备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：平面向量与其它知识的综合 9页

平面向量与其它知识的综合 典型例题 例1. （2012年广东省理5分）对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=【　　】‎ A． B‎.1 C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。‎ ‎【解析】∵由定义 ，‎ ‎　∴=，。∴。‎ ‎∵ ，∴，即。‎ ‎∵，∴。‎ ‎　　　　又∵，∴=。∴。‎ ‎∴ ，=。故选C。‎ 例2. （2012年广东省文5分）对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足与的夹角，且和都在集合中，则【 】‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】新定义，平面向量的数量积，三角函数的值域，集合的概念。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解析】∵由定义 ，‎ ‎　∴=，。∴。‎ ‎∵ ，∴，即。[来源:学科网]‎ ‎∵，∴。∴。‎ ‎∴=。故选D。‎ 例3. （2012年湖南省理5分）在△ABC中，AB=2，AC=3，= 1则【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A。‎ ‎【考点】平面向量的数量积运算，余弦定理。[来源:学|科|网]‎ ‎【解析】如图知。[来源:学&科&网]‎ ‎∴。‎ 又由余弦定理得，即，解得。‎ 故选A。‎ 例4. （2012年上海市理4分）在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】平面向量的基本运算。‎ ‎【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。‎ ‎∵平行四边形中，，，‎ ‎∴。‎ 设，则。‎ ‎∴由得，。‎ ‎∴的横坐标为，的纵坐标为。‎ ‎∴‎ ‎∴。‎ ‎∵函数在有最大值，‎ ‎∴在时，函数单调增加。[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎∴在时有最小值2；在时有最大值5。‎ ‎∴的取值范围是。‎ 例5. （2012年上海市文4分）在矩形中，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】平面向量的基本运算。‎ ‎【解析】如图所示，以为原点，向量所在直线为轴，过所在直线为轴建立平面直角坐标系。‎ ‎∵在矩形中， ，‎ ‎∴。‎ 设，则。‎ ‎∴由得，。‎ ‎∴的坐标为。∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴的取值范围是。‎ 例6. （2012年安徽省理5分）若平面向量满足：；则的最小值是 ▲ 来 ‎【答案】。‎ ‎【考点】平面向量，基本不等式的应用。‎ ‎【解析】∵，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴。‎ ‎ ∴的最小值是。‎ 例7.（2012年山东省理12分）已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）。‎ ‎ ∵函数的最大值为6。而 ‎ ∴。‎ ‎（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。‎ 当时，，.。‎ ‎∴函数g（x）在上的值域为。‎ ‎【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。‎ ‎【解析】（Ⅰ）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定A。‎ ‎（Ⅱ）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。‎ 例8.（2012年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=π对称，其中为常数，且 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期； ‎ ‎（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。‎ ‎【答案】解：‎ ‎。‎ ‎（Ⅰ）∵函数的图像关于直线=π对称，∴。‎ ‎∴。‎ 又∵，∴。‎ ‎∴的最小正周期为。‎ ‎（II）若的图像经过点，则有，∴。‎ ‎∴。‎ ‎∵，∴。∴。‎ ‎∴函数在区间上的取值范围为。‎ ‎【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。‎ ‎【解析】（Ⅰ）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期。‎ ‎（II）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。‎ 例9. （2012年江苏省14分）在中，已知．[来源:学科网]‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴，即。‎ ‎ 由正弦定理，得，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴即。‎ ‎ （2）∵ ，∴。∴。‎ ‎ ∴，即。∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。‎ ‎【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。‎ 例10.（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ （1）若＞2，且，求的值；（4分）‎ ‎ （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当n＞1时，1=1；（6分）‎ ‎ （3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）‎ ‎【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。‎ ‎ ∴，从而=4。‎ ‎ （2）证明：取，设满足。‎ ‎ 由得，∴、异号。‎ ‎ ∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。‎ 故1ÎX。‎ 假设，其中，则。‎ 选取，并设满足，即。‎ 则、异号，从而、之中恰有一个为－1。‎ 若=－1，则，矛盾；‎ 若=－1，则，矛盾.‎ ‎∴=1。‎ ‎ （3）猜测，i=1, 2, …, 。‎ ‎ 记，=2, 3, …, 。‎ ‎ 先证明：若具有性质P，则也具有性质P。‎ ‎ 任取，、Î.当、中出现－1时，显然有满足。‎ ‎ 当且时，、≥1。‎ ‎ ∵具有性质P，∴有，、Î，使得。‎ 从而和中有一个是－1，不妨设=－1，‎ 假设Î且Ï，则。‎ 由，得，与Î矛盾。‎ ‎∴Î，从而也具有性质P。‎ 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。‎ 当=2时，结论显然成立。‎ ‎ 假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；‎ ‎ 则当时，若有性质P，则 ‎ 也有性质P，所以。‎ ‎ 取，并设满足，即。‎ 由此可得与中有且只有一个为－1。‎ ‎ 若，则，所以，这不可能；‎ ‎ ∴，，又，所以。‎ ‎ 综上所述，，i=1, 2, …, 。 [来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。‎ ‎【解析】（1）根据题设直接求解。‎ ‎ （2）用反证法给予证明。‎ ‎ （3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。‎