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- 2021-06-30 发布
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课标
版
第五节 指数与指数函数
1.指数幂的概念
(1)根式的概念
教材研读
根式的概念
符号表示
备注
如果①
x
n
=
a
,那么
x
叫做
a
的
n
次方根
n
>1且
n
∈N
*
当
n
为奇数时,正数的
n
次方根是一个②
正数
,负数的
n
次方根是一个③
负数
零的
n
次方根是零
当
n
为偶数时,正数的
n
次方根有④
两个
,它们互为⑤
相反数
±
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
=
(
)
n
=⑨
a
(注意
a
必须使
有意义).
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
(i)正数的正分数指数幂:
=⑩
(
a
>0,
m
,
n
∈N
*
,
n
>1).
(ii)正数的负分数指数幂:
=
=
(
a
>0,
m
,
n
∈N
*
,
n
>1).
(iii)0的正分数指数幂是
0
,0的负分数指数幂无意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
(i)
a
r
a
s
=
a
r
+
s
(
a
>0,
r
,
s
∈Q).
(ii)(
a
r
)
s
=
a
rs
(
a
>0,
r
,
s
∈Q).
(iii)(
ab
)
r
=
a
r
b
r
(
a
>0,
b
>0,
r
∈Q).
3.指数函数的图象与性质
a
>1
0<
a
<1
图象
定义域
R
值域
(0,+
∞
)
性质
过定点
(0,1)
当
x
>0时,
y
>1
;
当
x
<0时,
0<
y
<1
当
x
>0时,
0<
y
<1
;
当
x
<0时,
y
>1
在(-
∞
,+
∞
)上是
单调增函数
在(-
∞
,+
∞
)上是
单调减函数
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“
×
”)
(1)
与(
)
n
都等于
a
(
n
∈N
*
).
(
×
)
(2)当
n
∈N
*
时,(
)
n
总有意义.
(
×
)
(3)分数指数幂
可以理解为
个
a
相乘.
(
×
)
(4)函数
y
=3·2
x
与
y
=2
x
+1
都不是指数函数.
(√)
(5)若
a
m
<
a
n
(
a
>0且
a
≠
1),则
m
<
n
.
(
×
)
1.计算[(-2)
6
-(-1)
0
的结果为
( )
A.-9 B.7 C.-10 D.9
答案
B 原式=
-1=2
3
-1=7.故选B.
2.化简
(
x
<0,
y
<0)得
( )
A.2
x
2
y
B.2
xy
C.4
x
2
y
D.-2
x
2
y
答案
D ∵
x
<0,
y
<0,∴
4
=(16
x
8
·
y
4
=1
·(
x
8
·(
y
4
=2
x
2
|
y
|=-2
x
2
y
.
3.函数
f
(
x
)=3
x
+1的值域为
( )
A.(-1,+
∞
) B.(1,+
∞
) C.(0,1) D.[1,+
∞
)
答案
B ∵3
x
>0,∴3
x
+1>1,即函数
f
(
x
)=3
x
+1的值域为(1,+
∞
).
4.函数
f
(
x
)=2
|
x
-1|
的大致图象是
( )
答案
B 当
x
≥
1时,
f
(
x
)=2
x
-1
;当
x
<1时,
f
(
x
)=2
1-
x
,选B.
5.当
a
>0且
a
≠
1时,函数
f
(
x
)=
a
x
-2
-3的图象必过定点
.
答案
(2,-2)
解析
令
x
-2=0,则
x
=2,
此时
f
(
x
)=1-3=-2,
故函数
f
(
x
)=
a
x
-2
-3的图象必过定点(2,-2).
6.若指数函数
f
(
x
)=(
a
-2)
x
为减函数,则实数
a
的取值范围为
.
答案
(2,3)
解析
∵
f
(
x
)=(
a
-2)
x
为减函数,
∴0<
a
-2<1,即2<
a
<3.
考点一 指数幂的化简与求值
典例1
化简下列各式:
考点突破
(1)
+2
-2
×
-(0.01)
0.5
;
(2)
·
b
-2
·(-3
b
-1
)
÷
(4
·
b
-3
;
(3)
.
解析
(1)原式=1+
×
-
=1+
×
-
=1+
-
=
.
(2)原式=-
b
-3
÷
(4
·
b
-3
=-
b
-3
÷
(
)
=-
·
=-
·
=-
.
(3)原式=
=
·
=
.
易错警示
(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一化为分数指数幂,以便
利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的
先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算
结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
1-1
+(0.002
-10
×
(
-2)
-1
+(
-
)
0
=
.
答案
-
解析
原式=
+
-
+1
=
+50
-10(
+2)+1
=
+10
-10
-20+1=-
.
1-2
÷
·
=
.
答案
a
2
解析
原式=
÷
·
=
(
-2
)·
·
=
·
a
·
=
a
2
.
考点二 指数函数的图象及应用
典例2
(1)函数
f
(
x
)=
a
x
-
b
的图象如图,其中
a
,
b
为常数,则下列结论正确的
是
( )
A.
a
>1,
b
<0 B.
a
>1,
b
>0
C.0<
a
<1,
b
>0 D.0<
a
<1,
b
<0
(2)若曲线|
y
|=2
x
+1与直线
y
=
b
没有公共点,则
b
的取值范围是
.
答案
(1)D (2)[-1,1]
解析
(1)由
f
(
x
)=
a
x
-
b
的图象可以观察出,函数
f
(
x
)=
a
x
-
b
在定义域上单调递
减,所以0<
a
<1.
函数
f
(
x
)=
a
x
-
b
的图象是在
f
(
x
)=
a
x
图象的基础上向左平移得到的,所以
b
<0,
故选D.
(2)作出曲线|
y
|=2
x
+1(如图),要使该曲线与直线
y
=
b
没有公共点,只需-1
≤
b
≤
1.
方法技巧
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是
否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般
是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到
的.特别地,当底数
a
与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关指
数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结
合求解.
变式2-1
若将本例(2)中的条件改为若曲线
y
=|2
x
-1|与直线
y
=
b
有两个公
共点,求
b
的取值范围.
解析
曲线
y
=|2
x
-1|与直线
y
=
b
如图所示.由图象可得,
b
的取值范围是(0,
1).
变式2-2
若将本例(2)改为函数
y
=|2
x
-1|在(-
∞
,
k
]上单调递减,求
k
的取值
范围.
解析
因为函数
y
=|2
x
-1|的单调递减区间为(-
∞
,0],所以
k
≤
0,即
k
的取值
范围为(-
∞
,0].
变式2-3
若将本例(2)改为直线
y
=2
a
与函数
y
=|
a
x
-1|(
a
>0且
a
≠
1)的图象
有两个公共点,求
a
的取值范围.
解析
y
=|
a
x
-1|的图象是由
y
=
a
x
的图象先向下平移1个单位,再将
x
轴下方
的图象沿
x
轴翻折到
x
轴上方得到的.
当
a
>1时,如图1,两图象只有一个交点,不合题意;
当0<
a
<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2
a
<1,得到0<
a
<
.
综上可知,
a
的取值范围是
.
考点三 指数函数的性质及应用
典例3
(2017福建南平模拟)已知
a
=
,
b
=
,
c
=
,则
a
、
b
、
c
的
大小关系是
( )
A.
c
<
a
<
b
B.
a
<
b
<
c
C.
b
<
a
<
c
D.
c
<
b
<
a
答案
D
解析
由指数函数
y
=
的性质及-
<-
,可得
a
=
>
b
=
>1,
由指数函数
y
=
的性质及-
<0可得
c
=
<1,
∴
c
<
b
<
a
,故选D.
方法技巧
指数式值的大小比较的常见类型:同底不同指数;同指数不同底;底和指
数均不相同.指数式值的大小比较的常用方法:(1)化为相同指数或相同
底数后利用相应函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0或1
等).
3-1
(2015山东,14,5分)已知函数
f
(
x
)=
a
x
+
b
(
a
>0,且
a
≠
1)的定义域和值域
都是[-1,0],则
a
+
b
=
.
答案
-
解析
①当
a
>1时,
f
(
x
)在[-1,0]上单调递增,则
无解.
②当0<
a
<1时,
f
(
x
)在[-1,0]上单调递减,则
解得
∴
a
+
b
=-
.
3-2
已知函数
f
(
x
)=
.
(1)若
a
=-1,求
f
(
x
)的单调区间;
(2)若
f
(
x
)有最大值3,求
a
的值;
(3)若
f
(
x
)的值域是(0,+
∞
),求
a
的值.
解析
(1)当
a
=-1时,
f
(
x
)=
,令
g
(
x
)=-
x
2
-4
x
+3,由于
g
(
x
)在(-
∞
,-2)上
单调递增,在(-2,+
∞
)上单调递减,而
y
=
在R上单调递减,所以
f
(
x
)在(-
∞
,-2)上单调递减,在(-2,+
∞
)上单调递增,即函数
f
(
x
)的单调递增区间是
(-2,+
∞
),单调递减区间是(-
∞
,-2).
(2)令
g
(
x
)=
ax
2
-4
x
+3,
则
f
(
x
)=
,
由于
f
(
x
)有最大值3,所以
g
(
x
)应有最小值-1,
因此必有
解得
a
=1,即当
f
(
x
)有最大值3时,
a
的值等于1.
(3)由指数函数的性质知,
要使
f
(
x
)的值域为(0,+
∞
),
应使
y
=
ax
2
-4
x
+3的值域为R,
因此只能
a
=0(因为若
a
≠
0,
则
y
=
ax
2
-4
x
+3为二次函数,其值域不可能为R).
故
a
的值为0.
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