2020年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3月份) (含答案解析) 18页

2020 年重庆市巴蜀中学高考数学模拟试卷(理科)(3 月份) 一、单项选择题（本大题共 12小题，共 60.0分） 1. 在复平面内，复数 f x .t对应的点的坐标为f t． A. f1.t B. f ͳ 1.t C. f.1t D. f. ͳ 1t .. 已知集合 ൌ 12，3，4，5，， ൌ 耀. ൏ ，则 ൌ f t A. ͵ǡ B. ͵4， C. .3，ǡ D. 12，3，4，5， ͵. 已知非零向量 、满足耀耀 ൌ ǡ耀 耀，且 ，则 、的夹角为f t A. ͵ B. . C. . ͵ D. ǡ. 已知某随机变量服从正态分布 f1.t，且 f䁪 ൏ ൏ 1t ൌ 䁪.͵，则 f ൏ .tf t A. 䁪.䁥 B. 䁪.䁣 C. 䁪.䁣 D. 䁪. . 设函数 ft ൌ sinf. x ͵ ǡ t x cosf. ͳ ǡ t，则f t A. ൌ ft在f ͳ ǡ 䁪t上单调递增，其图象关于直线 ൌ ǡ对称 B. ൌ ft在f ͳ ǡ 䁪t上单调递增，其图象关于直线 ൌ .对称 C. ൌ ft在f ͳ ǡ 䁪t上单调递减，其图象关于直线 ൌ ǡ对称 D. ൌ ft在f ͳ ǡ 䁪t上单调递减，其图象关于直线 ൌ .对称 . 若平面 平面，点 ，则过点 A且垂直于平面的直线ft A. 只有一条，不一定在平面内 B. 有无数条，不一定在平面内 C. 只有一条，一定在平面内 D. 有无数条，一定在平面内 䁣. 设 ൌ log͵， ൌ 1.， ൌ log1 ͵ 1 ǡ，则ft A. ൏ ൏ B. ൏ ൏ C. ൏ ൏ D. ൏ ൏ 䁥. 已知 sin ͳ cos ൌ 1 ͵ 则cos.f ǡ ͳ t ൌ f t A. 1䁣 1䁥 B. 1 C. . D. 1 1䁥 . 已知 AB是圆 O：. x . ൌ 1的任意一条直径，点 P在直线 x . ͳ ൌ 䁪f 䁪t上运动，若 的最小值为 4，则实数 a的值为f t A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 1䁪. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新 冠肺炎累计确诊病例数 ftf的单位：天t的 Logistic模型：ft ൌ 1xͳ䁪..͵fͳ͵t ，其中 K为最大确 诊病例数.当 f ݐ t ൌ 䁪.时，标志着已初步遏制疫情，则 约为fݐ tf䁠1 ͵t A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 11. 已知双曲线 . . ͳ . . ൌ 1的焦点到其渐近线的距离等于 2，抛物线. ൌ .䁕的焦点为双曲线的右焦 点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为 4，则抛物线方程为ft A. . ൌ ǡ B. . ൌ ǡ . C. . ൌ 䁥 . D. . ൌ 䁥 1.. 如图，在正方体 ͳܥ 1中，M，N分别是棱ܥ111 AB，1 的中点，点 P在对角线 1上运动．当 䳌的面积取得最小 值时，点 P的位置是ft A. 线段 1的三等分点，且靠近点1 B. 线段 1的中点 C. 线段 1的三等分点，且靠近点 C D. 线段 1的四等分点，且靠近点 C 二、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分） 1͵. 已知f1 x .t ൌ 䁪 x 1 x .. x x ，则䁪 x 1 x x ൌ ______ ． 1ǡ. 在 中，若 ൌ ܿ x ܿ.则 ൌ ______ ． 1. 有 3个本校老师和 3个外校老师被安排到高三地理选考考试的 3个考场，要求一个试场有一个 本校老师和一个外校老师负责监考，且本校老师甲不能监考 1号试场，外校老师乙不监考 2号 试场，则共有______种不同安排方案． 1. 若函数 ൌ ln .ͳ ͳ ͳ 1 有 3个零点，则实数 a的取值范围是________． 三、解答题（本大题共 7小题，共 82.0分） 1䁣. 数列满足1 ൌ 1x1 ൌ fx 1t x f x 1t ．ݐ fⅠt求数列的通项公式； fⅡt设 ൌ . ，求数列的前 n项和． 1䁥. 为便于对某知识竞赛的答卷进行对比研究，组委会抽取了 1000名男生和 1000名女生的答卷， 他们的考试成绩频率分布直方图如下：f注：试卷满分为 100分，成绩 䁥䁪分的试卷为“优秀” 等级t fⅠt从现有 1000名男生和 1000名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概 率； fⅡt能否在犯错误的概率不超过 䁪.䁪.的前提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？ fⅢt根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们成绩的优劣进行比较，并说明理由． f. t 䁪.䁪䁪 䁪.䁪. 䁪.䁪1䁪 䁪.䁪䁪1 K ͵.䁥ǡ1 .䁪.ǡ .͵ 1䁪.䁥.䁥 f. ൌ fܽͳt. fxtfxܽtfxtfxܽt ，其中 ൌ x x x ܽt 19. 如图，在四棱柱 ͳܥ 1中，底面ܥ111 ABCD为直角梯形，其中 且，ܥ ܥ ൌ . ൌ . ൌ ǡ， 侧面，ܥ 11 平面 ABCD，且四边形 11是菱形，1 ൌ ͵，M为1ܥ的中点． f1t证明：䳌平面 11； f.t求二面角1 ͳ ͳܥ 的余弦值． 20. 已知椭圆 C：. . x . . ൌ 1f 䁪t的离心率为 ͵ . ，其右顶点和上顶点分别为 AB原点到直线的 距离为. f1t求椭圆方程； f.t直线 l： ൌ f x .t交椭圆于 P，Q两点，若点 B始终在以 PQ为直径的圆内，求实数 k的 取值范围． 21. 已知函数 ft ൌ ǡ ͳ lnf1 x .t，求函数 ft在f䁪 xt上的极值． 22. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 ൌͳ 1 x .cos ൌ .sin f其中为参数t，以坐标 原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线䁠1的极坐标方程为 ൌ 1 .sinfxǡt ，设 䁠1与 C相交于 A，B两点，AB的中点为 M，过点 M作䁠1的垂线䁠.交 C于 P，Q两点． f1t写出曲线 C的普通方程与直线䁠1的直角坐标方程； f.t求 耀ㄳ耀 耀䳌耀耀䳌ㄳ耀的值． 23. 已知 a，b都是大于零的实数． f1t证明： . x . x ； f.t若 ，证明：. x ͵ x 1 fͳt ǡ． 【答案与解析】 1.答案：B 解析：解： f x .t ൌͳ 1 x .， 复数 f x .t对应的点的坐标为f ͳ 1.t， 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.答案：C 解析： 本题主要考察了集合概念和集合交集运算，基础题。 解：由已知得 ൌ .͵ǡ ൌ .͵ǡ； 故选 C． 3.答案：C 解析： 本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，根据两向量垂直时其数量积为零来进行转 化． 由题意可得 f. x t ൌ . . x ൌ 䁪，设 、的夹角为，求得 ܿ ൌͳ 1 . ，结合的范围，求 得的值． 解：由已知非零向量 、满足耀耀 ൌ ǡ耀 耀，且 ， 可得 f. x t ൌ . . x ൌ 䁪， 设 、的夹角为， 则有 .耀 耀. x 耀 耀 ǡ耀 耀 ܿ ൌ 䁪，即 ܿ ൌͳ 1 . ， 又因为 䁪 ，所以 ൌ . ͵ ． 故选 C． 4.答案：A 解析：解： ～f1.t，且 f䁪 ൏ ൏ 1t ൌ 䁪.͵， f .t ൌ f 䁪t ൌ f ൏ 1t ͳ f䁪 ൏ ൏ 1t ൌ 䁪. ͳ 䁪.͵ ൌ 䁪..． f ൏ .t ൌ 1 ͳ f .t ൌ 1 ͳ 䁪.. ൌ 䁪.䁥． 故选：A． 直接利用正态分布曲线的对称性求解． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线 的对称性，属于基础题． 5.答案：B 解析： 本题考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查学生的计算能力和推理能力， 难度适中． 利用两角和的三角函数化简函数 ft ൌ sinf. x ͵ ǡ t x cosf. ͳ ǡ t，然后求出对称轴方程，判断 ൌ ft在f ͳ ǡ 䁪t单调性，即可得到答案． 解： ， 由ͳ x . . .f t可得ͳ . x f t， 所以函数在 ͳ . x f t上单调递增， 所以 ൌ ft在f ͳ ǡ 䁪t上单调递增， 令 . ൌ ൌ . f t，所以对称轴为 ൌ . f t， 可知其图象关于直线 ൌ .对称． 故选 B． 6.答案：C 解析： 本题主要考查面面垂直的性质， 要求熟练掌握相应的性质定理，属于基础题． 解：依题意，过点 A作平面与的交线的垂线 l 、䁠1， 则直线 l 、䁠1均垂直于平面，䁠䁠1， 又直线 l 、䁠1有公共点 A，因此它们应重合， 即过点 A且垂直于平面的直线只有一条， 必在平面内， 故选 C． 7.答案：D 解析：解：䁪 ൌ log͵1 ൏ log͵ ൏ log͵͵ ൌ 1，1. .，1 ൌ 䁠1 ͵ 1 ͵ ൏ 䁠1 ͵ 1 ǡ ൏ 䁠1 ͵ 1 ൌ .； ൏ ൏ 故选：D． 容易看出，䁪 ൏ 䁠͵ ൏ 11. .1 ൏ 䁠1 ͵ 1 ǡ ൏ .，从而可得出 a，b，c的大小关系． 考查对数函数、指数函数的单调性，对数的运算，增函数和减函数的定义． 8.答案：A 解析： 本题主要考查二倍角公式、诱导公式以及同角三角函数基本关系的应用，属于基础题． 由条件利用二倍角公式可得 ܿ. ൌ 䁥 ，再根据cos.f ǡ ͳ t ൌ 1xcosf.ͳ.t . ൌ 1 . x ܿ. . ，计算求得结果． 解： ܿ ͳ ܿ ൌ 1 ͵ ， 1 ͳ .ܿܿ ൌ 1 ͳ ܿ. ൌ 1 ， ܿ. ൌ 䁥 ， 则cos.f ǡ ͳ t ൌ 1xcosf.ͳ.t . ൌ 1 . x ܿ. . ൌ 1䁣 1䁥 ， 故选 A． 9.答案：C 解析： 本题主要考查直线与圆的位置关系，向量的几何运用，解答本题的关键是掌握相关知识，适用于中 档题． ൌ f x t f x t ൌ 耀 耀. x ൌ 耀 耀. ͳ 1，由题得耀 耀的最小值为 ，即点 O到直线的距离为 ． 解：AB是圆 O：. x . ൌ 1的任意一条直径，点 P在直线 x . ͳ ൌ 䁪f 䁪t上运动， 若 的最小值为 4 ൌ f x t f x t ൌ 耀 耀. x ൌ 耀 耀. ͳ 1， 由题得耀 耀的最小值为 ， 即点 O到直线的距离为 ， 耀耀 ൌ ൌ ． 故选 C． 10.答案：C 解析： 本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题． 根据题意可得 1xͳ䁪..͵f ͳ͵tݐ ൌ 䁪.，解出ݐ的值． 解：由题可知 1xͳ䁪..͵f ͳ͵tݐ ൌ 䁪.， 所以 1 x ͳ䁪..͵fݐ ͳ͵t ൌ .䁪 1 ，ͳ䁪..͵fݐ ͳ͵t ൌ 1 1 ， 䁪..͵fݐ ͳ ͵t ൌ ln1 ͵，解得ݐ ， 故选 C． 11.答案：C 解析：解：设双曲线 . . ͳ . . ൌ 1的焦点为f䁪t，渐近线方程为 ൌ ， 则焦点到其渐近线的距离为 .x. ൌ ൌ ൌ .， 抛物线. ൌ .䁕的焦点为双曲线的右焦点，则有 ൌ 䁕 .， 双曲线截抛物线的准线所得的线段长为 4， 则令 ൌͳ 䁕 . ൌͳ ，代入双曲线方程，可得 ൌ . . ͳ 1 ൌ . ． 则有 .. ൌ ǡ，解得， ൌ .，即有 ൌ . x . ൌ . .， 则 䁕 ൌ ǡ .． 故抛物线方程为. ൌ 䁥 .. 故选 C． 设出双曲线的焦点，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得 ൌ .，再由抛物线的焦点和准线 方程，求得弦长，可得 ൌ .，再由 a，b，c的关系，可得 c，即可得到 p，进而得到抛物线方程． 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和准线方程的运用，考查运算能力，属于 基础题． 12.答案：B 解析： 本题考查点的位置判断，考查空间中两点之间的距离，考查运算求解能力，是中档题． 以 A为原点，AB为 x轴，AD为 y轴，1为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 䳌 的面积取得最小值时，P为 1的中点． 解：以 A为原点，AB为 x轴，AD为 y轴，1为 z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ͳܥ 1中棱长为ܥ111 1，P为1上的动点， 设 f1 ͳ t，其中 䁪 1，䳌f 1 . 䁪䁪t，f10，1 . t， 耀䳌耀 ൌ f ͳ 1 . t. x . x f1ͳ t. ൌ ͵. ͳ ͵ x ǡ ， 耀耀 ൌ f ͳ 1t. x . x f1ͳ ͳ 1 . t. ൌ ͵. ͳ ͵ x ǡ ， 耀䳌耀 ൌ 耀耀， 䳌为等腰三角形，底边耀䳌耀 ൌ . . ， 设底边 MN上的高为 h，则有 ൌ 耀䳌耀. ͳ f 耀䳌耀 . t. ൌ 耀䳌耀. ͳ 1 䁥 ． ͵. ͳ ͵ x ǡ ൌ ͵f ͳ 1 . t. x 1 . ， ൌ 1 . 时 䳌的面积取得最小值， 此时 P为 1的中点． 故选：B． 13.答案：729 解析：解：在f1 x .t ൌ 䁪 x 1 x .. x x 中，令 ൌ 1可得䁪 x 1 x x ൌ ͵ ൌ 䁣.， 故答案为：729． 在f1 x .t ൌ 䁪 x 1 x .. x x 中，令 ൌ 1可得䁪 x 1 x x 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值 代入，属于中档题． 14.答案：ǡ 解析：解： ൌ ܿ x ܿ，利用正弦定理可得：sinfx t ൌ ܿ ൌ ܿܿx ܿܿ． ܿܿ ൌ ܿܿ． ܿ 䁪， ൌ 1， f䁪 t， ൌ ǡ． 故答案为：ǡ． 利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出． 本题考查了正弦定理、和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.答案：16 解析： 本题考查有限制条件的排列组合问题．利用分步乘法计数原理可得结果． 解：根据题意得，第一步先排本校老师，先排甲 2种排法，再排剩下的两名本校老师有. .中排法； 第二步，排外校老师乙有两种排法，再排剩下的两名外校老师有. .种排法； 据分步乘法计数原理得共有 . . . . . . ൌ 1种安排方案； 故答案为：16． 16.答案：f. xt 解析： 【试题解析】 本题考查函数零点与方程根的关系及函数图象的应用，同时考查利用导数研究函数的单调性及导数 的几何意义，属于较难题． 将 ൌ ln .ͳ ͳ ͳ 1 的图象向左平移 1个单位，得到函数 ൌ ln 1x 1ͳ ͳ 的图象，即研究直线 ൌ 与函数 ൌ ln 1x 1ͳ 的图象交点的个数，由导数的方法判定函数单调性，根据导数的几何意义， 求出在 䁪䁪 处的切线方程为 ൌ .，结合图形，即可得出结果． 解：将 ൌ ln .ͳ ͳ f ͳ 1t的图象向左平移 1个单位，得到函数 ൌ ln 1x 1ͳ ͳ 的图象， 即研究直线 ൌ 与函数 ft ൌ ln 1x 1ͳ 的图象交点的个数， 而函数 ft在定义域f ͳ 11t上为奇函数 又 ft ൌ 1ͳ 1x .f 1x 1ͳ t ൌ 1ͳ 1x . f1ͳt. ൌ . 1ͳ. 䁪， 所以曲线 ൌ ft在定义域f ͳ 11t上单调递增，且在f䁪䁪t处的切线方程为 ൌ .． 如图，当 䁪 ൏ ൏ 1时，ln 1x 1ͳ .；当ͳ 1 ൏ ൏ 䁪时，ln 1x 1ͳ ൏ .． 综上，实数 a的取值范围是 . x ． 故答案为f. xt． 17.答案：解：fⅠt由已知可得 x1 x1 ൌ x 1， 即 x1 x1 ͳ ൌ 1， 则 是以 1为首项，1为公差的等差数列， 即有 ൌ 1 x ͳ 1 ൌ ，可得 ൌ .， ；ݐ fⅡt ൌ . ൌ .， ൌ 1 .1 x . .. x ͵ .͵ x x .， . ൌ 1 .. x . .͵ x ͵ .ǡ x x .x1， 两式相减可得ͳ ൌ .1 x .. x x . ͳ .x1 ൌ .f1ͳ.t 1ͳ. ͳ .x1， 化简可得 ൌ fͳ 1t .x1 x .． 解析：本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方 法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． fⅠt将等式两边同除以 f x 1t，借助等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项公式； fⅡt求得 ൌ . ൌ .，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化 简整理可得所求和． 18.答案：解：fⅠt男生答卷成绩优秀概率为 ൌ f䁪.䁪䁥 x 䁪.䁪͵ǡ x 䁪.䁪1ǡ x 䁪.䁪1䁪t ൌ 䁪.䁥，f. 分t 女生答卷成绩优秀概率为 ൌ f䁪.䁪ǡ x 䁪.䁪͵ǡ x 䁪.䁪1 x 䁪.䁪1䁪t ൌ 䁪.͵；fǡ分t fⅡt根据题意填写列联表如下； 男 女 总计 优秀 580 530 1110 非优秀 420 470 890 总计 1000 1000 2000 f分t 经计算.的观测值为 ൌ .䁪䁪䁪f䁥䁪ǡ䁣䁪ͳ͵䁪ǡ.䁪t. 1䁪䁪䁪1䁪䁪䁪111䁪䁥䁪 .䁪1 .䁪.ǡ， 所以能在犯错误概率不超过 䁪.䁪.的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”；f䁥分t ft由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分f或中位数t在 80到 85之间， 女生成绩的平均分f中位数t在 75到 80分之间，且男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高， 因此，可以认为男生的成绩较好且稳定f1.分t 解析：fⅠt利用频率分布直方图分别计算男生、女生答卷成绩优秀的概率值； fⅡt根据题意填写列联表，计算.的观测值，对照数表得出结论； ft由频率分布直方图，利用平均分f或中位数t，以及数据的分散情况判断男生、女生成绩的情况． 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题和统计相关知识的应用问 题，是基础题． 19.答案：f1t证明：取 1的中点 N，连接 MN，BN． 在 且䳌ܥ1中，䳌ܥ ൌ 1 . ，ܥ 又 且ܥ ൌ 1 . 所以䳌且䳌，ܥ ൌ ， 所以四边形 MNBC是平行四边形，从而 䳌， 又 平面 11，䳌 平面 11，所以 䳌平面 11B. f.t解：取11的中点 P，连接 AP，1， 因为在菱形 11中，1 ൌ ͵， 所以 ൌ 1 ൌ 1 ൌ 11， 所以 11， 又 11， 所以 ， 又侧面 11 平面 ABCD，侧面 11 平面 ܥ ൌ ， 所以 平面 ABCD，又 ，ܥ 故以 A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x，y，z轴 建立空间直角坐标系 ͳ 耀f如图所示t， 则 f䁪0，䁪t，ܥf䁪4，䁪t，f.2，䁪t，f䁪䁪 ͵t， 1f ͳ 1䁪 ͵t，ܥ ൌ f ͳ ..䁪t，1 ൌ f ͳ ͵ ͳ . ͵t． 因为 平面 ABCD，所以 ൌ f䁪䁪 ͵t为平面 ABCD的一个法向量． 设平面1ܥ的法向量为 ൌ f耀t，由 ܥ 1 ，即 ͳ .x . ൌ 䁪 ͳ ͵ͳ .x ͵耀 ൌ 䁪 ， 取 ൌ f11 ͵ ͵ t为平面1ܥ的一个法向量， 所以 cos ൏ ൌ 耀 耀耀耀 ൌ ͵ ͵ ͵ ͵ 1.x1.xf ͵ ͵ t. ൌ ͵1 ͵1 ． 设二面角1 ͳ ͳܥ 大小为， f䁪 . t，故 ܿ ൌ ͵1 ͵1 ， 解析：本题考查二面角的平面角的求法，空间向量的数量积的应用，直线 与平面平行的判断定理的应用，考查计算能力． f1t取 1的中点 N，连接 MN，.证明四边形 MNBC是平行四边形，推 出 䳌，然后证明 䳌平面 11B. f.t取11的中点 P，连接 AP，1，以 A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为 x，y，z轴建立空 间直角坐标系 ͳ 耀f如图所示t，求出平面 ABCD的一个法向量．平面1ܥ的法向量，利用空间 向量的数量积求解即可． 20.答案：解：f1t椭圆 C：. . x . . ൌ 1f 䁪t的右顶点为f䁪t，上顶点为f䁪t， 则过右顶点和上顶点的直线方程为 x ͳ ൌ 䁪， 则 耀ͳ耀 .x. ൌ . ，又 ൌ ͵ . ，. ൌ . x .，解得：. ൌ ǡ，. ൌ 1． 椭圆方程为 . ǡ x . ൌ 1； f.t联立 ൌ f x .t . ǡ x . ൌ 1 ，得f1 x ǡ.t. x 1. x f1. ͳ ǡt ൌ 䁪． 记 f11t，ㄳf..t， 则1 ൌͳ .. ൌ .ͳ䁥. 1xǡ. ，1 ൌ 䁪 . ൌ ǡ 1xǡ. ， 由点 B始终在以 PQ为直径的圆内，则ㄳ为钝角或平角， 即 ㄳ ൏ 䁪， f䁪1t，f ͳ .䁪t，ㄳf .ͳ䁥 . 1xǡ. ǡ 1xǡ. t， ൌ f ͳ . ͳ 1t ㄳ ൌ f .ͳ䁥 . 1xǡ. ǡͳ1ͳǡ . 1xǡ. t， ㄳ ൌ .䁪.ͳǡͳ͵ 1xǡ. ൏ 䁪，解得：ͳ ͵ 1䁪 ൏ ൏ 1 . ． 实数 k的取值范围是f ͳ ͵ 1䁪 1 . t． 解析：f1t由题意列关于 a，b的关系式，结合离心率、隐含条件求得.，.的值，则椭圆方程可求； f.t联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x的一元二次方程，求出 P，Q的坐标，由点 B始终在以 PQ 为直径的圆内得到 ㄳ ൏ 䁪，由此求得实数 k的取值范围． 本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力， 考查了函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，训练了利用平面向量数量积求解几何问 题，是中档题． 21.答案：当 ൌ 1 . 时，ft有极大值 ǡ 1䁪 ͳ ln ǡ ，当 ൌ .时，ft有极小值 䁥 ͳ ln， 解析：因为 ft ൌ ǡ ͳ lnf1 x .t，所以 ft ൌ ǡ ͳ . 1x. ൌ ǡ.ͳ1䁪xǡ f1x.t ，令 ft ൌ 䁪，则 ൌ 1 . 或 ൌ . 当 䁪 ൏ 1 . 或 .时，ft 䁪当 1 . ൏ ൏ .时，ft 䁪所以 ft在f䁪 1 . t和f. xt上递增， 在f 1 . .t上递减，当 ൌ 1 . 时，ft有极大值 ǡ 1䁪 ͳ ln ǡ ，当 ൌ .时，ft有极小值 䁥 ͳ ln． 22.答案：解：f1t由曲线 C的参数方程 ൌͳ 1 x .cos ൌ .sin ，消去参数， 得曲线 C的普通方程为f x 1t. x . ൌ ǡ． 由曲线䁠1的极坐标方程 ൌ 1 .sinfxǡt ，得ܿ x ܿ ൌ 1， 将 ൌ ܿ， ൌ ܿ代入，得䁠1的直角坐标方程为 x ͳ 1 ൌ 䁪； f.t由䁠1 䁠.，得直线䁠.的斜率䁠. ൌͳ 1 䁠1 ൌ 1，所以䁠.的倾斜角为 ǡ， 又䁠.过圆心f ͳ 1䁪t，所以䁠.的方程为 ൌ x 1，与 x ͳ 1 ൌ 䁪联立，得 AB的中点䳌f䁪1t， 故䁠.的参数方程为 ൌ cos ǡ ൌ 1 x sin ǡ f为参数t， 即 ൌ . . ൌ 1 x . . f为参数t， 代入f x 1t. x . ൌ ǡ中，化简、整理得. x . . ͳ . ൌ 䁪， 设 P，Q对应的参数分别为1，.，则由韦达定理得1. ൌͳ .， 又线段 PQ为圆的直径，所以耀ㄳ耀 ൌ ǡ， 所以 耀ㄳ耀 耀䳌耀耀䳌ㄳ耀 ൌ ǡ 耀ͳ.耀 ൌ .． 解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和 系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． f1t直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． f.t利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 23.答案：证明：f1t ，b都是大于零的实数， . x . . x .， 两式相加得 . x . x ，当且仅当 ൌ 时取等号． . x . x ． f.t由f1t知.fx ͳ . t ൌ x .fͳt ， . x ͵ x 1 fͳt x .fͳt x ͵ x 1 fͳt ൌ f x ͵ t x .fͳt x 1 fͳt . x . ǡ，当且仅当 ൌ .， ൌ 1时等号成立， 时，. x ͵ x 1 fͳt ǡ． 解析：f1t根据 a，b都是大于零的实数，利用基本不等式得到 . x . . x .，两式相加即可 证明 . x . x 成立； f.t由f1t知.fx ͳ . t ൌ x .fͳt ，然后结合 ，利用基本不等式即可证明. x ͵ x 1 fͳt ǡ成立． 本题考查了利用基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．