高考文科数学复习备课课件：第四节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 35页

文数 课标 版 第四节　函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象及应用 1.用“五点法”画 y = A sin( ωx + φ )( A , ω ≠ 0)在一个周期内的简图 用五点法画 y = A sin( ωx + φ )( A , ω ≠ 0)在一个周期内的简图时,一般先列表, 后描点,连线,其中所列表如下: 教材研读 2.由函数 y =sin x 的图象通过变换得到 y = A sin( ωx + φ )( A >0, ω >0, φ ≠ 0)的图 象的步骤   3.函数 y = A sin( ωx + φ )( A >0, ω >0, x ∈[0,+ ∞ ))的物理意义 (1)振幅为 A . (2)周期 T =               . (3)频率 f =               =               . 　　(4)相位是        ωx + φ      . (5)初相是 φ . 注:本节关于函数 y = A sin( ωx + φ )的一些方法与结论可类比推理到 y = A cos ( ωx + φ )及 y = A tan( ωx + φ ).   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平 移的长度一致.   ( × ) (2) y =sin   的图象是由 y =sin   的图象向右平移   个单位得到 的.   (√) (3)函数 f ( x )= A sin( ωx + φ )的图象的两条相邻对称轴间的距离为一个周期.   ( × ) (4)函数 y = A cos( ωx + φ )的最小正周期为 T ,那么函数图象的两个相邻对称 中心之间的距离为   .   (√) 1. y =2sin   的振幅、频率和初相分别为   (　　) A.2,   ,-   　    B.2,   ,-   C.2,   ,-   　    D.2,   ,-   答案     A　由振幅、频率和初相的定义可知,函数 y =2sin   的振幅 为2,频率为   ,初相为-   . 2.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)将函数 y =2sin   的图象向右平移   个周 期后,所得图象对应的函数为   (　　) A. y =2sin   　    B. y =2sin   C. y =2sin   　    D. y =2sin   答案     D　该函数的周期为π,将其图象向右平移   个单位后,得到的图 象对应的函数为 y =2sin   =2sin   ,故选D. 3.(2016四川,4,5分)为了得到函数 y =sin   的图象,只需把函数 y =sin x 的图象上所有的点   (　　) A.向左平行移动   个单位长度 B.向右平行移动   个单位长度 C.向上平行移动   个单位长度 D.向下平行移动   个单位长度 答案     A　根据“左加右减”的原则可知,把函数 y =sin x 的图象上所有 的点向左平行移动   个单位长度可得 y =sin   的图象.故选A. 4.把 y =sin   x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得 到 y =sin ωx 的图象,则 ω 的值为 　　　     . 答案        解析 　由题意得 ω =   ×   =   . 5.已知函数 f ( x )=sin( ωx + φ )( ω >0)的图象如图所示,则 ω = 　　　     .   答案        解析 　由题图可知,   =   -   =   , 即 T =   ,所以   =   , 故 ω =   . 6.用五点法作函数 y =sin   在一个周期内的图象时,主要确定的五个 点是 　　　     、 　　　     、 　　　     、 　　　     、 　　　     . 答案        ;   ;   ;   ;   解析 　分别令 x -   =0,   ,π,   π,2π,即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为 0,1,0,-1,0). 考点一　函数 y = A sin( ωx + φ )的图象及变换 典例1 　某同学用“五点法”画函数 f ( x )= A sin( ωx + φ )   在某 一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: 考点突破 ωx + φ 0   π   2π x     A sin( ωx + φ ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x )的解析式; (2)将 y = f ( x )图象上所有点向左平行移动   个单位长度,得到 y = g ( x )的图 象,求 y = g ( x )的图象离原点 O 最近的对称中心; (3)说明函数 f ( x )的图象是由 y =sin x 的图象经过怎样的变换得到的. ωx + φ 0   π   2π x           A sin( ωx + φ ) 0 5 0 -5 0 解析 　(1)根据表中已知数据,解得 A =5, ω =2, φ =-   ,数据补全如下表: 且函数解析式为 f ( x )=5sin   . (2)由(1)知 f ( x )=5sin   , 因此 g ( x )=5sin   =5sin   . 因为 y =sin x 图象的对称中心为( k π,0), k ∈Z, 则 y = g ( x )图象的对称中心为   , k ∈Z, 其中离原点 O 最近的对称中心为   . (3)把 y =sin x 的图象上所有的点向右平移   个单位长度,得到 y =sin 的图象,再把 y =sin   的图象上的点的横坐标缩短到原来的   (纵坐标不变),得到 y =sin   的图象,最后把 y =sin   的图象 上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),即可得到 f ( x )= 5sin 的图象. 1.由 y =sin ωx 到 y =sin( ωx + φ )的变换:向左平移   ( ω >0, φ >0)个单位长度而 非 φ 个单位长度. 易错警示 2.平移前后两个函数的名称如果不一致,应先利用诱导公式化为同名函 数, ω 为负时应先变成正值. 1-1     (2016课标全国Ⅱ,7,5分)若将函数 y =2sin 2 x 的图象向左平移   个 单位长度,则平移后图象的对称轴为   (　　) A. x =   -   ( k ∈Z)　    B. x =   +   ( k ∈Z) C. x =   -   ( k ∈Z)　    D. x =   +   ( k ∈Z) 答案     B　将函数 y =2sin 2 x 的图象向左平移   个单位长度得到函数 y = 2sin   =2sin   的图象,由2 x +   = k π+   ( k ∈Z),可得 x =   +   ( k ∈Z).则平移后图象的对称轴为 x =   +   ( k ∈Z),故选B. 1-2     (2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数 y =sin x -   cos x 的图象可由函数 y = 2sin x 的图象至少向右平移 　　　     个单位长度得到. 答案        解析 　函数 y =sin x -   cos x =2sin   的图象可由函数 y =2sin x 的图象 至少向右平移   个单位长度得到. 1-3 　函数 y =cos(2 x + φ )(-π ≤ φ <π)的图象向右平移   个单位后,与函数 y = sin   的图象重合,则 φ = 　　　     . 答案        解析　 将 y =cos(2 x + φ )的图象向右平移   个单位后得到 y =cos 的图象,化简得 y =-cos(2 x + φ ),又可变形为 y =sin   . 由题意可知 φ -   =   +2 k π( k ∈Z),所以 φ =   +2 k π( k ∈Z),结合-π ≤ φ <π知, φ =   . 考点二　由图象求函数 y = A sin( ωx + φ )+ k 的解析式 典例2     (2016课标全国Ⅱ,3,5分)函数 y = A sin( ωx + φ )的部分图象如图所 示,则   (　　)   A. y =2sin   　    B. y =2sin   C. y =2sin   　     D. y =2sin   答案     A 解析 　由题图可知 A =2,   =   -   =   ,则 T =π,所以 ω =2,则 y =2sin(2 x + φ ), 因为题图经过点   ,所以2sin   =2,所以   + φ =2 k π+   , k ∈Z, 即 φ =2 k π-   , k ∈Z,当 k =0时, φ =-   , 所以 y =2sin   ,故选A. 方法技巧 根据函数 y = A sin( ωx + φ )+ k ( A >0, ω >0)的图象求其解析式时,主要从以下 四个方面来考虑: (1) A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A =   ; (2) k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k =   ; (3) ω 的确定:利用图象先求出周期 T ,然后由 T =   ( ω >0)来确定 ω ; (4) φ 的确定:由函数图象的特殊点得到关于 φ 的方程,结合 φ 的范围确定 φ . 2-1     (2016河北石家庄模拟)函数 f ( x )= A sin( ωx + φ )   的 部分图象如图所示,则 f   的值为   (　　)   A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.-1 答案     D　由图象可得 A =   ,最小正周期 T =4 ×   =π,则 ω =   =2. 又 f   =   sin   =-   ,结合| φ |<   ,得 φ =   ,则 f ( x )=   sin   , f   =   sin   =   sin   =-1,故选D. 2-2　已知函数 f ( x )= A cos( ωx + φ )   的图象如图所示, f   =-   ,则 f   =   (　　)   A.-   　    B.-   　    C.   　    D.   答案     A　由题图知   =   -   =   , ∴ T =   ,即 ω =3, 当 x =   时, y =0, 即3 ×   + φ =2 k π-   , k ∈Z, ∴ φ =2 k π-   , k ∈Z, 令 k =1,则 φ =-   , ∴ f ( x )= A cos   . 由题图可知,函数图象过点   , 即 A cos   =-   ,得 A =   , ∴ f ( x )=   cos   , 故 f   =   cos   =-   . 考点三　函数 y = A sin( ωx + φ )的图象与性质的综合应用 典例3　 已知函数 f ( x )= A sin( ωx + φ )   的最大值为2,最小 正周期为π,直线 x =   是其图象的一条对称轴. (1)求函数 f ( x )的解析式; (2)求函数 g ( x )= f   - f   的单调递增区间. 解析 　(1)由题意,得 A =2, ω =   =2, 又直线 x =   是 f ( x )的图象的一条对称轴, ∴2sin   = ± 2, ∴sin   = ± 1, ∴   + φ = k π+   ( k ∈Z), 解得 φ = k π+   ( k ∈Z),又0< φ <   ,∴ φ =   . 故 f ( x )=2sin   . (2) g ( x )=2sin   -2sin   =2sin 2 x -2sin   =2sin 2 x -2   =sin 2 x -   cos 2 x =2sin   . 令2 k π-   ≤ 2 x -   ≤ 2 k π+   , k ∈Z, 得 k π-   ≤ x ≤ k π+   , k ∈Z. 所以函数 g ( x )的单调递增区间是   , k ∈Z. 规律总结 函数 y = A sin( ωx + φ )( A >0, ω >0)的常用性质 (1)奇偶性:当 φ = k π( k ∈Z)时,函数 y = A sin( ωx + φ )为奇函数;当 φ = k π+   ( k ∈ Z)时,函数 y = A sin( ωx + φ )为偶函数. (2)周期性:函数 y = A sin( ωx + φ )( A >0, ω >0)具有周期性,其最小正周期为 T =   . (3)单调性:根据 y =sin x 的单调性来研究,由-   +2 k π ≤ ωx + φ ≤   +2 k π, k ∈Z 得单调增区间;由   +2 k π ≤ ωx + φ ≤   +2 k π, k ∈Z得单调减区间. (4)对称性:利用 y =sin x 的对称性来研究,由 ωx + φ = k π( k ∈Z)求得对称中心 的横坐标;由 ωx + φ = k π+   ( k ∈Z)得对称轴方程. 3-1 　已知函数 f ( x )=   sin( ωx + φ )   的图象关于直线 x =   对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求 ω 和 φ 的值; (2)当 x ∈   时,求函数 y = f ( x )的最大值和最小值. 解析　 (1)因为 f ( x )的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以 f ( x )的最小 正周期 T =π,从而 ω =   =2. 又因为 f ( x )的图象关于直线 x =   对称, 所以2·   + φ = k π+   , k ∈Z,故 φ = k π-   , k ∈Z, 由-   ≤ φ <   得 k =0, φ =-   . 综上, ω =2, φ =-   . (2)由(1)知 f ( x )=   sin   , 当 x ∈   时,-   ≤ 2 x -   ≤   , ∴当2 x -   =   ,即 x =   时, f ( x ) 最大 =   ; 当2 x -   =-   ,即 x =0时, f ( x ) 最小 =-   . 考点四　三角函数模型的简单应用 典例4 　下图为一个缆车的示意图,该缆车半径为4.8米,圆上最低点与地 面距离为0.8米,且60秒转动一圈,图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时 针转动 θ 角到 OB ,设 B 点与地面间的距离为 h . (1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB ,求 h 与 t 之间的函数关系式,并求 缆车到达最高点时用的最少时间.   解析　(1)以圆心 O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则以 Ox 为 始边, OB 为终边的角为 θ -   ,故点 B 的坐标为   , ∴ h =5.6+4.8sin   .   (2)点 A 在圆上转动的角速度是   =   弧度/秒,故 t 秒转过的弧度数为   t , ∴ h =5.6+4.8sin   , t ∈[0,+ ∞ ). 到达最高点时, h =10.4米, 故sin   =1,所以   t -   =   +2 k π( k ∈Z), ∴ t min =30, ∴缆车到达最高点时,用的最少时间为30秒.   方法技巧 解三角函数应用问题的基本步骤 4-1     某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t (单位:h)的变化近似满足函 数关系: f ( t )=10-   cos   t -sin   t , t ∈[0,24). 则实验室这一天的最大温差为 　　　     . 答案 　4 ℃ 解析      f ( t )=10-2     cos   t +   sin   t   =10-2sin   ,因为0 ≤ t <24, 所以   ≤   t +   <   , 所以-1 ≤ sin   ≤ 1. 于是 f ( t )在[0,24)上的最大值为12,最小值为8. 故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.