高考文科数学复习备课课件：第三节　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 32页

文数 课标 版 第三节　二元一次不等式 ( 组 ) 及简单的线性规划问题 1.二元一次不等式表示的平面区域 一般地,二元一次不等式 Ax + By + C >0在平面直角坐标系中表示直线 Ax + By + C =0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成① 　虚线     以 表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式 Ax + By + C ≥ 0所 表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成② 　实线 . 教材研读 对于直线 Ax + By + C =0同一侧的所有点,把其坐标( x , y )代入 Ax + By + C ,所得 到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点( x 0 , y 0 ), 由 Ax 0 + By 0 + C 的正负即可判断 Ax + By + C >0(或<0)表示直线哪一侧的平面 区域. 2.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由关于 x , y 的③ 　一次     不等式组成的不等式组 目标函数 关于 x , y 的函数解析式,如 z = x +2 y 线性目标函数 关于 x , y 的④ 　一次函数     解析式 可行解 满足线性约束条件的解⑤ 　( x , y )     可行域 所有⑥ 　可行解     组成的集合 最优解 使目标函数取得⑦ 　最大值或最小值     的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区 域的交集.   (√) (2)不等式 Ax + By + C >0表示的平面区域一定在直线 Ax + By + C =0的上方.   ( × ) (3)线性目标函数的最优解可以有无数个.   (√) (4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.(√) (5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.   ( × ) 1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3 x -2 y - a =0的两侧,则 a 的取值范围为   (　　) A.(-24,7)　    B.(-7,24) C.(- ∞ ,-7) ∪ (24,+ ∞ )　    D.(- ∞ ,-24) ∪ (7,+ ∞ ) 答案     B　根据题意知(-9+2- a )·(12+12- a )<0,即( a +7)·( a -24)<0,解得-7< a <24. 2.不等式组   表示的平面区域是   (　　)   答案     B     x -3 y +6 ≥ 0表示直线 x -3 y +6=0及其右下方, x - y +2<0表示直线 x - y +2=0的左上方,故不等式组表示的平面区域如选项B所示. 3.不等式组   所表示的平面区域的面积等于   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     C　平面区域如图中阴影部分所示.   解   可得 A (1,1), 易得 B (0,4), C   ,则| BC |=4-   =   . ∴ S △ ABC =   ×   × 1=   . 4.(2016北京,7,5分)已知 A (2,5), B (4,1).若点 P ( x , y )在线段 AB 上,则2 x - y 的最 大值为   (　　) A.-1　    B.3　     C.7　    D.8 答案     C　点 P ( x , y )在线段 AB 上且 A (2,5), B (4,1),如图:   设 z =2 x - y ,则 y =2 x - z , 当直线 y =2 x - z 经过点 B (4,1)时, z 取得最大值,最大值为2 × 4-1=7. 5.若变量 x , y 满足约束条件   则 z =2 x +3 y 的最大值为   (　　) A.2　    B.5　    C.8　    D.10 答案     B　作出不等式组所表示的平面区域,如图. z =2 x +3 y 可化为 y =-   x +   ,当直线 y =-   x +   经过点 A (4,-1)时, z 最大,最大值为2 × 4+3 × (-1)=5.选B. 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 典例1 　(1)若不等式组   表示的平面区域是一个三角形,则 a 的 取值范围是   (　　) A. a ≥   　    B.0< a ≤ 1 C.1 ≤ a ≤   　    D.0< a ≤ 1或 a ≥   (2)(2015重庆,10,5分)若不等式组   表示的平面区域为三角 形,且其面积等于   ,则 m 的值为   (　　) 考点突破 A.-3　    B.1　    C.   　    D.3 答案 　(1)D　(2)B 解析 　(1)作出不等式组   表示的平面区域(如图中阴影部分). 由图知,要使原不等式组表示的平面区域是一个三角形,只需动直线 l : x + y = a 在 l 1 、 l 2 之间(包含 l 2 ,不包含 l 1 )或 l 3 上方(包含 l 3 ).故选D.   点 A 的纵坐标为1+ m ,点 B 的纵坐标为   (1+ m ), C , D 两点的横坐标分别为2, -2 m , 所以 S △ ABC =   (2+2 m )(1+ m )-   (2+2 m )·   (1+ m ) =   (1+ m ) 2 =   , 解得 m =-3(舍去)或 m =1.故选B. (2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2 m <2,即 m >-1,所围 成的区域为△ ABC , S △ ABC = S △ ADC - S △ BDC . 方法技巧 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式.若 满足不等式,则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区 域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即 为各不等式所表示的平面区域的公共部分. (2)当不等式中不等号为 ≥ 或 ≤ 时,边界应画为实线,不等号为>或<时,边 界应画为虚线,特殊点常取原点. 1-1　 若满足条件   的整点( x , y )恰有9个,其中整点是指横、纵 坐标都是整数的点,则整数 a 的值为   (　　) A.-3　    B.-2　    C.-1　    D.0 答案     C　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,当 a =0时, 平面区域内只有4个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当 a =-1时,正好增加(-1,-1), (0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)共5个整点,故选C.   1-2　 若不等式组   所表示的平面区域被直线 y = kx +   分为面积 相等的两部分,则 k = 　　　     . 答案        解析 　由图可知,平面区域为△ ABC 及其内部,直线 y = kx +   恰过 A   , 直线 y = kx +   将三角形 ABC 分成面积相等的两部分,故直线 y = kx +   过 BC 的中点   ,所以   = k ×   +   ,解得 k =   . 考点二　目标函数的最值与范围问题 命题角度一　转化为截距 典例2 　(1)(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设 x , y 满足约束条件   则 z =2 x +3 y -5的最小值为 　　　     . (2)(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若 x , y 满足约束条件   则 z = x -2 y 的 最小值为 　　　     . 答案 　(1)-10　(2)-5 解析 　(1)可行域如图所示(包括边界), z =2 x +3 y -5可化为 y =-   x +   +   ,直 线2 x - y +1=0与 x -2 y -1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,在 y 轴 上的截距最小, z 取最小值, z min =-10.   (2)由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界). z = x -2 y 可化 为 y =   -   ,当直线 x -2 y - z =0过点 B (3,4)时,在 y 轴上的截距最大,则 z 取得最 小值, z min =3-2 × 4=-5.   典例3　(1)(2015课标Ⅰ,15,5分)若 x , y 满足约束条件   则   的 最大值为 　　　     . (2)已知 x , y 满足   则   的取值范围是 　　　     . 答案 　(1)3　(2)   解析　 (1)由约束条件画出可行域,如图. 命题角度二　转化为斜率   的几何意义是可行域内的点( x , y )与原点 O 连线的斜率,所以   的最大 值即为直线 OA 的斜率,又由   得点 A 的坐标为(1,3),则   = k OA =3. (2)不等式组   表示的平面区域如图所示,   因为   =   =1+   ,而   表示平面区域内的点与点 A (4, 2)连线的斜率,由图知斜率的最小值为0,最大值为 k AB =   =   ,所以1+   的取值范围是   ,即   的取值范围是   . 典例4     (2016山东,4,5分)若变量 x , y 满足   则 x 2 + y 2 的最大值是   (　　) A.4　    B.9　    C.10　    D.12 答案     C 解析 　作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界), 命题角度三　转化为距离 x 2 + y 2 表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的 点 A (3,-1)与原点的距离最大,所以 x 2 + y 2 的最大值是10,故选C. 典例5　 (1)(2015福建,10,5分)变量 x , y 满足约束条件   若 z =2 x - y 的最大值为2,则实数 m 等于   (　　) A.-2　    B.-1　    C.1　    D.2 (2)(2014课标Ⅰ,11,5分)设 x , y 满足约束条件   且 z = x + ay 的最小值 为7,则 a =   (　　) A.-5　    B.3　    C.-5或3　    D.5或-3 答案 　(1)C　(2)B 解析 　(1)当 m <0时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数 z = 2 x - y 无最大值.当 m =2时,目标函数 z =2 x - y 的最大值为0.于是,选C. 命题角度四　含参问题 (2)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中 A   .平移 直线 x + ay =0,可知在点 A   处, z 取得最值,   因此   + a ×   =7,化简得 a 2 +2 a -15=0,解得 a =3或 a =-5,但 a =-5时, z 取得 最大值,故舍去,故选B. 方法技巧 1.线性规划问题的解题步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行 直线系中过原点的那一条直线; (2)平移——将直线平行移动,以确定最优解的对应点的位置; (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可 求出最值. 2.常见代数式的几何意义 (1)   表示点( x , y )与原点(0,0)的距离; (2)   表示点( x , y )与点( a , b )之间的距离; (3)   表示点( x , y )与原点(0,0)连线的斜率; (4)   表示点( x , y )与点( a , b )连线的斜率. 2-1　 若 x , y 满足   且 z = y - x 的最小值为-4,则 k 的值为   (　　) A.2　    B.-2　    C.   　    D.-   答案     D　作出可行域,如图中阴影部分所示,直线 kx - y +2=0与 x 轴交于 点 A   .当目标函数线经过点 A 时 z 取最小值.   ∵ z = y - x 的最小值为-4, ∴   =-4, 解得 k =-   ,故选D. 2-2 　动点 P ( a , b )在区域   内运动,则 w =   的取值范围是 　　　　　　　　     . 答案　 (- ∞ ,-1] ∪ [3,+ ∞ ) 解析　 画出可行域如图, w =   =1+   , 设 k =   ,则 k ∈(- ∞ ,-2] ∪ [2,+ ∞ ),所以 w =   的取值范围是(- ∞ ,-1] ∪ [3,+ ∞ ). 考点三　线性规划的实际应用 典例6     (2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需 要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg, 用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时. 生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企 业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产 产品A、产品B的利润之和的最大值为 　　　     元. 答案 　216 000 解析 　设生产产品A x 件,生产产品B y 件,利润之和为 z 元,则 z =2 100 x + 900 y . 根据题意得   即   作出可行域(如图). 由   得   当直线2 100 x +900 y - z =0过点 A (60,100)时, z 取得最大值, z max =2 100 × 60+ 900 × 100=216 000. 故所求的最大值为216 000元. 方法技巧 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答. 3-1　 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A , B 两种原料.已知生产1吨每 种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙 产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为   (　　) 甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨) 1 2 8 A.12万元　    B.16万元　     C.17万元　    D.18万元 答案     D　设该企业每天生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,每天获得的利润 为 z 万元,则有 z =3 x +4 y ,由题意得, x , y 满足:   不等式组表示的可 行域是以 O (0,0), A (4,0), B (2,3), C (0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线 性规划的有关知识,知当直线3 x +4 y - z =0过点 B (2,3)时, z 取最大值18,故该 企业每天可获得最大利润为18万元.