教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第5章单元测试卷 11页

第五章 单元测试卷 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．下列各式中不能化简为AD → 的是( ) A.AB → ＋CD → ＋BC → B.AD → ＋EB → ＋BC → ＋CE → C.MB → －MA → ＋BD → D.CB → ＋AD → －BC → 答案 D 解析 CB → ＋AD → －BC → ＝2CB → ＋AD → . 2．与向量 a＝(－5,12)方向相反的单位向量是( ) A．(5，－12) B．(－ 5 13 ，12 13) C．(1 2 ，－ 3 2 ) D．( 5 13 ，－12 13) 答案 D 解析 与 a 方向相反的向量只能选 A，D，其中单位向量只有 D. 也可用公式 n＝－ a |a| ＝－ －5，12 －52＋122 ＝( 5 13 ，－12 13)求得． 3．设向量 a，b 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则 a 与 b 夹角为( ) A.π 3 B.π 2 C.2π 3 D.3π 4 答案 C 解析 如图所示，四边形 ABCD 为平行四边形，△ABC 为边长为 1 的等边三角形，记AB → ＝a，AD → ＝b， 则 a 与 b 的夹角为2π 3 ，故选 C. 4．设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( ) A. 5 B. 10 C．2 5 D．10 答案 B 解析 ∵a⊥b，∴a·b＝0，即 x－2＝0. ∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5. 又∵b2＝5，∴|a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10.故选 B. 5．已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( ) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 答案 D 解析 根据已知得 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 6．已知复数 z＝1＋2i2 3－4i ，则1 |z| ＋ z － 等于( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案 A 解析 z＝1＋2i2 3－4i ＝4i－33＋4i 25 ＝－16－9 25 ＝－1，所以1 |z| ＋ z － ＝1－1＝0.故选 A. 7．对于复数 z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称 z1 是 z2 的“错位共轭”复数，则复数 3 2 －1 2i 的“错位共轭” 复数为( ) A．－ 3 6 －1 2i B．－ 3 2 ＋3 2i C. 3 6 ＋1 2i D. 3 2 ＋3 2i 答案 D 解析 方法一：由(z－i)( 3 2 －1 2i)＝1，可得 z－i＝ 1 3 2 －1 2i ＝ 3 2 ＋1 2i，所以 z＝ 3 2 ＋3 2i. 方法二：(z－i)( 3 2 －1 2i)＝1 且| 3 2 －1 2i|＝1，所以 z－i 和 3 2 －1 2i 是共轭复数，即 z－i＝ 3 2 ＋1 2i，故 z＝ 3 2 ＋3 2i. 8．已知向量 a，b 满足|a|＝2，a2＝2a·b，则|a－b|的最小值为( ) A.1 4 B.1 2 C．1 D．2 答案 C 解析 根据已知由 a2＝2a·b，可得 2a·b＝4 且|b|cosθ＝1(其中θ为两向量夹角)，故|a－b|＝ a2＋b2－2a·b ＝|b|＝ 1 cosθ ≥1，即当 cosθ＝1 时取得最小值 1. 9．如图所示，已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心，则(OA → ＋OB → )·(OA → ＋OC → )等于( ) A.1 9 B．－1 9 C.1 6 D．－1 6 答案 D 解析 ∵点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心， ∴|OA → |＝|OB → |＝|OC → |＝ 3 3 ，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝2π 3 . ∴(OA → ＋OB → )·(OA → ＋OC → )＝OA → 2＋OA → ·OC → ＋OA → ·OB → ＋OB → ·OC → ＝( 3 3 )2＋3×( 3 3 )2cos2π 3 ＝－1 6. 10．与向量 a＝(7 2 ，1 2)，b＝(1 2 ，－7 2)的夹角相等，且模为 1 的向量是( ) A．(4 5 ，－3 5) B．(4 5 ，－3 5)或(－4 5 ，3 5) C．(2 2 3 ，－1 3) D．(2 2 3 ，－1 3)或(－2 2 3 ，－1 3) 答案 B 解析 方法一：|a|＝|b|，要使所求向量 e 与 a，b 夹角相等，只需 a·e＝b·e. ∵(7 2 ，1 2)·(4 5 ，－3 5)＝(1 2 ，－7 2)·(4 5 ，－3 5)＝5 2 ，排除 C，D. 又∵(7 2 ，1 2)·(－4 5 ，3 5)＝(1 2 ，－7 2)·(4 5 ，3 5)＝－5 2.∴排除 A. 方法二：设 a＝OA → ，b＝OB → .由已知得|a|＝|b|，a⊥b，则与向量 a，b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角 平分线上，与 a＋b 共线．∵a＋b＝(4，－3)，∴与 a＋b 共线的单位向量为± a＋b |a＋b| ＝±(4 5 ，－3 5)，即(4 5 ，－3 5) 或(－4 5 ，3 5)． 11．若 O 为平面内任一点且(OB → ＋OC → －2OA → )·(AB → －AC → )＝0，则△ABC 是( ) A．直角三角形或等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形但不一定是直角三角形 D．直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C 解析 由(OB → ＋OC → －2OA → )(AB → －AC → )＝0，得(AB → ＋AC → )·(AB → －AC → )＝0. ∴AB2 → －AC2 → ＝0，即|AB → |＝|AC → |. ∴AB＝AC. 12．若平面内共线的 A，B，P 三点满足条件OP → ＝a1OA → ＋a4 027OB → ，其中{an}为等差数列，则 a2 014 等于 ( ) A．1 B．－1 C．－1 2 D.1 2 答案 D 解析 由OP → ＝a1OA → ＋a4 027 OB → 及向量共线的充要条件得 a1＋a4 027＝1. 又因为数列{an}为等差数列， 所以 2a2 014＝a1＋a4 027＝1，故 a2 014＝1 2. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13．已知复数 z＝1－ 3i 3＋i ， z 是 z 的共轭复数，则 z 的模等于________． 答案 1 解析 z＝1－ 3i 3＋i ＝－i2－ 3i 3＋i ＝－ii＋ 3 3＋i ＝－i，| z |＝|i|＝1. 14．已知 A，B，C 是圆 O：x2＋y2＝1 上三点，OA → ＋OB → ＝OC → ，则AB → ·OA → ＝________. 答案 －3 2 解析 由题意知，OACB 为菱形，且∠OAC＝60°，AB＝ 3，∴AB → ·OA → ＝ 3×1×cos150°＝－3 2. 15．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|a＋b|＝ 7，〈a，b〉＝π 3 ，则|b|＝________. 答案 2 解析 由|a＋b|＝ 7，可得|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×|b|cosπ 3 ＋|b|2＝7，所以|b|2＋|b|－6＝0，解 得|b|＝2 或|b|＝－3(舍去)． 16．已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则 n＝________. 答案 3 解析 易知 a＋b＝(3，n＋1)，a·b＝2＋n.∵|a＋b|＝a·b，∴ 32＋n＋12＝2＋n，解得 n＝3. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分) 已知 A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，AB → ·AD → ＝5，|AD → |＝ 10. (1)求 D 点坐标； (2)若 D 点在第二象限，用AB → ，AD → 表示AC → ； (3)AE → ＝(m,2)，若 3AB → ＋AC → 与AE → 垂直，求AE → 的坐标． 答案 (1)D(2,1)或 D(－2,3) (2)AC → ＝－AB → ＋AD → (3)AE → ＝(－14,2) 解析 (1)设 D(x，y)，则AB → ＝(1,2)，AD → ＝(x＋1，y)． ∴AB → ·AD → ＝x＋1＋2y＝5，(x＋1)2＋y2＝10. 解得 x＝2， y＝1 或 x＝－2， y＝3. ∴D(2,1)或 D(－2,3)． (2)由(1)可知AD → ＝(－1,3)． 设AC → ＝mAB → ＋nAD → ， 即(－2,1)＝m(1,2)＋n(－1,3)， ∴ －2＝m－n， 1＝2m＋3n. ∴ m＝－1， n＝1. ∴AC → ＝－AB → ＋AD → . (3)∵3AB → ＋AC → ＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，AE → ＝(m,2)，且 3AB → ＋AC → 与AE → 垂直， ∴(3AB → ＋AC → )·AE → ＝0. ∴m＋14＝0.∴m＝－14. ∴AE → ＝(－14,2)． 18．(本小题满分 12 分) 已知向量 a＝(sinθ，cosθ)，与 b＝( 3，1)，其中θ∈(0，π 2)． (1)若 a∥b，求 sinθ和 cosθ的值； (2)若 f(θ)＝(a＋b)2，求 f(θ)的值域． 答案 (1)sinθ＝ 3 2 ，cosθ＝1 2 (2)(7,9] 解析 (1)∵a∥b， ∴sinθ·1－ 3cosθ＝0，求得 tanθ＝ 3. 又∵θ∈(0，π 2)，∴θ＝π 3 ，∴sinθ＝ 3 2 ，cosθ＝1 2. (2)f(θ)＝(sinθ＋ 3)2＋(cosθ＋1)2＝2 3sinθ＋2cosθ＋5＝4sin(θ＋π 6)＋5. 又∵θ∈(0，π 2)，∴θ＋π 6 ∈(π 6 ，2π 3 )，∴1 20)，函数 f(x)＝m·n 的最大值为 6. (1)求 A； (2)将函数 y＝f(x)的图像向左平移 π 12 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的1 2 倍，纵坐标 不变，得到函数 y＝g(x)的图像，求 g(x)在[0，5π 24]上的值域． 答案 (1)A＝6 (2)[－3,6] 解析 (1)f(x)＝m·n＝ 3Asinxcosx＋A 2cos2x＝A( 3 2 sin2x＋1 2cos2x)＝Asin(2x＋π 6)． 因为 A>0，由题意知 A＝6. (2)由(1)知 f(x)＝6sin(2x＋π 6)． 将函数 y＝f(x)的图像向左平移 π 12 个单位后得到 y＝6sin[2(x＋ π 12)＋π 6]＝6sin(2x＋π 3)的图像； 再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的1 2 倍，纵坐标不变，得到 y＝6sin(4x＋π 3)的图像． 因此 g(x)＝6sin(4x＋π 3)． 因为 x∈[0，5π 24]，所以 4x＋π 3 ∈[π 3 ，7π 6 ]． 故 g(x)在[0，5π 24]上的值域为[－3,6]．