高考文科数学复习备课课件：第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 24页

文数 课标版 第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以① 判断真假     的陈述句叫做命题. 其中判断为真的语句叫做② 　真命题     ,判断为假的语句叫做③ 　假命题     . 教材研读 2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系   (2)四种命题的真假关系 (i)两个命题互为逆否命题,它们有⑦ 　相同     的真假性; (ii)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性⑧ 　没有关系     . 3.充分条件与必要条件 (1)若 p ⇒ q ,则 p 是 q 的⑨ 　充分     条件, q 是 p 的⑩ 　必要     条件. (2)若 p ⇒ q ,且 q p ,则 p 是 q 的   　充分不必要条件     . (3)若 p q ,且 q ⇒ p ,则 p 是 q 的   　必要不充分条件     . (4)若 p ⇔ q ,则 p 与 q 互为   　充要条件     . (5)若 p q ,且 q p ,则 p 是 q 的   　既不充分也不必要条件     .   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)“ x 2 +2 x -3<0”是命题.   ( × ) (2)命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 p ,则¬ q ”.   ( × ) (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有 一个为真.   (√) (4)当 q 是 p 的必要条件时, p 是 q 的充分条件.   (√) (5) q 不是 p 的必要条件时,“ p q ”成立.   (√)   1.下列命题中的真命题为   (　　) A.若   =   ,则 x = y 　    B.若 x 2 =1,则 x =1 C.若 x = y ,则   =   　    D.若 x < y ,则 x 2 < y 2 答案     A　取 x =-1,排除B;取 x = y =-1,排除C;取 x =-2, y =-1,排除D. 2.命题“若 a > b ,则 a -1> b -1”的否命题是   (　　) A.若 a > b ,则 a -1 ≤ b -1 B.若 a > b ,则 a -1< b -1 C.若 a ≤ b ,则 a -1 ≤ b -1 D.若 a < b ,则 a -1< b -1 答案     C　根据否命题的定义可知,命题“若 a > b ,则 a -1> b -1”的否命题 应为“若 a ≤ b ,则 a -1 ≤ b -1”. 3.命题“若 x 2 + y 2 =0, x , y ∈ R ,则 x = y =0”的逆否命题是   (　　) A.若 x ≠ y ≠ 0, x , y ∈ R ,则 x 2 + y 2 =0 B.若 x = y ≠ 0, x , y ∈ R ,则 x 2 + y 2 ≠ 0 C.若 x ≠ 0且 y ≠ 0, x , y ∈ R ,则 x 2 + y 2 ≠ 0 D.若 x ≠ 0或 y ≠ 0, x , y ∈ R ,则 x 2 + y 2 ≠ 0 答案     D　将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.由 x = y =0知 x =0 且 y =0,其否定是 x ≠ 0或 y ≠ 0. 4.在△ ABC 中,“ A >30 ° ”是“sin A >   ”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案     B　当 A =170 ° 时,sin 170 ° =sin 10 ° <   ,所以充分性不成立;但是在 △ ABC 中,sin A >   ⇒ 30 ° < A <150 ° ⇒ A >30 ° ,即必要性成立. 5.“ a =1”是“函数 f ( x )= x 2 -4 ax +3在区间[2,+ ∞ )上为增函数”的(    　) A.必要不充分条件　     B.充分不必要条件 C.充分必要条件　     D.既不充分又不必要条件 答案     B　函数 f ( x )= x 2 -4 ax +3在区间[2,+ ∞ )上为增函数,应满足-   =2 a ≤ 2,即 a ≤ 1,所以“ a =1”是“函数 f ( x )= x 2 -4 ax +3在区间[2,+ ∞ )上为增函 数”的充分不必要条件,故选B. 6.设 x 、 y 是两个实数,则使“ x 、 y 中至少有一个大于1”成立的一个充分 条件是   (　　) A. x + y =2　    B. x + y >2　    C. x 2 + y 2 >2　    D. xy >1 答案     B　因为命题“若 x 、 y 都小于或等于1,则 x + y ≤ 2”是真命题,所 以其逆否命题“若 x + y >2,则 x 、 y 中至少有一个大于1”是真命题,故 x + y >2 ⇒ x 、 y 中至少有一个大于1,因而选B. 考点一　四种命题的相互关系及真假 判断 典例1　 (1)命题“若△ ABC 有一个内角为   ,则△ ABC 的三个内角按适 当的顺序排列后可构成等差数列”的逆命题   (　　) A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题 C.与原命题的逆否命题同为假命题 D.与原命题同为真命题 (2)以下关于命题的说法正确的有 　　　     (填写所有正确命题的序号). ①“若log 2 a >0,则函数 f ( x )=log a x ( a >0,且 a ≠ 1)在其定义域内是减函数” 是真命题; ②命题“若 a =0,则 ab =0”的否命题是“若 a ≠ 0,则 ab ≠ 0”; 考点突破 ③命题“若 x , y 都是偶数,则 x + y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a ∈ M ,则 b ∉ M ”与命题“若 b ∈ M ,则 a ∉ M ”等价. 答案 　(1)D　(2)②④ 解析　 (1)原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ ABC 的三个内角 按适当的顺序排列后可构成等差数列,则△ ABC 有一个内角为   ”,它是 真命题.故选D. (2)对于①,若log 2 a >0=log 2 1,则 a >1,所以函数 f ( x )=log a x 在其定义域内是增 函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正 确;对于③,原命题的逆命题是“若 x + y 是偶数,则 x 、 y 都是偶数”,是假 命题,如1+3=4,是偶数,但1和3均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出, 命题“若 a ∈ M ,则 b ∉ M ”与命题“若 b ∈ M ,则 a ∉ M ”互为逆否命题,因 此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④. 易错警示 写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若 p ,则 q ”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 1-1　 有以下命题: ①“若 xy =1,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题; ③“若 m ≤ 1,则 x 2 -2 x + m =0有实数解”的逆否命题; ④“若 A ∩ B = B ,则 A ⊆ B ”的逆否命题. 其中真命题为   (　　) A.①②　    B.②③　    C.④　    D.①②③ 答案     D　①“若 x , y 互为倒数,则 xy =1”是真命题; ②“面积不相等的两个三角形一定不全等”,是真命题; ③若 m ≤ 1,则 Δ =4-4 m ≥ 0,所以原命题是真命题,故其逆否命题也是真命 题; ④由 A ∩ B = B ,得 B ⊆ A ,所以原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题. 所以选D. 1-2 　给出命题:若函数 y = f ( x )是幂函数,则函数 y = f ( x )的图象不过第四象 限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是   (　　) A.3　    B.2　    C.1　    D.0 答案     C　原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为 “若函数 y = f ( x )的图象不过第四象限,则函数 y = f ( x )是幂函数”,显然逆 命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否 命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 考点二　充分、必要条件的判断 典例2　 (1)(2016天津,5,5分)设 x >0, y ∈ R ,则“ x > y ”是“ x >| y |”的(    　) A.充要条件　     B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件　    D.既不充分也不必要条件 (2)(2016四川,5,5分)设 p :实数 x , y 满足 x >1且 y >1, q :实数 x , y 满足 x + y >2,则 p 是 q 的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案 　(1)C　(2)A 解析 　(1)令 x =1, y =-2,满足 x > y ,但不满足 x >| y |;又 x >| y | ≥ y ,∴ x > y 成立,故 “ x > y ”是“ x >| y |”的必要而不充分条件. (2)当 x >1且 y >1时, x + y >2,所以充分性成立; 令 x =-1, y =4,则 x + y >2,但 x <1,所以必要性不成立, 所以 p 是 q 的充分不必要条件.故选A. 1.利用定义判断. 方法技巧 判断充分、必要条件的三种方法: 2.利用集合间的包含关系判断. 记法 A ={ x | p ( x )}, B ={ x | q ( x )} 关系 A ⫋ B B ⫋ A A = B A ⊈ B 且 B ⊈ A 结论 p 是 q 的充分不必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 p 是 q 的充要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件 3.利用等价转换法判断. 利用 p ⇒ q 与¬ q ⇒ ¬ p , p ⇔ q 与¬ q ⇔ ¬ p 的等价关系进行判断,对于条件或结 论是否定形式的命题一般运用等价法. 2-1     (2017黑龙江、吉林八校联考)若 a >0, b >0,则“ a + b >1”是“ ab > 1”的   (　　) A.充分不必要条件　    B.必要不充分条件 C.充要条件　    D.既不充分也不必要条件 答案     B　∵ a >0, b >0, a + b >1,∴ a + b ≥ 2   >1,解得 ab >   ;当 a >0, b >0, ab > 1时,必有 a >1或 b >1,则 a + b >1.故“ a + b >1”是“ ab >1”的必要不充分条 件,故选B. 2-2     (2016山西太原一模)“已知命题 p :cos α ≠   ,命题 q : α ≠   ”,则命题 p 是命题 q 的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充要条件　     D.既不充分也不必要条件 答案     A　解法一:若cos α ≠   ,则 α ≠ 2 k π ±   ( k ∈Z),则 α 也必然不等于   , 故 p ⇒ q ;若 α ≠   ,但 α =-   时,依然有cos α =   ,故 q ⇒ / p . 所以 p 是 q 的充分而不必要条件. 解法二:¬ p :cos α =   ,¬ q : α =   ,则有¬ p ¬ q ,¬ q ⇒ ¬ p ,即¬ q 是¬ p 的充分不必 要条件,根据原命题与逆否命题的等价性,可得 p 是 q 的充分不必要条件. 考点三　充分、必要条件的应用 典例3　 已知 P ={ x | x 2 -8 x -20 ≤ 0},非空集合 S ={ x |1- m ≤ x ≤ 1+ m }.若 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件,则 m 的取值范围为 　　　     . 答案 　[0,3] 解析　 由 x 2 -8 x -20 ≤ 0得-2 ≤ x ≤ 10, ∴ P ={ x |-2 ≤ x ≤ 10}, 由 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件,知 S ⊆ P . 则   ∴0 ≤ m ≤ 3. ∴当0 ≤ m ≤ 3时, x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件,即所求 m 的取值范围是[0,3]. 方法技巧 解决由充分、必要条件求参数范围问题时,一般是把充分条件、必要条 件或充要条件转化为集合之间的包含关系,然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(组)求解. 变式3-1 　把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求 m 的取值范 围. 解析　 由 x ∈ P 是 x ∈ S 的充分条件,知 P ⊆ S , 则   解得 m ≥ 9, 即 m 的取值范围是[9,+ ∞ ). 变式3-2 　本例条件不变,问是否存在实数 m ,使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件? 并说明理由. 解析　 不存在. 理由:若 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件,则 P = S , ∴   无解, ∴不存在实数 m ,使 x ∈ P 是 x ∈ S 的充要条件.