高考文科数学复习备课课件：第一节　函数及其表示 26页

文数 课标版 第一节　函数及其表示 1.函数与映射的概念 教材研读 函数 映射 两集合 A 、 B 设 A 、 B 是两个① 　非空数集     设 A 、 B 是两个② 　非空集合     对应关系 f : A → B 按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的③ 　任意     一个数 x ,在集合 B 中都有④ 　唯一确定     的数 f ( x )与之对应 按某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的 ⑤ 　任意   一个元素 x ,在集合 B 中都有 ⑥ 　唯一确定     的元素 y 与之对应 名称 称 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应 f : A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y = f ( x ), x ∈ A 对应 f : A → B 2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y = f ( x ), x ∈ A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的⑦ 定义域    ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{ f ( x )| x ∈ A }叫做函数的 ⑧ 　值域     . (2)函数的三要素:⑨ 　定义域     、⑩ 　值域     和   　对应关系     . (3)相等函数:如果两个函数的   　定义域     相同,且   　对应关系     完 全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法:   　解析法     、   　图象法     、   　列表法     . 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的    对应关系     ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几 部分组成,但它表示的是一个函数.   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)函数 y = f ( x )的图象与直线 x = a 最多有2个交点.   ( × ) (2)函数 f ( x )= x 2 -2 x 与 g ( t )= t 2 -2 t 是同一函数.   (√) (3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.   ( × ) (4)若 A =R, B ={ x | x >0}, f : x → y =| x |,则对应 f 是从 A 到 B 的映射.   ( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.   ( × ) (6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并 集.   (√)   1.下列是函数图象的有   (　　)   A.1个　    B.2个　    C.3个　    D.4个 答案     B　①中,当 x >0时,每一个 x 的值对应两个不同的 y 值,因此①不是 函数图象;②中,当 x = x 0 时, y 的值有两个,因此②不是函数图象;③④中,每 一个 x 的值对应唯一的 y 值,因此③④是函数图象,故选B. 2.已知集合 P ={ x |0 ≤ x ≤ 4}, Q ={ y |0 ≤ y ≤ 2},下列不能表示从 P 到 Q 的映射 的是   (　　) A. f : x → y =   x 　    B. f : x → y =   x C. f : x → y =   x 　    D. f : x → y =   答案     C　如果从 P 到 Q 能表示一个映射,根据映射的定义,对 P 中的任一 元素,按照对应关系 f ,在 Q 中有唯一元素和它对应,选项C中,当 x =4时, y =   × 4=   ∉ Q ,故选C. 3.下列各组函数中,表示同一个函数的是   (　　) A. y = x -1和 y =   　    B. y = x 0 和 y =1 C. f ( x )= x 2 和 g ( x )=( x +1) 2 　    D. f ( x )=   和 g ( x )=   答案     D    A中两个函数的定义域不同;B中 y = x 0 的 x 不能取0;C中两函数 的对应关系不同.故选D. 4.函数 f ( x )=   的定义域为 　　　　　　　     . 答案 　[4,5) ∪ (5,+ ∞ ) 解析 　要使函数 f ( x )=   有意义,则   解之得 x ≥ 4且 x ≠ 5.即 函数的定义域为[4,5) ∪ (5,+ ∞ ). 5.已知函数 y = f ( x )满足 f (1)=2,且 f ( x +1)=3 f ( x ),则 f (4)= 　　　     . 答案 　54 解析 　∵ f (1)=2, f ( x +1)=3 f ( x ),∴ f (4)=3 f (3)=9 f (2)=27 f (1)=27 × 2=54. 6.设函数 f ( x )=   则 f ( f (-4))= 　　　     . 答案 　4 解析      f (-4)=   =16,又 f (16)=   =4, ∴ f ( f (-4))=4. 考点一　求函数的定义域 命题角度一　求给定解析式的函数的定义域 典例1      y =   -log 2 (4- x 2 )的定义域是   (　　) A.(-2,0) ∪ (1,2)　    B.(-2,0] ∪ (1,2) C.(-2,0) ∪ [1,2)　    D.[-2,0] ∪ [1,2] 答案     C 解析　 要使函数有意义,必须有   ∴ x ∈(-2,0) ∪ [1,2). 考点突破 1-1　 函数 f ( x )=   +   的定义域为   (　　) A.{ x | x <1}　    B.{ x |0< x <1} C.{ x |0< x ≤ 1}　    D.{ x | x >1} 答案     B　要使函数有意义,则必须满足   ∴0< x <1,选B. 命题角度二　求抽象函数的定义域 典例2 　(1)若 f ( x )的定义域为[0,3],求函数 f ( x 2 -1)的定义域; (2)已知函数 f ( x 2 -1)的定义域为[0,3],求函数 y = f ( x )的定义域; (3)若 f ( x )的定义域为[0,3],求函数 y = f ( x 2 -1)+ f (2 x +1)的定义域. 解析 　(1)因为 f ( x )的定义域为[0,3],所以0 ≤ x 2 -1 ≤ 3,即1 ≤ x 2 ≤ 4,解得1 ≤ x ≤ 2或-2 ≤ x ≤ -1,故函数 y = f ( x 2 -1)的定义域为[-2,-1] ∪ [1,2]. (2)因为函数 f ( x 2 -1)的定义域为[0,3],所以-1 ≤ x 2 -1 ≤ 8,故函数 y = f ( x )的定 义域为[-1,8]. (3)∵ f ( x )的定义域为[0,3], ∴要使函数 y = f ( x 2 -1)+ f (2 x +1)有意义,则   即   得 x =1. ∴函数 y = f ( x 2 -1)+ f (2 x +1)的定义域为{1}. 方法技巧 1.简单函数定义域的求法 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为 准则,列出不等式或不等式组,然后求其解集即可. 2.抽象函数定义域的求法 (1)若已知函数 f ( x )的定义域为[ a , b ],则复合函数 f ( g ( x ))的定义域可由不 等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 求出. (2)若已知函数 f ( g ( x ))的定义域为[ a , b ],则 f ( x )的定义域为 g ( x )在 x ∈[ a , b ]上 的值域. 1-2     (2016黑龙江哈师大附中模拟)已知函数 f ( x )的定义域是[-1,2],则 y = f ( x )+ f (- x )的定义域是   (　　) A.[-1,1]　    B.[-2,2]　    C.[-1,2]　    D.[-2,1] 答案     A　∵函数 f ( x )的定义域是[-1,2], ∴对于函数 y = f ( x )+ f (- x )有-1 ≤ x ≤ 2,-1 ≤ - x ≤ 2, ∴-1 ≤ x ≤ 1. ∴ y = f ( x )+ f (- x )的定义域是[-1,1]. 考点二　求函数的解析式 典例3 　(1)已知 f ( x )是一次函数,且满足3 f ( x +1)-2 f ( x -1)=2 x +17,则 f ( x )的解 析式为 　　　　　　　     . (2)若函数 f ( x )满足 f (   +1)= x +2   ,则函数 f ( x )的解析式为 　　　　　     　     . (3)若函数 f ( x )满足2 f ( x )+ f   =3 x ,则函数 f ( x )的解析式为 　　　　　         . 答案 　(1) f ( x )=2 x +7　(2) f ( x )= x 2 -1( x ≥ 1) (3) f ( x )=2 x -   ( x ≠ 0) 解析　(1)设 f ( x )= ax + b ( a ≠ 0), 则3 f ( x +1)-2 f ( x -1) =3 ax +3 a +3 b -2 ax +2 a -2 b = ax +5 a + b , 则 ax +5 a + b =2 x +17无论 x 为何值都成立, ∴   解得   ∴ f ( x )=2 x +7. (2)解法一(配凑法): ∵ f (   +1)= x +2   =(   +1) 2 -1,   +1 ≥ 1, ∴ f ( x )= x 2 -1( x ≥ 1). 解法二(换元法): 令   +1= t ,则 t ≥ 1,且 x =( t -1) 2 ,代入已知等式可得 f ( t )= t 2 -1( t ≥ 1), ∴ f ( x )= x 2 -1( x ≥ 1). (3)∵2 f ( x )+ f   =3 x ,   ① 把①中的 x 换成   ,得2 f   + f ( x )=   ,   ② ① × 2-②,得3 f ( x )=6 x -   , ∴ f ( x )=2 x -   ( x ≠ 0). 方法技巧 求函数解析式的常见方法 (1) 待定系数法 : 若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函数 ), 则可用待 定系数法 . (2) 配凑法 : 由已知条件 f ( g ( x ))= F ( x ), 可将 F ( x ) 改写成关于 g ( x ) 的表达式 , 然 后以 x 替代 g ( x ),便得 f ( x )的解析式. (3)换元法:已知复合函数 f ( g ( x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元 的取值范围. (4)解方程组法:已知关于 f ( x )与 f   或 f (- x )的表达式,可根据已知条件再 构造出一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f ( x ). 2-1 　定义在(-1,1)内的函数 f ( x )满足2 f ( x )- f (- x )=lg( x +1),求函数 f ( x )的表达 式. 解析 　已知当 x ∈(-1,1)时,有2 f ( x )- f (- x )=lg( x +1),   ① 以- x 代换①中的 x 得2 f (- x )- f ( x )=lg(- x +1),   ② 由①②消去 f (- x )得 f ( x )=   lg( x +1)+   lg(1- x ), x ∈(-1,1). 考点三　分段函数 命题角度一　求函数值 典例4 　(1)设函数 f ( x )=   则 f (-2)+ f (log 2 12)=   (　　) A.3　    B.6　    C.9　    D.12 (2)(2017天津六校联考)已知函数 f ( x )=   则 f (0)+ f (log 2 32)=   (　　) A.19　    B.17　    C.15　    D.13 (3)已知 f ( x )=   则 f (7)= 　　　     . 答案 　(1)C　(2)A　(3)6 解析 　(1)∵-2<1,∴ f (-2)=1+log 2 [2-(-2)]=3; ∵log 2 12>1,∴ f (log 2 12)=   =   =6. ∴ f (-2)+ f (log 2 12)=9. (2) f (0)+ f (log 2 32)=log 2 4+1+2 5-1 =2+1+16=19.故选A. (3)∵7<9, ∴ f (7)= f [ f (7+4)]= f [ f (11)]= f (11-3)= f (8). 又∵8<9,∴ f (8)= f [ f (12)]= f (9)=9-3=6. 即 f (7)=6. 典例5 　(1)(2015课标全国Ⅰ,10,5分)已知函数 f ( x )=   且 f ( a )=-3,则 f (6- a )=   (　　) A.-   　    B.-   　    C.-   　    D.-   (2)已知 f ( x )=   则使 f ( x ) ≥ -1成立的 x 的取值范围是 　　　     . 命题角度二　求参数或自变量的取值范围 答案　(1)A　(2)[-4,2] 解析 　(1)当 a ≤ 1时, f ( a )=2 a -1 -2=-3, 即2 a -1 =-1,不成立,舍去; 当 a >1时, f ( a )=-log 2 ( a +1)=-3, 即log 2 ( a +1)=3, 得 a +1=2 3 =8, ∴ a =7,此时 f (6- a )= f (-1)=2 -2 -2=-   .故选A. (2)由题意知   或   解得-4 ≤ x ≤ 0或0< x ≤ 2,故 x 的取值范围是[-4,2]. 易错警示 (1)在求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值属于哪个区间,再 代入相应的解析式求解.当自变量的值不确定时,要分类讨论. (2)对于分段函数,已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时,应 根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是 否符合相应段的自变量的取值范围. 3-1 　已知函数 f ( x )=   若 f ( f (1))=4 a ,则实数 a =   (　　) A.   　    B.   　    C.2　    D.4 答案    C     f ( f (1))= f (2)=4+2 a =4 a ,∴ a =2,故选C.