高考文科数学复习备课课件：第三节　合情推理与演绎推理 30页

文数 课标 版 第三节　合情推理与演绎推理 类型 定义 特点 归纳推理 根据一类事物的① 　部分      对象具有某种性 质,推出这类事物的② 　全部     对象都具有这 种性质的推理 由③ 　部分     到④ 　整体     、由⑤ 　个别     到⑥ 　一般     类比推理 根据两类事物之间具有某些类似(或一致)性, 推测一类事物具有另一类事物类似(或相同) 的性质的推理 由⑦ 　特殊     到⑧ 　特殊     1.合情推理 教材研读 2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为 演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: (i)大前提——已知的一般原理; (ii)小前提——所研究的特殊情况; (iii)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.   ( × ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推理.   (√) (3)演绎推理的结论一定是正确的.   ( × ) (4)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.   ( × ) (5)“所有3的倍数都是9的倍数,某数 m 是3的倍数,则 m 一定是9的倍 数”,这是三段论推理,其结论是正确的.   ( × )   1.下面几种推理是合情推理的是   (　　) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180 ° ,归纳出所 有三角形的内角和都是180 ° ; ③某次考试张军的成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分; ④三角形的内角和是180 ° ,四边形的内角和是360 ° ,五边形的内角和是5 40 ° ,由此得出凸 n ( n ≥ 3)边形的内角和是( n -2)·180 ° . A.①②　    B.①③　    C.①②④　    D.②④ 答案     C　①是类比推理,②④是归纳推理,③不是合情推理. 2.(1)已知 a 是三角形一边的长, h 是该边上的高,则三角形的面积是   ah , 如果把扇形的弧长 l ,半径 r 分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的 面积为   lr ;(2)由1=1 2 ,1+3=2 2 ,1+3+5=3 2 ,可得到1+3+5+ … +2 n -1= n 2 .(1)(2) 两个推理过程分别属于   (　　) A.类比推理、归纳推理　    B.类比推理、演绎推理 C.归纳推理、类比推理　    D.归纳推理、演绎推理 答案     A　(1)三角形的性质与扇形的性质有相似之处,此种推理为类比 推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.故选A. 3.“因为指数函数 y = a x 是增函数(大前提),又 y =   是指数函数(小前提), 所以函数 y =   是增函数(结论)”,上面推理的错误在于   (　　) A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 答案     A　当 a >1时, y = a x 为增函数;当0< a <1时, y = a x 为减函数,故大前提 错误. 4.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4, 类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 　　　     . 答案 　1∶8 解析 　∵两个正三角形是相似三角形,∴它们的面积比是相似比的平 方.类似地,两个正四面体是两个“相似”几何体,体积比为相似比的立 方,∴所求体积比为1∶8. 5.在△ ABC 中,不等式   +   +   ≥   成立,在凸四边形 ABCD 中,不等式   +   +   +   ≥   成立,在凸五边形 ABCDE 中,不等式   +   +   +   +   ≥   成立, …… ,依此类推,在凸 n 边形 A 1 A 2 … A n 中,不等式   +   + … +   ≥ 　　　　　　     成立( n ≥ 3,且 n ∈N * ). 答案        解析 　∵在△ ABC 中,   +   +   ≥   =   ,在凸四边形 ABCD 中,   +   +   +   ≥   =   ,在凸五边形 ABCDE 中,   +   +   +   +   ≥   =   , …… , ∴在凸 n 边形 A 1 A 2 … A n 中,   +   + … +   ≥   ( n ≥ 3,且 n ∈N * ). 考点一　类比推理 典例1 　(1)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为 复数集): ①由“若 a , b ∈R,则 a - b =0 ⇒ a = b ”类比推出“若 a , b ∈C,则 a - b =0 ⇒ a = b ”; ②由“若 a , b , c , d ∈R,则复数 a + b i= c + d i ⇒ a = c , b = d ”类比推出“若 a , b , c , d ∈Q,则 a + b   = c + d   ⇒ a = c , b = d ”; ③由“若 a , b ∈R,则 a - b >0 ⇒ a > b ”类比推出“若 a , b ∈C,则 a - b >0 ⇒ a > b ”; ④由“若 x ∈R,则| x |<1 ⇒ -1< x <1”类比推出“若 z ∈C,则| z |<1 ⇒ -1< z < 1”. 考点突破 其中类比结论正确的个数是   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4 (2)如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 a i ( i =1,2,3, 4),此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离为 h i ( i =1,2,3,4),若   =   =   =   = k ,则1 × h 1 +2 × h 2 +3 × h 3 +4 × h 4 =   .类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S i ( i =1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 H i ( i =1,2,3,4),若   =   =   =   = k ,则 H 1 +2 H 2 +3 H 3 +4 H 4 的值为   (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案 　(1)B　(2)B 解析 　(1)类比结论正确的只有①②. (2)在平面凸四边形中,连接 P 点与各个顶点,将其分成四个小三角形,   根据三角形面积公式,可得 S =   ( a 1 h 1 + a 2 h 2 + a 3 h 3 + a 4 h 4 ) =   ( kh 1 +2 kh 2 +3 kh 3 +4 kh 4 ) =   ( h 1 +2 h 2 +3 h 3 +4 h 4 ). 所以 h 1 +2 h 2 +3 h 3 +4 h 4 =   . 类似地,连接 Q 点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有 V =   ( S 1 H 1 + S 2 H 2 + S 3 H 3 + S 4 H 4 ) =   ( kH 1 +2 kH 2 +3 kH 3 +4 kH 4 ) =   ( H 1 +2 H 2 +3 H 3 +4 H 4 ), 所以 H 1 +2 H 2 +3 H 3 +4 H 4 =   . 方法技巧 在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要 注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应 球,面积对应体积;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应 线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等. 1-1 　在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S 1 ,外接 圆面积为 S 2 ,则   =   .推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体 P - ABC 的内切球体积为 V 1 ,外接球体积为 V 2 ,则   =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     C　正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故   =   . 考点二　归纳推理 命题角度一　与数字有关的等式的推理 典例2　 (1)(2015陕西,16,5分)观察下列等式 1-   =   1-   +   -   =   +   1-   +   -   +   -   =   +   +   …… 据此规律,第 n 个等式可为 　　　　　　　　　　     . (2)(2016山东,12,5分)观察下列等式:   +   =   × 1 × 2;   +   +   +   =   × 2 × 3;   +   +   + … +   =   × 3 × 4;   +   +   + … +   =   × 4 × 5; …… 照此规律,   +   +   + … +   = 　　　     . 答案 　(1)1-   +   -   + … +   -   =   +   + … +   (2)   解析 　(1)规律为等式左边共有2 n 项,且等式左边分母分别为1,2, … ,2 n , 分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-   +   -   + … +   -   ;等式右 边共有 n 项,且分母分别为 n +1, n +2, … ,2 n ,分子为1,即为   +   + … +   .所以第 n 个等式可为1-   +   -   + … +   -   =   +   + … +   . (2)观察前4个等式,由归纳推理可知   +   + … +   =   × n × ( n +1)=   . 典例3 　(1)设 n 为正整数, f ( n )=1+   +   + … +   ,计算得 f (2)=   , f (4)>2, f (8)>   , f (16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为 　　　　　　　     . (2)已知 x ∈(0,+ ∞ ),观察下列各式: x +   ≥ 2, x +   =   +   +   ≥ 3, x +   =   +   +   +   ≥ 4, …… ,归纳得 x +   ≥ n +1( n ∈N * ),则 a = 　　　     . 答案 　(1) f (2 n ) ≥   ( n ∈N * )　(2) n n 解析 　(1)∵ f (2 1 )=   , f (2 2 )>2=   , f (2 3 )>   , f (2 4 )>   ,∴归纳得 f (2 n ) ≥   ( n ∈N * ). (2)第一个式子是 n =1的情况,此时 a =1 1 =1;第二个式子是 n =2的情况,此时 a =2 2 =4;第三个式子是 n =3的情况,此时 a =3 3 =27,归纳可知 a = n n . 命题角度二　与不等式有关的推理 典例4     (2016广东广州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家 杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.   该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩 上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为   (　　) A.2 017 × 2 2 015 　    B.2 017 × 2 2 014 C.2 016 × 2 2 015 　    D.2 016 × 2 2 014 命题角度三　与数列有关的推理 答案     B 解析 　由题意知数表的每一行都是等差数列, 且第一行数的公差为1,第二行数的公差为2,第三行数的公差为4, …… , 第2 015行数的公差为2 2 014 , 第1行的第一个数为2 × 2 -1 , 第2行的第一个数为3 × 2 0 , 第3行的第一个数为4 × 2 1 , …… 第 n 行的第一个数为( n +1) ×   , 第2 016行只有一个数 M , 则 M =(1+2 016) × 2 2 014 =2 017 × 2 2 014 .故选B. 典例5 　下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,依此规律,第 n 个图形中小正方形的个数是 　　　     ( n ∈N * ).   答案        解析　 由题图可知第 n 个图形中小正方形的个数为1+2+3+ … + n =   . 命题角度四　与图形变化有关的推理 规律总结 (1)归纳推理的一般步骤: ①通过对某些个体的观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规 律;②由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题. (2)归纳是依据特殊现象推出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了 前提所包含的范围. (3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学 的发现很有用. 2-1     (2016湖北优质高中联考)如图所示,将若干个点摆成三角形图案, 每条边(包括两个端点)有 n ( n >1, n ∈N)个点,相应的图案中总的点数记为 a n ,则   +   +   + … +   =   (　　)   A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案     C　每条边有 n 个点,所以3条边有3 n 个点,三角形的3个顶点重复 计算了一次,所以减3个顶点,即 a n =3 n -3,那么   =   =   =   -   , 即   +   +   + … +   =   +   +   + … +   =1-   =   ,故选C. 考点三　演绎推理 典例6 　数列{ a n }的前 n 项和记为 S n ,已知 a 1 =1, a n +1 =   S n ( n =1,2,3, … ).求 证: (1)数列   是等比数列; (2) S n +1 =4 a n . 证明 　(1)因为 a n +1 = S n +1 - S n , a n +1 =   S n , 所以( n +2) S n = n ( S n +1 - S n ). 整理得 nS n +1 =2( n +1) S n , 所以   =2·   , 又∵   ≠ 0,∴   ≠ 0, ∴   ÷   =2.   (小前提) 故   是以2为公比的等比数列.   (结论) (2)由(1)知   =4·   ( n ≥ 2), 于是 S n +1 =4( n +1)·   =4·   · S n -1 =4 a n ( n ≥ 2). 又 a 2 =3 S 1 =3, 故 S 2 = a 1 + a 2 =4=4 a 1 . 因此对于任意正整数 n ≥ 1,都有 S n +1 =4 a n . 规律总结 (1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论 解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然 的,则可以省略,本题中,等比数列的定义在解题中是大前提,由于它是显 然的,因此省略不写. (2)在推理论证过程中,一些复杂的证明题常常要利用几个三段论才能 完成. 3-1 　已知函数 f ( x )=   ( x ∈R). (1)判断函数 f ( x )的奇偶性; (2)判断函数 f ( x )在R上的单调性,并证明. 解析 　(1)因为 f (- x )=   =   =-   =- f ( x ), 所以 f ( x )是奇函数. (2) f ( x )在R上为单调递增函数. 证明:任取实数 x 1 , x 2 ∈R,并且 x 1 > x 2 , 则 f ( x 1 )- f ( x 2 )=   -   =   =   . 因为 x 1 > x 2 ,所以   >   , 所以   -   >0,又   +1>0,   +1>0, 所以   >0, 所以 f ( x 1 )> f ( x 2 ). 所以 f ( x )在R上为单调递增函数.