 P 点△ABC 所在平面内一点， 且 AP→＝ AB→ | AB→| ＋4 AC→ | AC→| ，则 PB→·PC→的最大值是___________． 答案：13． 2．在△ABC 中，D 为边 BC 的中点，记|AD→|＝m，|BC→|＝n，若 AB→·AC→＝1，则 1 m2－ 1 n2的最大值是__________． 答案：1 4． 3．以 C 为钝角的△ABC 中，BC＝3，BA·BC＝12，当角 A 最大时，△ABC 面积为__________． 答案：3． 4．已知平面向量 a，b 不共线，且满足条件|a|＝1，|a＋2b|＝1，则|b|＋|a＋b|的取值范围是__________． 答案： (1， 2]． 5．在直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M 为 CD 的中点，N 为线段 BC 上一点（不 包括端点），若AC→＝λAM→＋μAN→，则1 λ＋3 μ的最小值为 ． 答案：27 4 ． 类型三:含多个变量的不等式问题 一､ 高考回顾 1．(12 江苏)已知正数 a，b，c 满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则b a的取值范围是 ． 分析与解：由 5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc 可得：5－3a c≤b c≤4－a c，lnb c≥a c， 设a c＝x，b c＝y，则有 5－3x≤y≤4－x，y≥ex，作出该不等式组构成的平面区域(如图所示)， 当直线 y＝kx 与 y＝ex 相切于点 M 时，b a＝y x最小，容易求得 M(1，e)， 因此b a的最小值是 e，,当 y＝kx 过点 N(1 2，7 2)时，b a最大，最大值为 7， 所以b a的取值范围是[1，e]． 二､ 方法联想 含有多个变量的不等式问题，两种处理方法：一是消元（包括等量替换、不等替换）．二是减元，例 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 5 页 如高考回顾中问题用的就是减元的方法，这种减元的方法也是常用的，务必掌握． 三､ 归类研究 1．已知 x，y 为正实数，则 4x 4x＋y＋ y x＋y的最大值是___________． 答案：4 3．提示：减元， 4x 4x＋y＋ y x＋y＝ 4 4＋y x ＋ y x 1＋y x ＝ 4 4＋t＋ t 1＋t，其中 t＝y x． 2．设 a，b，c 是正实数，满足 b＋c≥a，则b c＋ c a＋b的最小值为___________． 答案： 2－1 2．提示：消元(不等替换)、减元， b c＋ c a＋b≥b c＋ c (b＋c)＋b＝b c＋ c 2b＋c＝b c＋ 1 2b c＋1 ＝t＋ 1 2t＋1，其中 t＝b c． 3．若不等式 x2＋xy≤a(x2＋y2)对任意的正实数 x，y 恒成立，则实数 a 的最小值是___________． 答案： 2＋1 2 ． 4．已知实数 a、b、c 满足条件 0≤a＋c－2b≤1，且 2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c 的取值范围是_________． 答案：[－1 4，5－ 17 2 ]． 5．已知 a，b，c 为正数，且 a＋2b≤5c， 3 a＋ 4 b≤ 5 c，则 a＋3b c 的取值范围是____________． 答案：[27 5 ，7]．